Comments on Comment écrire les nombres en base 5×6

Voir aussi le système BiBi de Bobby Lapointe : https://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_Bibi-binaire

Remarque historique.
L'idée d'écrire une base comme un produit de nombre est en fait très ancienne:
--la base 60 des mésopotamiens, dont nous avons hérité minutes et secondes, a toujours été noté
6x10, avec des symboles différents pour les dizaines et les unités, même s'ils ont toujours utilisé, semble-t-il, des tables de multiplications à 3600 entrées, et non les tables partielles que permettrait cette décomposition selon le schéma de Ruxor.
--les bouliers chinois ou japonais décomposent la base 10 habituelle en 2x5, mais la encore, je ne pense pas que l'on ait jamais pensé utiliser des tables de multiplications 'décomposées'.

Plus récemment, je me souviens d'avoir vu une proposition pour apprendre à tout le monde à compter en base 16 (interface avec l'informatique infiniment plus simple), je pense dans _Science et Vie_.
L'idée étant d'écrire et prononcer les nombres en décomposant la base comme 4x4: on utilise quatre consonnes pour le terme de poids élevé et quatre voyelles pour le poids faible, et on obtient 16 syllabes, que l'on va espérer reconnaissable par tout le genre humain, pour les chiffres. Je ne me souviens plus des détails, mais je pense que là, la proposition était de ne faire apprendre que des sous-tables de multiplications (plus régulières que dans le cas 5x6, puisqu'ici les deux facteurs sont identiques).

Ajout, je viens de me rendre compte à sa sortie qu'une idée était resté coincée dans les tuyaux :

Un peuple qui utiliserait ta base 5×6 utiliserait aussi la base 6×5 associée, puisqu'un décalage de virgule A3C0 → A3C correspond à une division par 6, A3C0 → A3C0Z à une multiplication par 5, plus changement de base. Du coup la conversion d'une base vers l'autre est une opération d'autant plus intéressante pour multiplier ou diviser par 5 ou 6 qu'elle n'est pas très compliquée : comme on ne sort pas de la base 30 sous-jacente il suffit de considérer chaque couple chiffre-lettre indépendamment, et l'on utilise x.6 + y = x.5 + (x+y) ou x.5 + y = x.6 + (y-x), i.e. il faut ajouter ou soustraire les deux chiffres pour trouver l'unité puis propager une éventuelle retenue, par exemple A2 = 1C. Le résultat doit venir automatiquement quand on en a fait quelques milliers.

C'est incroyable comme l'idée simple d'utiliser des symboles différents pour chaque demi-base est fructueuse, alors qu'elle ne vient pas de soi, en tout cas je n'y avais jamais pensé. (De manière plus générale toute suite de symboles de [0-5Z-D] a un sens numéral clair avec ces conventions, mais comme il ne semble pas y avoir de méthode simple pour revenir à une base normale je n'ai pas l'impression qu'on gagne quelque chose à considérer ces suites.)

Maintenant, "B" est le 1/6ème de "B0", "D" de "D0" donc B×D est le 36ème de B0×D0=A3C0, cela vaut 2×4=12×24/36=8=A2=1C, ce qui n'a malheureusement rien à voir avec, dans la table de multiplication, l'entrée « B×D → A3,C = 1×6+3+3×6/30 = 9+3/5 = 48/5 = 8 × 6/5 », qui répond à la question « ça fait combien, 2×4 × 30/25 ? » si l'on considère que l'on multiplie 0,B=2/5 par 0,D=4/5 avec un décalage de deux colonnes soit un facteur 30, donc 30/25 en tout, ou, si l'on préfère, qui répond à la question « ça fait combien, 2×4 × 36/30 ? » si l'on considère que l'on doit multiplier B et D chacun par 6 pour reconstituer B0 et D0, puis diviser par 30 pour corriger le décalage des deux colonnes. Il semble qu'à cause de ce facteur 6/5 cette civilisation va avoir du mal à faire ses multiplications dans les deux bases duales.
Quoique…

Voyons, on a vu 2×4=A2=1C d'où il vient B×D → A2+1,C = A3,C (on utilise l'autre écriture décalée pour ajouter facilement le 5ème manquant). Maintenant 2Z×4Z = 200 = 6×30+20 = 1A4Z donc dans la table de la base duale on a 2×4 → 1A,4 = 1C-A,2, là encore en jonglant avec les deux formes d'écriture de 8, j'imagine sans le vérifier que ça marche pour toutes les cases du tableau.
Tout ceci pour dire que ce n'est pas évident d'imaginer ce que ferait cette civilisation en partant de ton idée de base. Il faudrait essayer de partir de tables de multiplication mixtes 2×4=A2=1C pour voir s'il n'est pas tout aussi simple de poser la multiplication avec une ligne de correction à ajouter ou soustraire selon la base dans laquelle on se place. Peut-être que ce peuple utilise les deux bases duales de manière complètement symétrique au bout du compte, sans qu'aucune ne joue un rôle privilégié ?
C'est vraiment une perspective fascinante… Surtout qu'on peut ensuite se demander si d'anciens peuples, suffisamment éclairés pour faire de l'astronomie et éviter la civilisation comme la peste, n'auraient pas pu utiliser un système de ce genre dont on aurait comme vestige abâtardi la base 6×10 des Babyloniens ?

Pour finir, juste une petite remarque : ces bases 30 permettent une preuve par 29 de manière assez simple puisque pour l'étape "somme des chiffres" on peut sommer indépendamment les 0-5 et les Z-D, aux retenues près bien sûr. On devrait ainsi attraper en gros 28 erreurs sur 29, bien mieux que 8 / 9 pour guère plus d'efforts.

J'espère n'avoir pas raconté trop de bêtises. Yapuka trouver une bonne manière de prononcer ces nombres pour les mettre dans un bon roman de SF.

Bon maintenant tu vas devoir encore modifier ton texte et renvoyer tes lecteurs vers mon _premier_ commentaire parce que celui-là va embrouiller tout le monde :)

Puisque cette jolie entrée est susceptible d'intéresser un plus large public, je me permets de proposer une explication qui s'espère plus claire au sujet du comportement de la troisième table :

« c'est surtout la troisième table qui est un tout petit peu subtile à utiliser, parce que le décalage des chiffres est un peu modifié : il y a de nouveau un 0 à comprendre implicitement à la fin de chaque entrée, mais il n'y a pas en plus un Z implicite comme on pourrait l'imaginer — par exemple, l'entrée B×D=A3C signifie en fait B0×D0=A3C0 et ce dernier ‘C’ peut surprendre parce qu'on s'attendrait à avoir un ‘Z’ si l'algorithme était exactement le même qu'en base 10 (où le produit de deux nombres se terminant par un chiffre zéro se termine par deux zéros). J'ai donc écrit en italiques le dernier chiffre (de la série Z…D) de chaque entrée de cette troisième table, pour rappeler qu'il est décalé d'un cran par rapport à ce qu'on peut imaginer — on peut par exemple le voir comme une retenue à droite. »

« mais on ne décale pas en colonne les chiffres donnés par la troisième table, parce qu'on manipule en réalité des demi-colonnes de la base 30, qui correspondent à deux multiples de 6. Le produit ne peut pas se décaler à gauche parce qu'il n'est pas multiple de 30 ; il est multiple de 36 et reste bêtement dans la même colonne, multiple de 6. Par exemple, 12×24=B0×D0 ne va pas finir par 00 parce que cela ne veut rien dire ; ni par Z0, le vrai 0 en base 30, parce que ce n'est pas un multiple de 5. Il se trouve que B0×D0=A3C0.
Comme il est tout de même pratique d'avoir pour référence un décalage de colonne systématique comme en base 10, la troisième table écrit le dernier chiffre (de la série Z…D) en italiques pour rappeler qu'il se met à droite de la position de référence — on peut le voir comme un chiffre après la virgule, comme si B×D=A3,C. »
(en fait je trouve l'italique peu lisible, je mettrais carrément la virgule dans le tableau)

Ah, j'allais oublier la question la plus importante : les « huluberlus » sont-ils des chouettes ou des hibous ?

Utiliser une base pure permet de multiplier très facilement par une puissance (éventuellement négative) de la base en déplaçant la virgule. Ici on peut le faire par puissances de 100 mais pas de A0 ou de 5.

Je me suis moi aussi amusé à essayer de calculer avec des bases et des méthodes inhabituelles.
En particulier, j'aime bien utiliser des chiffres symétriques par rapport à 0,
et j'ai commencé plusieurs calculs en base 16 avec les chiffres allant de -7 à +8.
Pour les notations, j'utilise une barre sur les chiffres négatifs, mais ce n'est pas très commode au clavier.
L'avantage évident, c'est que la table de multiplications est quasiment 4 fois plus petite, ensuite en moyenne les retenues se compensent (même si le cas le pire est toujours similaire).
Après, pour les gens qui ont du mal avec la notion de nombre négatif, la suite
8, 1_7, 1_6, 1_5, 1_4, 1_3, 1_2, 1_1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2_7,
n'est peut-être pas très parlante, et j'avoue que la dissymétrie due à l'absence de _8 n'est pas très jolie.

Avec la base 5x6 aussi, on pourrait utiliser des chiffres positifs et négatifs, avec l'avantage que pour 5, on a naturellement des chiffres symétriques autour de Z, _B, _A, Z, A, B. Les tables de multiplications sont vraiment triviale, puisqu'il n'y a guère que AxA, AxB, BxB, 2xB, 3xB, 2x2, 2x3 et 3x3 à apprendre.
Voyons, 2x3 = A0, 3x3 = A3 (mais attention, 3x_3 = _B3 à cause de la dissymétrie), 2x2 = A_2,
2xB = 1_A.
Les seuls cas où il faut un peu réfléchir sont pour les produits de lettres, mais il suffit de voir que
AxA = 1A à cause du mismatch de bases,alors AxB est le double, 2B, et les choses sont plus compliqués pour BxB, mais on a déjà la table pour construire les doubles, et on obtient BxB = A_1_A.
Pour les produits de lettres, il faudrait mettre la dernière lettre sous une forme spéciale, mais je ne sais comment faire dans ce commentaire.
Encore une délicieuse façon de perdre du temps en perspective !