Comments on Une erreur que je voudrais ne plus voir

Erratum: Peu de temps après avoir appuyé sur "Post", je me suis rendu compte de ce que j'avais laissé passer une erreur regrettable: (Z/mZ*,*) n'est cyclique que si m est une puissance d'un nombre premier impair. Pourtant David l'avait dit dans son post!

Pour Régis: ne pas confondre pédagogie et pédagogisme, qui ont à peu près la même relation que l'astronomie et l'astrologie.

Sinon, ma courte expérience d'enseignant me dit que nous avons toujours tendance, quand nous avons pu rapidement assimiler une notion, à la présenter de façon trop abstraite, et avec des exemples qui ne sont pas assez simples et familiers: si tu leur demandes l'ordre de 2 ou de 5 dans Z/10Z additif, je pense qu'il y a de bonnes chances pour qu'ils donnent la bonne réponse. Tu auras sans doute l'impression que c'est trop trivial pour mériter de poser la question, mais a priori, ils savent ce que c'est un nombre pair, connaissent à peu près leur table de multiplication en base 10 et ça a une chance de leur parler. Faire encore quelques exercices avec des (Z/pqZ,+) devrait aider à fixer la notion. Ensuite, penser à l'isomorphisme entre (Z/mZ*,*) et (Z/phi(m)Z,+) permet de se souvenir qu'il faut faire attention. Je n'ai pas d'expérience pour savoir si ce serait suffisant pour réduire significativement le nombre d'erreur, mais ça devrait éviter ce problème fréquent que la notion paraît tellement abstraite à l'étudiant qu'il se sent incapable de penser en sa présence, et répond donc la première bêtise qui lui passe par la tête.

Une suggestion : en amont de toutes ces démarches, faire rentrer la définition initiale à partir d'un unique exemple bien choisi, sans aucun formalisme, sur lequel on s'attarde trois minutes en regardant les puissances qui retombent sur 1 régulièrement, montrer du doigt la plus petite, et dire que celle-là, on l'appelle l'ordre multiplicatif… leur faire formuler eux-mêmes la définition générale.

Je dirais que le problème ici est qu'ils n'ont jamais vu (avec précision et force exercices) la notion de groupe fini et d'ordre dans les groupes finis (même abeliens).

Combien de fois as-tu eu besoin toi-même de revenir sur cette notion pour ne plus commettre la faute et qu'elle soit complètement claire pour toi?

Pour moi, (disons que j'ai été un bon élève) c'est plus par des raisonnements du type "si le prof demande ça c'est qu'il y a un piège, vu qu'il nous a dit que x^(p-1) faisait toujours 1 dans Z/pZ, la réponse ne doit pas être p-1 automatiquement" que j'ai évité les erreurs dans un premier temps. En plus d'un grand nombres de calculs des puissances successives d'un entier modulo un autre dès la terminale (ou la première). Et puis la partie cours sur les groupes durait deux ou trois semaines (au moins) en sup avec quelques exercices chaque soir.

Bref, si c'est la première fois qu'ils voient ça, le problème n'est ni avec eux ni avec toi. sauf à leur faire faire 10 exo de ton cours tous les jours, ce que j'imagine ils ne font pas.

I think f3et is on the right track. It might shock mathematicians but the students have quite probably understood the non-uniqueness very well. It's by sloppiness of justification that they wrote the "donc" where in fact no implication happens.

"vu que cette erreur revient chaque année chez au moins un tiers de mes étudiants, la faute est forcément la mienne, pas la leur."

Tu postules que tes étudiants pourraient tout apprendre s'ils avaient un bon prof. Mais ce que tu décris à l'air plutôt d'un problème de logique assez grave, indépendant du domaine d'étude. Peut-être qu'ils ont des lacunes irrattrapables et qu'il y a un problème au niveau de la sélection en amont.

Vu ton parcours, tu n'as peut-être pas beaucoup été confronté à ça, mais quand on enseigne en premier cycle à la fac, on est bien obligé de se résigner. Une bonne partie des élèves n'a tout simplement pas les capacités pour réussir dans les études qu'ils ont choisies.

Juste pour répondre à SB : il s'agit probablement de Pierre Colmez ; voir en particulier son cours (Eléments d'algèbre, d'analyse (et de théorie des nombres))

Présenté comme ça, on ne voit pas ce qui peut faire douter l'étudiant.
Petite considération sur ce qui peut amener un étudiant à se tromper : il a deux représentations d'une même situation qui ne sont pas cohérentes entre elles, ou bien il ne se représente pas grand chose…
Dans le premier cas, il extrapole à partir d'une représentation, ce qui mène à une contradiction avec l'autre. Style : il imagine une horloge pour la périodicité (le modulo) et au lieu de faire un produit fait un décalage (un shift)… Dans ce cas, on montre que 1*1=1 (et non 2..), et on s'interroge sur 2*2… Autrement dit, on essaie de démonter la cause de l'erreur qui étant assez systématique ne peut pas être que l'objet du hasard, imputable à la mauvaise volonté ou à une autre raison de circonstance… D'où la difficulté de donner des exemples pas trop "trompeurs" ou d'illustrer en montrant les limites de son choix (ce qu'on fait rarement, parce qu'on le juge "parlant"). Et par suite, surcharger l'étudiant de trop de représentations (non équivalentes) peut ne pas l'aider.
Dans le second cas (absence de représentation), celui-ci répond au pif… Et l'objectif de l'enseignant est de lui en fournir une…
Autre raison d'une erreur systématique : l'étudiant n'a pas le bagage logique, mathématique, culturel ou autre, pour suivre le cours. Ce n'est pas évident à un enseignant qui ne les fréquente pas suffisamment et qui est trop focalisé sur sa matière de s'en apercevoir. Ou d'y remédier, puisque ce n'est pas forcément dans ses attributions.

Oui, il y a des erreurs que tous les élèves font, année après année, et qu'on ne peut pas éradiquer: des mèmes très résistants, donc.
Un autre exemple d'erreur irrésistible:un polynôme est irréductible dès lors qu'il n'a pas de racine.
A titre anecdotique, il semble que Leibniz croyait que x^4+1 était irréductible sur les réels, et je peux bien imaginer qu'il tombait dans ce mème piège.

Je ne sais pas qui vous êtes, Régis, mais vous m'avez bien fait rire: merci!

"quand on est mathématicien, on oublie vite à quel point on a eu du mal, étudiant, à changer le sien".

Surtout quand on a jamais rien eu à changer et que l'on a jamais eu de mal avec ces choses-là…

"Je sais que les enseignants aiment se plaindre que leurs élèves sont nuls"

J'avais été surpris de voir, il y a quelques années, un texte du prof de maths de première année de l'X (des habitués du blog pourront probablement le retrouver) qui se plaignait des grosses lacunes en maths de ces étudiants. Trouve-t-on le même discours chez des enseignants d'Ulm ?

J'aurais beaucoup à dire, mais ton exemple est vraiment mal choisi, parce que de toute façon, ils ne connaissent pas le sens du mot "donc" (si tu voyais ce que mes élèves écrivent), et que le peu de logique formelle qu'ils ont appris les amènent à le confondre avec "implique". Or 2+2 =4 implique que l'ordre de 2 modulo 11 est 10… Bref, déjà, faut prendre (en contrôle) un exemple où le résultat est faux, sinon ils auront beau jeu de te rétorquer que leur réponse est juste…

Pour le reste, je crois que c'est une forme (à peine plus) avancée de principes essentiels de mathématiques pour les nuls : toutes les fonctions sont linéaires (sqrt(a+b)=sqrt(a)+sqrt(b)), toutes les conditions nécessaires sont suffisantes, tous les quantificateurs commutent, non (pour tout x, A )<=> pour tout x, non A , etc… et donc , si f(a,n)=0, le plus petit x pour lequel f(a,x)=0 est n. C'est l'esprit humain qu'il faut changer, là, et quand on est mathématicien, on oublie vite à quel point on a eu du mal, étudiant, à changer le sien…

Je ferais l'analogie suivante.

Multiplier dans Z/nZ c'est tourner sur le cercle unité (à la Moivre).

Multiplier par a c'est avancer d'un certain angle.

Au bout de k pas je suis revenu au point de départ.

Rien ne dit que je n'ai pas fait plusieurs tours.

L'an prochain, dit en cours que tu vas leur demander à l'examen quel est l'ordre de 2 modulo 11. Précise que le raisonnement que tu as décrit (2^10=1 donc …) est faux. S'il y a encore une proportion importante d'étudiants qui se plantent c'est que ce n'est pas un problème de pédagogie !

Evidemment, la pédagogie est une science. La prochaine fois que tu viens à Lyon prends rendez-vous avec Philippe Meirieu. Il t'en inculquerait les rudiments.
D'abord arrête de dire les élèves, les étudiants. C'est vachement has been. Ce sont des APPRENANTS.
Toi, tu es un animateur. Il faut leur faire faire des jeux de rôle, de l'expression jaillissante et spontanée, ça apprend tout un tas de trucs. Et même si ça n'apprend rien, c'est bien.
Ca ne veut pas dire que, pour autant,ils te répondront ce que tu attends d'eux; mais ils doivent constituer leur savoir et donc le réinventer.
Ensuite, leur savoir vaut bien le tien et sans doute te faut-il avoir des idées moins arrêtées. Toute vérité est bonne, puisqu'elle est illusoire, provisoire et dérisoire.
Pour finir, tu comprendrais que les maths, c'est comme le latin et le grec, ce sont des disciplines cruelles et réactionnaires destinées à la reproduction endogène des élites. C'est très suspect. Mais tu es peut-être rééducable.
En bref, tu en sortirais ou convaincu ou dépressif et réduit à piller les chocolats de la maison Bernachon pour te désembrouiller les idées.

Bonjour,
Quel est l'enjeu (que risquent les étudiants s'ils "ratent" le devoir, que gagnent-ils s'ils le réussissent ?). On parle bien d'étudiants qui ont fait une classe prépa, pendant laquelle ils ont rencontré pas mal de math, et réussi un concours non évident (?).