Comments on Pourquoi je ne crois pas à l'ultrafinitisme

Je précise que ma remarque sur l'ultrafinitisme était une boutade. Juste que, d'un certain point de vue, les entiers trop grands ne nous importent pas.

Prends par exemple n² log log n >> n², mais en algorithmique log log n c'est 7 à tout casser, donc une constante. :-)

Bien compliqué pour faire remarquer que les axiomes de Peano prouvent l'existence d'entiers aussi grands qu'on veut. Mais en réalité, le paradoxe du tas de sable (qui revient essentiellement à ça : quand on enlève un grain de sable à un tas, on obtient toujours un tas) ne fait que traduire le fait qu'en Analyse non-standard, l'ensemble des entiers "infiniment grands" (entiers non standards) n'est pas un ensemble interne.

Si un grand nombre n'existe pas, ne peut-on en déduire, par récurrence descendante, que les précédents n'existent pas non plus?

C'est toujours un reel plaisir de decouvrir de nouvelles choses sur votre blogue.

@Isidore: En effet: (une fois fixé un système de preuve ou de description) la plupart des nombres sont tels que la taille de leur plus petite description formelle est du même ordre que celle du nombre lui-même; autrement dit, on n'arrive pas à désigner individuellement les grands entiers.

Ceci dit, on arrive à les manipuler collectivement.

Le nombre existe-t-il en soi ou en ce qu'il est utile? le débat est complexe car les mêmes individus ont professé tantôt l'une, tantôt l'autre de ces propositions. Pic de la Mirandole, néoplatonicien également proche de la mystique pythagoricienne (mathematicae scientia non sunt)s'est peu à peu replié sur une approche réaliste.
Question: réaliser des opérations mathématiques sur des nombres supérieurs au nombre d'atomes dans l'univers est-il de nature à mieux le comprendre (bon, ma question est tendancieuse car intéressée)

La question est surtout : qu'est-ce qu' "exister" veut dire pour un nombre ?

Je comparerais cela avec un roman : *Salammbô* existe parce que Flaubert l'a écrit et que maintenant, il est conservé dans des livres, sur des disques dur, dans des mémoires, etc. Si tous les exemplaires de *Salammbô* brûlaient et que tout le monde l'oubliait, ce roman existerait-il encore ?

Évidemment, un roman et un nombre, ce n'est pas la même chose. Mais un nombre auquel personne ne pense jamais (mettons un nombre d'un milliard de chiffres qui n'a rien de remarquable) existe-t-il de la même manière que 5, qui non seulement est écrit en quantité d'endroit, mais qui est même présent dans nos esprits parce qu'il est assez petit pour que nous le concevions intégralement ?

Bref, pour une entité abstraite comme les nombres, je ferais une différence entre les nombres qui existent réellement parce qu'ils sont pensés et les nombres qui n'ont une existence que virtuelle (en puissance, dirait Aristote) parce que personne ne les pense.

(Et par ailleurs, les nombres très grands, je ne suis pas sûr que nous puissions vraiment les penser comme nous pensons 5, par exemple, mais c'est un autre problème.)

Est-ce que c'est une théorie du coût de la démonstration, alors?
Des "maths-éco"?

Comment on peut alors avoir des coupures? Coupure = fraude comptable, non?

La remarque vient d'une question sur MathOverflow <URL: http://mathoverflow.net/questions/44208/is-there-any-formal-foundation-to-ultrafinitism > (voir le commentaire de Trimble du Oct 30 2010 at 22:38).

Et d'ailleurs, dans cette question il est mentionné cet article de Sazonov <URL: http://www.csc.liv.ac.uk/~sazonov/papers/lcc.ps > Qu'en penses-tu? Il serait intéressant d'en extraire l'argument essentiel en forme concise pour voir s'il est correct… Si oui, c'est bel et bien une fondation raisonnable de l'ultra-finitisme.