Comments on Pourquoi l'univers constructible de Gödel est important mathématiquement et philosophiquement

Une partie d'un ensemble constructible n'est en effet pas toujours (enfin, pas démontrablement) constructible. Un produit cartésien d'ensembles constructibles, en revanche, est bien constructible (chercher « Gödel operations » pour une liste de choses laissant stables les ensembles constructibles). Et de fait, il y a un axiome de choix constructible global aussi fort qu'on peut imaginer : il existe une formule qui démontrablement dans ZF définit un bon ordre sur la classe L des ensembles constructibles, ou une bijection avec les ordinaux si on préfère, et en particulier une formule (totalement explicite) qui démontrablement dans ZF choisit un élément de chaque ensemble constructible non vide. (D'ailleurs, dans mon précédent commentaire, j'aurais dû écrire ZF plutôt que ZFC : ZF+(V=L) et ZFC+(V=L) sont de toute façon la même chose, mais ce qui est intéressant c'est que tout théorème de cette théorie donne un théorème de ZF portant uniquement sur les ensembles constructibles.)

@SM: Pour ce qui est de la première question, quand quelqu'un poste un commentaire, je le vois apparaître sur la liste des commentaires récents (le lien est en tête de chacun des pages de mon blog, mais moi je vois aussi les commentaires non encore modérés), et c'est à partir de là que je les lis.

Pour ce qui est de la deuxième, tout théorème de ZFC+(V=L) donne automatiquement un théorème de ZFC qui est le même énoncé dans lequel tout quantificateur est limité à L (c'est-à-dire qu'on remplace « pour tout x » par « pour tout x constructible » et « il existe un y » par « il existe un y constructible » partout ; il est aussi utile de retenir que tout ordinal, et que tout élément d'un ensemble constructible, est automatiquement constructible). Par exemple, pour ce qui est de Kurepa, on a le théorème suivant dans ZFC : Il existe un ensemble F constructible de parties de ω₁^L (le ω₁ constructible), qui est en bijection constructible avec le ℵ₂ constructible, et tel que pour chaque α<ω₁^L l'ensemble des X∩α avec X parcourant F soit constructiblement dénombrable. Mais bon, ce n'est pas super parlant (le problème est surtout que si ω₁^L est un vrai ordinal, ce n'est pas forcément le vrai ω₁).