Comments on Le fastidieux apprentissage du nombre zéro

Pour changer les habitudes, il faudrait faire comme pour les nouveaux préfixes binaires et définir un suffixe pour les ordinaux indexés à partir de 0, par exemple en toutes lettres « le mille-vingt-quatrien octet est le zérien octet du primien kibioctet » ou en abrégé « la Révolution Française a eu lieu au 17en siècle » (peut-être que le suffixe -ien est un peu trop proche phonétiquement de -ième, surtout au féminin).

Pour l'usage mathématique, je propose de définir des points de suspension qui excluent le dernier terme, par exemple 0+1+:+n = n(n-1)/2 (ce qui a en plus l'avantage d'être plus facile à taper que des points de suspension). C'est moins self-explanatory que ta proposition <n, mais ça a l'avantage de ne pas introduire de problèmes syntaxiques et d'être plus concis surtout en cas de répétition du terme. Pour ce qui est des ∑/∏, on peut se contenter d'écrire ∑_{i=0:n} sans utiliser l'indice supérieur.

Bref, Sapir-Whorf : inventons un langage où premier / primaire / primer / primeur sont associés au zéro plutôt qu'à l'unité ? À moins qu'une telle langue n'existe déjà ?

@ Ruxor (2012-12-25T23:49:44+0100)

Je ne sais pas si c'est ton petit coté Asperger ou de la pure provocation mais tu en viens parfois à énoncer des choses (même si parfois pas forcément dénuées de tout intérêt parce qu'elles nous obligent à y réfléchir de façon un peu plus formelle qu'à l'emporte pièce alors que le problème à l'air anodin) qui sont tellement faible en importance tout en étant tellement à coté de la plaque et tout en y apportant un formalisme assez incroyable, que ça en devient à peine croyable. Tu dois être la seule personne qui se fait autant de noeuds aussi serrés au cerveau, et pourtant, j'en côtoie quelques uns, dont moi même.

Bref, la notation à partir 1 quand il existe au moins 1 élement est quelque chose de très naturel à tel point que c'en est devenu une convention, c'est à dire un fait convenu comme vrai / pratique / intéressant / digne d'être utilisé / WTF / … par la majorité des gens. Oui, on peut aussi construire des conventions aussi connes qu'on veut mais à priori, quand les gens conviennent ensemble d'utiliser un formalisme, on peut penser que ce n'est pas si stupide que ça.

On peut certes trouver des gros contre exemples comme avoir construit une Europe juridiquement harmonisée sans harmonisation fiscale etc mais là, on est sur des "ordres de grandeur" qui sont très élevées avec beaucoup de faits peu prévisibles etc… et surtout une difficulté à formaliser les théories qui ne rend rien de prédictif et donc, beaucoup se fait à l'intuition, à la grande règle et à l'idéologie d'où de telle erreur après coup.

Pour revenir à tes deux assertions, "Commencer à numéroter à partir de zéro revient à se demander pour chaque élément combien d'éléments le précèdent strictement" étant la première (la zéroïème ?), c'est juste une convention comme une autre qui n'a visiblement pas été adoptée. Je ne la trouve pas conne pour autant, je dirai juste que cela introduit un mécanisme opératoire qui ne se justifie pas. Si on a un concours à deux places, il y a le premier qui l'a réussi, et son suivant, le deuxième. Respectivement, occupant les première et deuxième places (appelées via d'autres conventions dans éventuellement d'autres contextes : major, caïman, avant dernier etc puis dernier, chanceux, ….) des 2 places disponibles.

Et je ne vois pas en quoi le fait de désigner une place par rapport à la place précédente apporterait une information, surtout que pour la première place (ta zéroïème), il faut faire référence à une personne qui a la propriété de ne pas exister : la première personne, ie, ta zéroïème est la personne qui a un nombre de personnes devant elle dont la cardinalité de l'ensemble référence est zéro, c'est à dire qu'il n'y a personne.

Sans compter (si je puis dire), que depuis notre actuelle convention, il faudrait pour passer à la tienne, considérer du coup que pour un concours à deux places, le deuxième arrivée n'a pas de place.

Certes, pour passer de ta convention à la notre, il faudrait aussi faire deux changements de conventions d'appellation, mais notre convention a au moins deux mérites d'appeler un chat un chat : le rang d'arrivée correspond à une réalité physique : quand tu arrives deuxième, il y a un premier, et donc, une personne devant toi (donc toi et cette personne ça fait deux, et toi tu es deuxième), et d'autre part, quand on parle d'un concours à 18101971 place, le dernier s'identifie à la cardinalité.

Aussi, quand tu dis "il est logique d'appeler zéroïème la personne la mieux classée à un concours parce qu'il y a zéro personnes qui ont fait mieux que lui", c'est une assertion purement gratuite qui ne se justifie pas à tel point que c'est d'ailleurs l'autre qui a été prise, et je pense qu'il en est de même pour l'autre "… Et si le concours a 42 places, il me semble plus logique que le numéro 42 soit le premier recalé que le dernier reçu".

Quant à "Quant à numéroter les hamburgers qu'on mange, si on trouve logique de dire « quand j'ai fini de manger le 10e hamburger, j'en ai mangé 10 » je ne vois pas pourquoi ce ne serait pas plus logique de dire « quand je *commence* à manger le 10e hamburger, c'est que j'en ai (déjà) mangé 10 ».", ben essaie de demander autour de toi comment on pourrait trouver un raisonnement, quand bien même il serait aussi alambiqué et inattendu que possible, pour que l'assertion suivante soit vraie : "je vais bientôt m'attaquer à mon premier hamburger, et de fait, quand je l'aurai fini, j'en aurai mangé au total deux".

Et pour cette histoire de zéro avec les étages et autres conventions où le zéro peut être utile (les heures par exemple), n'oublions pas juste que l'étymologie d'étage est estage, le "lieu où l'on demeure" et qu'avant, on demeurait "au dessus" de ce qu'il y avait au niveau du sol pour plein de bonnes raisons (passages, magasin, cave, humidité, …) d'où rez de chaussée qui n'est pas étage zéro mais qui se voit désigner comme "niveau" zéro du fait d'une convention qui tombe bien selon les règles que j'ai données ci dessus, et qui de fait n'impose pas de dire que c'est le zéroième étage, car cela n'en n'est pas un. (même si bien des gens disent d'une maison qu'elle a deux étages alors que c'est deux niveaux)

Pour les heures, j'ai tendance à penser que c'est du fait de la cyclicité de la numérotation qu'il est parfois intéressant d'amener à démarrer à zéro.

Bref, ta convention est parfaitement valide, même si j'estime qu'elle ne se justifie pas, qu'elle n'apporte aucune information supplémentaire, qu'elle me semble un brin plus compliquée et moins naturelle et que de toute façon, ce n'est pas celle que "nous" avons adoptée, et que par voie de conséquence, ta demande auprès du bureau international de révision des conventions d'appellation et de numérotation (le fameux BIRCAN dont tu sembles ne pas oser prononcer le nom : aurais tu peur ?) est rejetée.

Je ne t'en veux pas pour "alors que nous autres en sommes encore à numéroter comme des cons les jours du mois à partir de 1" etc.

Bonne année.

Pour la notation, certains utilisent les doubles crochets : ⟦1,n⟧, une notation qui (comme ℕ) est seulement plus pratique sur un tableau.

Sinon, comme j'ai moi-même tendance à préférer compter à partir de zéro (pour les mêmes raisons que toi), je me suis rendu compte que c'est assez désagréable d'avoir à penser deux syllabes (zé-ro) en français pendant qu'on fait quelque chose de pénible (typiquement : compter ses réps de muscu). En suédois c'est 4 et 8 qui font chier, et en anglais 7 (si on prononce 0 "naught").

Apparement certaines personnes arrivent à compter "visuellement" (cf. cette célèbre vidéo de Feynman : <URL: http://youtu.be/Cj4y0EUlU-Y > ), j'y arrive en me forçant, mais sinon il me faut une langue. C'est con.

@ln: l'entresol est un premier niveau qui n'est pas piano nobile.

Les mayas emploient le 0 dans le long compte (qui n'est rien d'autre qu'un nombre de jours depuis une origine conventionnelle), un entier naturel écrit en base 20 à part le deuxième « chiffre » qui est en base 18. En parallèle, ils utilisent deux calendriers, l'un à 18•20+5 jours qui utilise le zéro (le Haab') et l'autre à 13•20 jours qui n'utilise pas le zéro et qui utilise un autre système d'incrémentation (le Tzolk'in). Malgré l'admiration qu'on est bien obligé de ressentir pour ce système, les utiliser comme introduction à un billet en faveur de conventions plus simples me paraît un peu tiré par les cheveux :-)

Et si j'ai bien compris, la date du 13.0.0.0.1 est un peu plus remarquable qu'un simple changement de b'ak'tun (par exemple que le précédent ou le suivant), pour des raisons mythologiques (des histoires de créations antérieures qui auraient duré précisément treize b'ak'tun avant d'échouer).

@ln : c'est le cas d'au moins un immeuble (années 30, je dirais) sis à Nice.

Le zéro c'est comme l'interdiction du port d'armes ou de l'alcool au volant. Ça ne sert a rien de discuter, il ne comprendront jamais. La seule solution est de prendre son mal en patience en attendant l'extinction de tous ces braves individus.

J'ai longtemps cru que pour toute personne qui avait une fois dans sa vie fait un changement d'indices dans une sommation, la notion de zéro s'imposerait d'elle même comme une évidence… puis j'ai compris qu'il y a des gens a qui les coups ne font rien.

C'est pour moi d'ailleurs un test d'intelligence assez simple et fiable.

En Suisse, meilleure démocratie d'Europe :), il y a le rez-de chaussée et le premier étage ; mais entre les deux il y a l'« entre sol », ce qui fait que le dénommé premier étage est en fait le deuxième étage au sens parisien, que du bonheur.

Pareil qu'Ooten, je ne comprends pas le problème. C'est seulement une question de choix, sauf dans les cas où justement il n'y a pas de choix. Par exemple, dans le modèle atomique de Bohr-Sommerfeld, le nombre n qui quantifie l'énergie totale prend des valeurs entières de 1 à l'infini. Le premier état quantique, ou état basal, est donc 1, et il n'y a pas de zéro-ième état associé à n=0 parce que cela n'a pas de sens. On peut bien sûr faire le malin et dire que, de manière conventionnelle, l'état basal correspond au 0-ième état de la liste des états accessibles, mais comme il y a un nombre infini d'états, ça ne reste qu'un changement d'étiquette. Par contre, sur les conséquences de la dite théorie, on peut déjà moins faire le mariole. Il n'y a pas de période 0 dans la table périodique des éléments, non pas parce que la table fut construite par des gens qui prirent la décision arbitraire "OPTION BASE 1", mais parce que, intrinsèquement, la 0-ième période n'existe pas dans la théorie BS qui sous-tend la table périodique. De nouveau, on peut argumenter qu'en triturant la théorie, on peut bien faire apparaitre une période 0 qui soit la première (i.e. construire un monde avec un nouvel élément d'énergie basale infinie, ou construire une table périodique avec une période qui ne contiendrait aucun élément), mais la trituration sera vraiment irréaliste: il faudra calculer des dérivées 0-ièmes, définir -1! et autres joyeusetés de ce genre.
Soit dit en passant, à l'intérieur de BS, l'autre base "OPTION BASE 0" est utilisée pour le nombre quantique azimutal (l) qui varie de 0 a (n-1). Le but n'est pas de compliquer le modèle, ou de tendre un piège. C'est juste une nécessité.

De l'autre côté du spectre, où en général les listes sont finies, c'est la force de l'habitude qui détermine les conventions, et la question de savoir si la convention est de style Pifou "glop, glop" ou "pas glop, pas glop" me parait vraiment futile. Quand le compte à rebours pour le décollage d'Ariane commence, je crois que personne ne s'attend à ce qu'il finisse à 1. Tout le monde est d'accord pour que, si tout va bien, ça soit: 10, 9, 8…3, 2, 1, 0 BOUM (le BOUM est synchronisé avec le 0). Si ça fait BOUM avant ou après 0, c'est pas bon signe. Changer la convention serait aussi mal vu que d'imaginer un scénario ou le héros sauveur de l'univers déconnecterait la bombe atomique des méchants quand l'horloge de la bombe indiquerait "+ 1.2 s". Le spectateur veut voir des fractions de seconde défiler jusqu'à, disons, "0.2 s".

Mais qu'est-ce qu'il bricole ?

En parlant combinatoire, et pour me faire pardonner un peu au sujet de ma syntaxe barbare,
j'ai déniché cet article, quasi "orphelin" (i.e. sans liens relatifs) :
<URL: http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27inversion_de_Pascal>
Connaissiez-vous cette formule (sans doute très utile, mais à quoi ?) ?

Je ne vois pas où est le problème ? Il y a des circonstances (ou des formulations des problématiques) pour lesquelles la convention défendue par Ruxor est la bonne mais d'autres pour lesquelles celle défendue par Vicnent, Fab, Alfred est meilleure. A moins que l'une des conventions soit meilleure dans une large majorité des problématiques et qu'elle n'est peut être pas celle adoptée aujourd'hui. Et il me semble que la remarque de Philip_Marlowe résume très bien ce dilemme.

Bonjour,

Je veux bien dire (i.e. reconnaître) que les entiers de 0 à 2^64 (par bête convention informatique actuelle) sont bien "naturels" (et même pour certains, assez familiers [comme 0xC000 qui était le début de la mémoire vidéo sur CPC-6128]).
Au-delà, cela reste vrai (bien-sur) mais ça commence déjà à me faire peur.
Si l'on considère le nombre de particules (ou plutôt "quanta") dans l'Univers Observable par exemple, c'est très impressionnant (bien qu'en notation, ce soit très, très compact [entre 10^80 et 10^100])

Je me souviens aussi de la notation |N(n) (|N indice n) qui désigne le segment entier [|1;n|] (voir les cours élémentaires de combinatoire par exemple).
Aussi, j'aurais plutôt tendance à privilégier 1 comme désignant le premier index d'une (longue?) liste (a contrario de la convention informatique, donc).
|N(0) est l'ensemble vide.
|N(1) est le singleton {1}
|N(2013) est l'ensemble {1;2;3;…;2012;2013}
|N(2^64) est… ahem, ouf, stop ! (le cardinal de |N(n) est n, pour tout n)

N'ayant pas encore fêté mes quarante (40) ans, j'en viens aussi à constater que l'éternité doit être vraiment-vraiment longue (et surtout vers la fin…)

[Je ne sais pas si tu as pris volontairement cet exemple de sauter le 13, mais tu dois sûrement savoir qu'il paraît que certains immeubles n'ont pas d'étage 13 pour des raisons de superstition (évidemment, tu diras que c'est con et que cela pose des problèmes pratiques…) :-) ]

Pour en revenir à nos (comptes de) moutons, mon message précédent était mal fini, alors je voudrais dire plus clairement :
pour identifier un élément, on peut employer les numéraux ordinaux ou cardinaux : la 3e pomme ou la pomme 3 (ou n°3, ou #3 chez les anglo-saxons).

Le premier emploi suppose un ordre et une série complète, mais le second pas toujours (exemple : les numéros des maisons dans les rues, les numéros de téléphone, etc.).

Dans le second emploi, la majorité des gens commenceront spontanément la numérotation à 1 s'ils doivent numéroter une série, mais je conçois qu'on puisse préférer commencer à 0 (c'est d'ailleurs l'habitude des informaticiens). Cependant, je ne trouve pas cela plus logique : certaines opérations sont plus faciles si j'ai numéroté de 1 à n, d'autres si j'ai numéroté de 0 à n. Par exemple, si j'ai numéroté mes pommes de 1 à 3, je vois tout de suite que j'ai trois pommes. (Pour ton "les nombres de 6 à 11", le problème est que si je dois dire "les pommes de 6 à 11" pour les pommes 6, 7, 8, 9 et 10, j'invente une pomme 11, qui n'existe pas forcément.)

Même chose pour le premier emploi, mais je crois que personne à part toi n'envisage de désigner les éléments de zéro-ième à n-ième. Là, il faudrait carrément réécrire la langue française pour imposer cette norme, car le système est inscrit dans la définition qu'on a des termes (hormis pour les étages), alors que dans l'emploi des nombres comme étiquettes, il ne s'agit que d'un usage et les deux emplois sont répandus (mais soit dans des milieux différents, soit pour des choses différentes).

Remarquons que zérotième et zéroième (chez Péguy) ont été employés, mais il ne s'agissait pas de tentatives de refaire le système.

Je te concède bien volontiers qu'il est illogique de numéroter les jours du mois et les rois et empereurs en mélangeant les deux systèmes : le 1er mai, le deux mai, etc. Du coup, on ne sait plus à quel système on a affaire… Mais je ne pense pas que cela pose beaucoup de problèmes.

De même, pour les années, il serait en effet plus logique d'avoir une année 0, mais il serait un peu compliqué de refaire tout le calendrier (d'autant que Jésus n'est pas né en 1, même le Vatican le reconnaît, c'est dire).

Bref, tout ça, c'est compliqué et pas forcément cohérent dans les détails, mais je ne suis pas forcément d'accord en certains points sur ce qui est le plus logique. Evidemment, c'est une entrée de blog, rédigée sans prétention d'exhaustivité et visant plutôt à alerter les lecteurs sur le problème (ce qui est réussi) qu'à apporter une solution complète, mais à mon avis, une entrée un peu plus fouillée sur les différents usages des nombres aurait été plus convaincante.

D'accord avec les commentaires de Fab et de Vicnent : il ne faut pas confondre dénombrement et désignation (je ne trouve pas de meilleur terme). Normalement, les cardinaux servent pour la première opération et les ordinaux pour la seconde, mais il est fréquent que les cardinaux servent aussi pour la première, avec une petite subtilité orthographique : si j'ai lu quatre-vingts pages, j'en suis à la page quatre-vingt (sans s). Preuve que la langue française a conscience des deux usages…

J'entendais l'autre jour sur France Culture une émission où un pédagogue spécialiste de l'enseignement des maths aux jeunes enfants expliquait qu'actuellement, on apprenait trop tôt aux enfants à compter loin, au lieu de leur faire comprendre la notion de quantité. Bref, on leur apprenait trop tôt une opération plus que l'autre.

Quant à commencer la numérotation par zéro, ça a certains avantages et pas d'autres (un peu comme quand en C, j'utilise ++i ou i++ : ça revient au même, le tout est de ne pas s'embrouiller). Le fait qu'arrivé au 10e hamburger, j'ai mangé 10 hamburgers et pas 11 me paraît plus simple.

Bref, pas la peine de refaire tout le langage pour certaines circonstances où ce serait plus simple…

À propos de l'indexion ordinale :
« on devrait commencer par un dérivé du nombre zéro (la personne la mieux placée à un concours devrait s'appeler zéroième) ».

Alors là pour le coup, je ne suis pas du tout d'accord ou alors il faut m'expliquer : si n personnes se présentent à un concours, il est fondamentalement naturel de les numéroter de de 1 à n, pourquoi diable de 0 à n-1? this does not make sense! Le n-ème *doit* désigner le dernier, et ainsi le 1er le meilleur, non ?

Après comme dit Vincent, il ne s'agit que de convention… Malgré tout je suis d'accord avec toi sur le billet en général. Mais lorsqu'il y a un cardinal « concret » (comme un nombre de candidats) sous-jacent à un ordinal, je ne vois pas le bien-fondé d'« ordinaliser » à partir de zéro.

Je ne sais pas si c'est intéressant de dire qu'une convention est conne. Car pour moi, ça reste une convention.

Pour ma part, le zéro est surtout associé à une absence ou rien ou le vide.

Un ensemble vide à une cardinalité de zéro. Du coup, appeler le zéroïème l'actuel premier élement me donne l'impression qu'on ne fait que renverser le sens de la convention.

@Ruxor: la numérotation des étages en France est complexe dans les immeubles anciens où le premier niveau est parfois appelé entresol…

L'année zéro existe bien, du moins en astronomie, s'il faut en croire Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Ann%C3%A9e_z%C3%A9ro

Jacques Sélère : heu si…il faut avoir honte. Ce n'est pas parce que ton chef utilise également un langage/soft mort qu'il te faut faire de même avec bon conscience. python est là pour toi.
"OPTION BASE {0 | 1}" est la pire imbécilité qui soit. Ça rend le code peut lisible. De plus, si on sait ce qu'est un tableau en mémoire, seule la convention '0' à un sens.
Je souhaite ne jamais croiser ni tes codes ni ton entreprise/labo/whatever.

Dans les versions primitives du BASIC de Microsoft, au moins, on avait le choix pour les tableaux, avec la déclaration:

OPTION BASE {0 | 1}

J'ai toujours trouvé ça très utile. D'ailleurs, je peux l'avouer ici, mais n'allez pas le répéter: je continue à utiliser Q-BASIC sous MS-DOS (pourquoi compiler quand ça ne sert strictement à rien?). Je n'ai plus honte depuis que j'ai découvert qu'un de mes chefs utilise PINE 1.0 pour le courrier électronique.

En Chine, les étages commencent aussi à 1, il n'y a pas de rez-de-chaussée

En allemand, "halb neun", c'est clairement "la moitié (d'une heure) avant qu'on en soit à la neuvième.
Le gag étant "viertel zehn" (assez courant dans la langue parlée) change de sens (10:15 ou 9:45) en fonction de la région. C'est une source récurrente de gags.

L'invention du zéro a inspiré Denis Guedj. Mais il ne parle pas du zéro des Mayas et c'est bien dommage.

J'ai l'impression que lorsqu'on dit "le premier", on fait implicitement référence à l'opérateur qui fait avancer d'une unité*, à l'inverse, 0 est associé à l'immobilité. Cette confusion entre un nombre et l'opérateur additif qui lui correspond est très visible lors de l'apprentissage des mathématiques au primaire. Et vues les pratiques langagières en cours, que vous relevez avec brio, elle ne risque pas d'être levée.
Les mesures physiques sont exemptes de ces mauvaises habitudes. Par exemple, on mesure une température de 0°C -c'est un faux zéro, et en outre, une personne non renseignée n'a pas de raison de penser qu'il n'existe pas de température "aussi basse" que l'on veut.
Moralité (à trois sous), après chaque révolution scientifique, il faudrait nettoyer le vocabulaire et expurger la langue de toutes les conceptions surannées qu'on aura identifiées.

*Ca me fait penser à JM Souriau qui plaçait la notion de groupe au départ de nos conceptions. On peut consulter avec profit son ouvrage original sur la "Grammaire de la Nature" :
http://www.jmsouriau.com/Publications/Grammaire%20de%20la%20Nature/JMSouriau-GrammaireDeLaNature8juillet2007-complet.pdf

En maths, les éléments des matrices sont généralement numérotés à partir de 1. (a_{i,j} pour i et j allant de 1 à n pour une matrice carrée de taille n, par exemple)

Sais-tu donner une explication à cette habitude?

Pour ce qui est du russe au moins (c'est ma langue maternelle), j'ai vraiment l'impression qu'on est dans le premier cas. Il est clair que la langue russe englobe toute la période entre 8h00 et 9h00 sous le nom de "la neuvième heure". D'ailleurs, cette expression peut même s'employer telle quelle :
"Сколько времени? --- Уже девятый час."
se traduit par :
"Quelle heure est-il ? --- Déjà huit heures passées.".

Le premier entier naturel est le zéro. Là commence la confusion.

Si je peux me permettre de rajouter un détail : bien que les heures telles qu'affichées sur une horloge soient, en effet, toujours comptées à partir de 0, on retrouve le comptage à partir de 1 à l'oral dans certaines langues. En allemand, en voyant 8:30 sur l'horloge, on dira "halb neun". En russe, c'est encore pire : même 8:15, par exemple, se dira "четверть девятого" --- littéralement "un quart de la neuvième [heure]".