Comments on Ce que « vrai » veut dire en mathématiques

Ruxor (2019-06-24T16:08:35Z)

@Vicnent: Ah oui, bonne idée, je vais faire un lien. 😁

Vicnent (2019-06-24T15:37:43Z)

Vous lisez cette entrée (de blog, pas ce commentaire) car vous avez "un sérieux problème" et vous "feriez mieux de faire de la peinture que des mathématiques."

source : <URL: http://www.madore.org/~david/weblog/d.2011-05-13.1881.html />

Olivier (2019-02-13T14:01:27Z)

Ah, enfin une bonne nouvelle pour un paysan tel que moi, qui voudrait que la vérité mathématique d'une hypothèse H pouvant être exprimée par une formule Sigma dans un langage L de la logique du premier ordre soit caractérisée par la satisfaction de Sigma par un certain modèle de référence qui capture exactement le sens mathématique "standard" des symboles fonctionnels et/ou relationnel de L.

Dans Peano, ce modèle de référence est celui de l'arithmétique standard. Le fait que les axiomes de Peano ne parviennent pas à le cerner complètement ne me traumatise pas, du moment que je sais que ce modèle existe.

Mais dans ZFC, le fait qu'il n'y ait pas vraiment de modèle de référence qui capture exactement le sens mathématique de "appartient" et de la notion d'ensemble n'est pas confortable pour mon esprit plutôt terre à terre :-).

Ruxor (2019-02-13T11:50:44Z)

@Olivier: Alors là, c'est le contraire : pour un énoncé arithmétique, la valeur de vérité est la même dans tous les modèles transitifs de ZFC (on dit que ω est absolu pour les modèles transitifs). C'est la raison pour laquelle la technique du forcing (qui fabrique de nouveaux modèles transitifs et qui est très puissante pour dire des choses sur des énoncés ensemblistes combinatoires) est impuissante à montrer l'indécidabilité de ce type d'énoncés.

Olivier (2019-02-13T10:15:09Z)

Grand merci pour cette réponse. Et si j’affaiblis ma question en ne parlant que des énoncés pouvant être écrits dans le langage de Peano ?

Soit un énoncé mathématique E (qui pourrait être par exemple P = NP) pouvant être écrit (traduit, reformulé, modélisé…) dans le langage de Peano sous la forme d'une formule E_Peano et dans celui de la théorie des ensembles sous la forme d'une formule E_ZFC. Si E_ZFC est satisfait par un modèle transitif de ZFC, alors est-il nécessairement satisfait par tous les modèles transitifs de ZFC ?

Ruxor (2019-02-13T06:03:25Z)

@Olivier: Non ! Par exemple, il existe un plus petit modèle transitif de ZFC (du moins, s'il existe des modèles transitifs de ZFC… ce que ZFC ne peut pas prouver, bien sûr), et ce plus petit modèle M vérifie l'hypothèse du continu, mais on peut s'en servir pour fabriquer des modèles transitifs qui ne la vérifient pas. D'ailleurs, M vérifie aussi l'énoncé « il n'existe pas de modèle transitif de ZFC » (ce qui est en quelque sorte attendu puisque c'est le plus petit…), mais en général, d'autres ne le vérifient pas.

Olivier (2019-02-12T19:06:38Z)

Si un énoncé dans le langage de la théorie des ensembles est satisfait par un modèle transitif de ZFC, alors est-il nécessairement satisfait par tous les modèles transitifs de ZFC ?

Ruxor (2014-05-15T18:39:27Z)

Ah oui, c'est vrai, bien sûr. Alors je suis d'accord qu'il y a une analogie intéressante. (Peut-être qu'il faudrait voir si la logique linéaire peut fournir une approche unificatrice, puisque, de fait, elle unifie la logique et l'algèbre linéaire.)

Fred le presque-marin (2014-05-15T12:32:10Z)

Je devrais plutôt parler d'espace vectoriel quadratique (i.e. forme quadratique non dégénérée sur un corps) en caractéristique ≠ 2 pour éviter les hypothèses sous-entendues.

Fred le presque-marin (2014-05-15T12:26:10Z)

Si si, une forme quadratique (non dégénérée) isotrope est universelle (parce qu'elle contient un facteur hyperbolique).

Ruxor (2014-05-15T11:00:16Z)

@Fred le presque-marin: Oui, c'est rigolo comme remarque, mais il y a quand même une différence notable c'est que pour la forme quadratique il faut supposer pour commencer que q n'est pas isotrope (autre affirmation dans le même genre : si w_1,…,w_n sont des vecteurs linéairement indépendants, alors v est combinaison linéaire des w_1,…,w_n ssi la famille v,w_1,…,w_n est lié ; il y a un énoncé du même genre pour la dépendance algébrique, et en général je crois que c'est relié à des histoires de matroïdes ou de lemme d'échange ou quelque chose comme ça), alors que pour la démontrabilité on n'a pas besoin de supposer que le système est consistant (un système inconsistant démontre tout, alors qu'une forme quadratique isotrope ne représente pas tout).

Fred le presque-marin (2014-05-14T19:29:54Z)

J'ai commencé à lire le (petit) Franzén, ça a effectivement l'air assez chouette, et mon cerveau a fait une analogie tout à fait farfelue que je voulais graver dans le marbre de ton blog (comme ça, s'il s'avère un jour que c'est une analogie profonde et pas une hallucination, je pourrai faire le malin).

L'affirmation "A is provable in S iff S + not-A is inconsistent" (p. 19) fait vraiment penser très fort à « une forme quadratique q représente a ∈ k* ssi q ⟂ <-a> est isotrope. »

Un commentaire ?

Bob (2013-01-24T09:58:55Z)

J'avais oublié de te remercier pour les références. Je vais regarder les livres de Franzén avec intérêt, j'espère pouvoir les trouver facilement (peut-être à la bibliothèque de maths de l'ENS ?)

Ruxor (2012-12-25T22:57:14Z)

@anonyme: D'abord, pour pinailler un peu, « codé dans ZFC » ne veut pas dire grand-chose : ZFC est un système d'axiomes qui permet de déduire des théorèmes dans le langage de la théorie des ensembles, mais un ensemble n'est pas quelque chose qui a besoin de ZFC pour vivre, si j'ose dire. Enfin, quoi qu'il en soit, oui, les modèles non-standards de PA sont bien des ensembles ordinaires, et ZFC peut servir à les étudier. Ils ne sont pas très faciles à décrire ou à visualiser (par exemple il y a des théorèmes en vertu desquels si un modèle non-standard de PA est dénombrable, c'est-à-dire est donné par les entiers naturels standards mais munis d'une addition et d'une multiplication différentes, alors celles-ci ne peuvent pas être récursives=calculables au sens de Church-Turing), mais leur existence est assurée par des théorèmes de ZFC tout ce qu'il y a de plus normaux.

anonyme (2012-12-25T12:32:07Z)

Merci pour votre réponse.
Pour terminer et je vous promets que c'est ma dernière question.
Elle concerne la notion de modèle où vous définissez un modèle d'un système formel comme un ensemble muni de …
J'imagine que le mot ensemble a sa signification intuitive …
Or le système formel PA a un modèle standard et et celui-ci a une image ou est codé dans ZFC.
Ma question est évidemment au sujet des modèles non standards de PA?
Comment les construit-on ? Comme pour le modèle standard de PA, ont ils une image ou sont ils codés dans ZFC ou un autre système formel.
Comme vous écrivez "mais ℕ est manifestement (à isomorphisme près) le seul ensemble vérifiant le principe de récurrence, et celui-ci fait partie des axiomes de Peano", j'en déduirais (peut être à tort) ,qu'un modèle non-standard de PA ne peut avoir d'image ou être codé dans ZFC.
Et dans ce cas où est il codé? où a t il une image? et comment peut on se le représenter ?

Ruxor (2012-12-25T11:28:23Z)

@Touriste: C'est essentiellement ça, mais je pense qu'il vaut mieux dire les choses différemment. Il y a deux niveaux de discours : au niveau supérieur, le langage informel de la vie réelle et, au niveau inférieur, le langage formel des mathématiques (idéalisées). Ce que j'ai expliqué, c'est dans quelle mesure on peut parler de vérité et de démontrabilité au niveau inférieur (mais évidemment, « en parler » fabrique éventuellement de nouveaux énoncés, sans forcément faire avancer le schmilblick). Au niveau supérieur, on a l'habitude de dire que des choses sont des théorèmes (quand des gens en ont vraiment trouvé une démonstration), et on a l'habitude tacitement de considérer que ces théorèmes sont vrais, d'où une notion éventuellement autre de vérité, et qui pose éventuellement problème à définir. (Par ailleurs, on ne peut que constater un certain parallélisme entre les niveaux, qui donne envie d'appliquer ce qu'on sait du niveau inférieur — comme le fait qu'il y ait des énoncés vrais et indémontrables — au niveau supérieur.)

Disons qu'il y a au moins une chose sur laquelle on doit s'interroger : y a-t-il un risque d'arriver un jour à démontrer 0=1 dans ZFC (et si ça se produit, que devra-t-on faire) ? Une réponse consiste à dire « non, aucun risque, parce que les objets mathématiques existent vraiment, ZFC démontre des choses vraies sur eux, et 0 n'est pas égal à 1 ». Une autre consiste à dire qu'on n'en sait rien, qu'on ne fait que manipuler des chaînes de caractères dénuées de sens et que peut-être 0=1 tombera par les règles de ce jeu, mais que l'habitude qu'on a de ces manipulations suggère que ce n'est pas le cas. Entre les deux, toutes sortes d'autres positions sont possibles. Pour ma part, je donne un rôle particulier aux entiers naturels parce qu'il me semble qu'on s'en fait une image mentale idéal particulièrement claire, parce que dans le niveau inférieur ils ont un rôle important, et parce que c'est ce qui permet justement de dresser le lien entre démontrabilité et vérité. (Et aussi, cf. la fameuse citation de Kronecker que je ressors tout le temps.)

Touriste (2012-12-24T15:06:55Z)

Allez j'ose poser ma question - j'aurai pas mal hésité, au motif que si sept milliards de personnes faisaient pareil toi débordé et tout et tout mais c'est probablement un mauvais motif.

Je crois avoir compris ce que tu appelles "vrai" encore que je n'en suis pas sûr à 100 % - mais ne lançons pas la conversation sur 42 choses à la fois.

J'ai noté, dans la partie "philosophique" que tu parles d'une notion de "vraie vérité" et que tu expliques que, à titre personnel et en ce qui te concerne, tu es à peu près convaincu que ce concept est pertinent, au moins pour les énoncés arithmétiques.

Je ne comprends pas bien son articulation avec ce que tu appelles d'une part "vérité" et ce que tu appelles à cet endroit "vraie vérité". Les énoncés arithmétiques vrais sont-ils, selon toi, exactement les mêmes que les énoncés arithmétiques vraiment vrais ?

Ruxor (2012-12-24T11:18:58Z)

@anonyme:

Il existe des énoncés non-arithmétiques : je donne l'exemple de l'hypothèse du continu. La question philosophique de savoir s'ils sont quand même vrais ou pas est une chose — et j'évoque différents points de vue à ce sujet — en revanche, ce qui est sûr, c'est que mathématiquement, pour un énoncé fixé, on peut toujours considérer sa valeur de vérité comme quelque chose de bien défini (et qui ne peut être que Vrai ou Faux), même si on ne la connaît pas. (Par exemple, on peut définir x le nombre qui vaut 1 si l'hypothèse du continu est vraie et 0 si elle est fausse, ceci est une définition mathématiquement bien formée, et le fait que x²=x est un théorème de ZFC.)

Et oui, comme « 0=1 » est un énoncé arithmétique, « "0=1" est vrai » est aussi un énoncé arithmétique : formellement, il s'agit du *même* énoncé. En revanche, si P est une variable représentant (le code de Gödel d')un énoncé arithmétique, alors « P est vrai » ne peut plus être défini (c'est-à-dire, uniformément) par un énoncé arithmétique.

anonyme (2012-12-23T12:54:14Z)

toujours moi!!
Poursuivant ma lecture, je lis
"Pour résumer les points importants jusqu'ici : si P est un énoncé fixé, dire "P est vrai" signifie simplement P ; si l'énoncé est variable, en revanche (i.e., s'il s'agit d'un entier naturel codant un énoncé), on n'a donné un sens à "P est vrai" que lorsque P est arithmétique et, dans ce cas, l'énoncé ainsi formé n'est pas, justement, arithmétique. Il est essentiel qu'il y ait une « augmentation de complexité » sans quoi on pourrait former un énoncé "je ne suis pas vrai" qui causerait l'effondrement des mathématiques."

Il semble donc que j'ai la réponse à ma question concernant un énoncé variable mais pas pour un énoncé fixé.
Cependant si P est un énoncé fixé arithmétique , je tendrais à croire que "P est vrai" est arithmétique.
Enfin, si P est un énoncé fixé non arithmétique, peut on donner un sens à " P est vrai" ?

anonyme (2012-12-23T10:05:02Z)

Encore moi!
Je précise mes questions précédentes.
"0=1" est un énoncé arithmétique
"o=1 est vrai" est il un énoncé arithmétique?
De nouveau merci.

anonyme (2012-12-23T09:15:38Z)

Merci pour votre réponse précédente qui éclaircit un peu ma lecture.
Continuant la lecture de cette entrée , vous écrivez :
"quand on dit d'un énoncé arithmétique qu'il est vrai, cela signifie : vrai dans l'ensemble ℕ des entiers naturels)."
D'où trois nouvelles questions naïves :
Existe t il des énoncés non arithmétiques ?(J'imagine que oui!)
Et si un énoncé n'est pas arithmétique, cet énoncé peut il être vrai ou faux ou ni l'un ni l'autre ?
Et enfin que signifie,un énoncé (qui n'est pas arithmétique) est vrai ?
Peut-être que la notion d'énoncé vrai dans ce cas n'a pas de sens.
De nouveau merci.

Ruxor (2012-12-22T23:19:36Z)

@anonyme: Vos deux questions ne sont pas équivalentes. À la question « existe-t-il des énoncés vrais qui ne sont pas vrais ? », la réponse est « non », tout ce qui est vrai est vrai (ce serait quand même vraiment une terminologie infecte si ce n'était pas le cas). En revanche, à la question « "P est vrai" pourrait-il ne pas être vrai ? », la réponse est « oui », par exemple « 0=1 est vrai » n'est pas vrai, puisque « 0=1 est vrai » signifie exactement la même chose que 0=1 (ce qui n'est pas vrai).

anonyme (2012-12-22T10:25:54Z)

Vous dîtes "P est vrai" est extrêmement simple : cela signifie simplement… P. Autrement dit, ""le ciel est bleu" est vrai" est complètement synonyme de "le ciel est bleu"
Par ailleurs vous écrivez
il existe des énoncés vrais qui ne sont pas des théorèmes de PA.

Cela me conduit à une question naïve:
existe il des énoncés vrais qui ne sont pas vrais ?
Autrement dit
"P est vrai " pourrait il ne pas être vrai ?
Merci, la notion de vrai n'est pas facile à saisir.

Ruxor (2012-12-19T13:15:55Z)

@Bob: À un niveau de difficulté/technicité à peu près égal à celui de mon post, il y a deux livres de Torkel Franzén que j'aime bien : d'une part, *Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse* qui est de la vulgarisation, et d'autre part, *Inexhaustibility: A Non-Exhaustive Treatment* qui est à cheval entre la vulgarisation et l'ouvrage technique. Je m'en suis pas mal inspiré.

Si on veut vraiment entrer dans la partie technique (pour tout ce qui est autour de Peano-du-premier-ordre), la référence incontournable est sans doute le livre de Hájek et Pudlák, *Metamathematics of First-Order Arithmetic*, actuellement épuisé mais disponible en ligne (<URL: http://projecteuclid.org/euclid.pl/1235421926 >, je crois que c'est open access) : c'est ardu mais excellent et très complet.

Pour ce qui concerne la théorie des ensembles, je n'ai pas vraiment de référence ciblée. Le livre standard est le Jech (*Set Theory*), mais il est vraiment plus général que ça.

Bob (2012-12-18T23:27:02Z)

Merci David pour cette introduction magistrale à un sujet tellement mystérieux pour moi ! Aurais-tu par hasard des références bibliographiques dans la même ligne que ce post, pour approfondir et aller plus loin ?
Merci d'avance, et surtout continue à écrire comme tu le fais !

Fab (2012-12-16T18:53:59Z)

Waouh ! Je découvre ce billet que j'attendais avec impatience ! Bon aller je me le réserve en récompense de la correction de mes 160 copies (qui m'attendent non sans moins d'impatience -_-)

Imohtep (2012-12-16T14:56:34Z)

@Ruxor: bravo pour tes toujours géniaux articles de vulgarisation mathématique ! Bon, j'avoue que j'ai eu tendance à zapper les petits caractères lors de ma première lecture, il va falloir que je me replonge dedans :-)

ooten (2012-12-16T14:54:05Z)

Ah ben là tu t'es laché, j'adhère au propos de M. Il va me falloir beaucoup de temps avant de comprendre le post complètement.

Ruxor (2012-12-16T12:20:36Z)

@ArcyKen: Malheureusement, faire des pages web qui marchent sous IE8 demande des efforts vraiment énormes, que j'ai abandonnés pour passer au HTML5. Bon, là ça semble être juste un problème de police manquante, mais je ne connais pas du tout Windows donc je ne sais pas où conseiller de chercher des polices avec les caractères manquants. (Remarquer que le caractère □ est censé être un carré.)

@DM: La raison pour laquelle j'ai inclus l'exponentiation est que quand on veut considérer des versions très affaiblies de PA, où la récurrence est limitée aux formules Σ₀ (comme je le mentionne brièvement à la fin), si on n'inclut pas l'exponentielle on ne va pas pouvoir la définir, ou plutôt, montrer qu'elle est définie sur tous les entiers (et on prend parfois comme axiome supplémentaire « la fonction exponentielle est totale ») ; mais sinon, ça ne fait pas de différence en effet.

DM (2012-12-16T10:49:59Z)

Une petite remarque (pas pour toi, pour tes autres lecteurs) : dans la version usuelle du vocabulaire de l'arithmétique, on n'inclut pas la fonction puissance, et le théorème de Fermat n'est pas directement un énoncé de l'arithmétique. Toutefois, il existe une possibilité non triviale de recodage du théorème de Fermat en énoncé de l'arithmétique sans puissance ; plus généralement cela ne pose pas de problème de rajouter dans le langage des fonctions qui sont « calculables » dans un certain sens.

(C'était la « minute anti confusion ».)

M (2012-12-16T07:36:06Z)

Grandiose!!!!!!! Le genre de truc que j'ai toujours espere trouver explique. Mais la, la clarte de l'expose est juste incroyable…Je me demande juste pourquoi David ne publie pas ce genre de textes dans des livres de vulgarisation pour plus de visibilite…Meme si j'apprecie de pouvoir lire ca gratuitement sur son site web :)

ArcyKen (2012-12-15T23:57:48Z)

SVP pourquoi n'ai-je pas l'affichage des symboles mathématiques ? Je ne vois que des carrés. Suis sous windows xp IE 8. Merci