Comments on Je ne sais pas comment enseigner

Sauf que derrière tout cela il y a un présupposé qui est "Les maths sont la discipline qui forme le mieux au raisonnement et à la prise de décision." Ce qui, hors-contexte, est forcément faux, il ne peut pas y avoir un tel absolu.

Si cela était vrai, comment se ferait-il que d'excellents étudiants en mathématiques soient incapables de raisonner en physique. Je ne parle pas des connaissances (qu'ils ont) mais bel et bien de raisonnement.

Qu'en sera-t-il alors quand ces brillants élèves incapables de raisonner sur un problème concrets seront confrontés à des problèmes humains (rapport hiérarchiques et autres) ?

Non, il n'y a pas que les maths dans la vie, ni dans l'aspect utilitaire (je rappelle que faire des calculs ce n'est pas faire des maths : demandez à un prof de maths de faire un cours de calcul et vous verrez), ni dans la formation de l'esprit.

Mais oui il faut qu'une certaine élite travaille les maths à fond car c'est important.

Mais est-ce que cette élite doit forcément être tous les X ? Telle est la question je pense.

"Cependant je suis d'accord avec David sur le fait que le but des prépas n'est pas de former les ingénieurs sur des concepts qu'ils utiliseront mais de leur donner des méthodes et un minimum de capacités de raisonnement. Quelqu'un qui sait un minimum manipuler les math "abstraites" pourra d'autant mieux comprendre les méthodes numériques et autres utilisées par la suite"

Oui dans les grandes lignes mais encore faut il que suite il y ait.
A la place d'un tel cours de maths en *tronc commun*, pourquoi ne pas mettre beaucoup plus de méthodes numériques avec aussi plus de temps pour des TP sur machines et même un vrai problème de la vraie vie à résoudre avec ces méthodes (par exemple?)

"des capacités d'analyse et de raisonnement en temps limité qui permettent de bien évaluer les candidats.
"
"bien" ca reste à voir. De les évaluer selon certains critères je dirais.

"Pour revenir à P. Colmez, il a donné son cours à des élèves qui sortaient de 8 mois de stage militaire (ou civil), ce qui fait que le niveau qu'il a constaté était nettement inférieur à celui de sortie de prépa (certes pas exceptionnel pour autant) et qu'il n'a peut-être pas pris ça en considération …"

Génial…donc en 8mois le niveau a significativement baissé. Superbe.
Ca montre l'efficacité extreme de ce système:
On apprend des choses pointues pour passer des concours sans avoir le temps de comprendre la trame de fond et *donc* on oublie tout très rapidement.
L'approche anglo-saxonne est inverse:
On insiste beaucoup plus sur la trame de fond (qui va rester gravé à vie le plus souvent) et on est donc moins fort dans les détails (en général).

Quoi qu'on dise du niveau en prépa, les ingés francais on la réputation d'être bon en maths et souvent cette réputation est fondée. Par contre, on a aussi la réputation de ne savoir en gros rien faire quand on sort de l´école…ce qui n'est souvent pas faux non plus.

Le livre "Éléments d'analyse et d'algèbre" correspond-il à ces fichiers ou est-ce que ça n'a rien à voir ? :
http://people.math.jussieu.fr/~colmez/poly-06
http://people.math.jussieu.fr/~colmez/poly-07
http://people.math.jussieu.fr/~colmez/poly-08

Déjà pas mal d'X ont bien aimé le cours de P. Colmez (même s'ils sont forcément plus discrets).

Ensuite, ce qui m'a dérangé personnellement avec P. Colmez est plus le fait qu'il affiche une image du mathématicien en opposition constante avec la société que son cours en lui même. Il y a à l'X des profs qui arrivent à se faire apprécier par presque toute une promotion (un exemple flagrant est Jean Dalibard en mécanique quantique, certes ce n'est pas des mathématiques mais c'est un domaine nouveau par rapport à la prépa et qui fait appel à des éléments d'algèbre donc on pourrait croire que ça horrifie les élèves), comme quoi c'est possible.

En fait j'ai l'impression que tant que tous les élèves en face de lui ne seront pas passionnés par les représentations irréductibles des groupes linéaires p-adiques, P. Colmez ne sera pas satisfait. Comme ça ne sera jamais le cas, il ne sera jamais satisfait.

@Thomas : d'accord, mais je trouve quand même que des taupins parmi les meilleurs, puisqu'ils ont intégré l'X, et même dénaturés par 2 mois de vacances et 8 mois de stage, devraient avoir un recul et une maturité scientifiques suffisants pour voir que ce qu'il raconte n'est pas forcément à interpréter sur le mode "Ah, ces matheux, tous des fous dans la lune". Ou alors, c'est que leur formation avant a été bizarre !

D'après les retours que j'ai eus, les anciens élèves de prépa ont généralement un niveau en math excellent comparé aux élèves des universités anglo-saxonnes. Notamment les élèves Français qui partent au "Part 3" de Cambridge trouvent que le niveau global des anglais n'est vraiment pas terrible.

Cependant je suis d'accord avec David sur le fait que le but des prépas n'est pas de former les ingénieurs sur des concepts qu'ils utiliseront mais de leur donner des méthodes et un minimum de capacités de raisonnement. Quelqu'un qui sait un minimum manipuler les math "abstraites" pourra d'autant mieux comprendre les méthodes numériques et autres utilisées par la suite. De plus les problèmes de math type X (ou Mines-Ponts) font souvent appel à des capacités d'analyse et de raisonnement en temps limité qui permettent de bien évaluer les candidats.

Pour revenir à P. Colmez, il a donné son cours à des élèves qui sortaient de 8 mois de stage militaire (ou civil), ce qui fait que le niveau qu'il a constaté était nettement inférieur à celui de sortie de prépa (certes pas exceptionnel pour autant) et qu'il n'a peut-être pas pris ça en considération …

Pour répondre à Simon, l'introduction au programme de Langlands et les nombres p-adiques n'étaient pas au programme de l'interrogation du cours de Colmez. Cependant il a commencé le premier amphi en présentant (pour la culture) les nombres p-adiques à des élèves qui sortaient de 8 mois de stage (cf ci-dessus), ce qui a suffi à le faire passer pour un fou aux yeux de beaucoup (disons qu'il incarnait l'image du mathématicien fou).

Le GRE c'est par exemple ce qu'un étudiant français en physique sortant d'une ENS (avec une agreg) doit passer pour pouvoir aller faire une thèse dans une fac très connue aux US (je ne dit pas que toutes les facs demandent ça).

Tout ce que je voulais dire, c'est que le style du GRE me plais beaucoup plus que le style des partiels que j'ai pu voir dans nos écoles d'ingé.
Je le redis, un docteur en physique en france peut être une tanche en physique générale alors qu'un type qui a eu une excellente note au GRE ne peut pas l'être.
En france, on peut passer chaque partiel, un par un, sans comprendre la trame globale de la matière qu'on étudie. Pire, on entend souvent des thésards dire "houla ça ce n'est pas mon domaine" alors qu'on leur pose une question de physique générale de base.

En ce qui concerne les cours, je pense aussi que, pour les élèves ingé, les amphi sont souvent trop longs. En école d'ingé, il ne faudrait faire des cours d'introduction. On lacherait ensuite les étudiants sur un projet avec des références à lire et un prof dispo à certaines heures pour répondre aux questions.
Par exemple, en cours d'analyse numérique, au lieu de détailler N méthodes en amphi, on ferait juste une bonne intro expliquant l'importance de l'ana num, on monterait les pièges et les méthodes de bases et on terminerait par des pointeurs sur 2 3 bouquins de référence. Ensuite, on donne un sujet et on regarde le code pondu par les étudiants disons 3 semaines après.

Il faudrait aussi de demander si le "programme" correspond aux cours magistraux, ou aussi aux TD (y a-t-il de spays ou on abord plus de sujets en les creusant moins ? ou bien ou on apprend plus mais ou on doit savoir faire des applications moins variées ou moins difficiles ?), et aussi se poser la question de la quantité de travail de l'étudiant hors de la fac (on raconte par exemple qu'aux Etats-Unis, les cours magistraux se limitent à des lectures que les étudiants doivent faire chez eux, et que les heures de rpésence correspondent plus à des TD). Par ailleurs, les universités "haut du panier" au Royaume-Uni ne se limitent pas à Cambridge.

Pour la référence au GRE: je me demande dans quelle mesure ce test ressemble ou non aux examens faits durant les études (assimiler les examens de BS au GRE, c'est peut-être comme assimiler le bac français aux concours d'entrée dans les écoles qui recrutent au niveau bac).

Je suis professeur de physique en CPGE et docteur ès didactique.

En cette qualité je m'étonne de la question initiale "comment enseigner ?" alors que c'est précisément le but de cette science, la didactique, que d'essayer sinon de répondre pour le moins apporter des éléments de réponse.

En plus de cela la didactique des mathématiques est, de loin, la plus développée, la plus théorisée, la plus expérimentale et celle donnant le plus de méthodes d'enseignement qui ont été testées et qui marchent.

Après, c'est vrai, la didactique se focalise essentiellement sur le niveau primaire et collège. On commence à voir sortir des trucs au niveau lycée assez régulièrement mais pour tout ce qui est enseignement dans le supérieur c'est rare. Et c'est dommage de mon point de vue !

Toujours est-il que si on veut voir comment enseigner à BAC+n il est toujours bon de lire des ouvrages expliquant ce qu'est un élève, ce qu'est apprendre, quels sont les obstacles rencontrés, les difficultés inévitables, les préconceptions, … Et c'est loin d'être inutile : je retrouve en prépa, tant en 1ère année qu'en 2e année, de nombreux raisonnements de type "collège" ou "lycée" et qui ont été clairement identifiés dans la littérature.

Voilà pour ce qui est d'enseigner les maths. C'était mon conseil du jour.

Après, il y a /pourquoi/ enseigner autant de maths. Soyons francs : hormis en dans la recherche en physique théorique, *personne* n'a besoin de faire ou savoir faire des maths. On a juste besoin de /calculer/ et la nuance est importante. Combien de fois je provoque l'irritation (amicale) de mes collègues quand j'écris sans vergogne sin(x)=x (avec un symbole égal, sans petit o) ou quand je dis que je dérive car toutes les fonctions sont C(infini) pourvu qu'on en ait besoin … Donc le découpage d'epsilon en 4, la construction de R, de C en physique "pratique", la physique qui construit des ponts, des téléphones portables et des photocopieurs, on n'en a pas besoin *du tout* n'en déplaise aux profs de maths. En revanche, on a besoin de savoir dériver, d'*utiliser* un logiciel de résolution numérique, de savoir interpréter les résultats, on a besoin d'évaluer les ordres de grandeurs, savoir faire l'analogie entre un domaine et un autre de manière à se ramener à un cas connu, etc.

Donc finalement la question n'est pas de savoir si les maths constituent la discipline la plus importante pour l'ingénieur ou non car cela dépend beaucoup du type d'ingénieur : un chercheur théoricien fondamental en cosmologie ? un financier ? ou un ingénieur en mécanique dans une usine de lave-vaisselle ? La question est : pour /qui/ enseigner ces maths. Car n'oublions qu'il y a bien un jour ou un autre où il faut apprendre des choses utiles et plus seulement des choses discriminantes servant uniquement à classer des étudiants sur un axes qui n'est ni un axe de potentiel futur (puisque rien d'utile n'aurait été appris) ni un axe de savoir-faire présent (puisque rien d'utile n'aurait été appris). Et s'il est tout à fait concevable d'apprendre "pour la culture" en primaire, en collège et en lycée, quand on est sur le point d'arriver sur le marché du travail, cela semble bien plus discutable, non ?

"on a peine à croire que les étudiants qui comprennent l'enseignement des premières années à Cambridge correspondraient au 1% des meilleurs étudiants de CPGE en France"

Heu…si…enfin je le pense. Combien d'étudiants en prépa en france?
Combien à Cambridge (dans des sections équivalentes)? Et si on comparait avec le programme de l'université de "insérer ici une fac du UK totalement inconnue"?
1% peut être pas mais surement pas plus de 10%.
Merci de me remettre sur le droit chemin si je me plante totalement dans l'ordre de grandeur.

De plus, les prépa en france sont très hétérogène. Ca va de la prepa qui est contente de placer ses spé dans une école, n'importe laquelle, à celles qui visent des taux de réussite à Ulm non negligeables.

"La question n'est donc pas quelles maths servent aux futurs ingénieurs mais quelles sont les maths dont la capacité à les maîtriser est bien corrélée avec le fait d'être un bon ingénieur : c'est ça qu'il faudrait analyser scientifiquement au lieu d'avoir des idées préconçues sur le sujet"
Je suis d'accord. Faire une liste est toujours délicat mais en gros on peut penser à:
* Dérivation/intégration avec le sens physique qui va avec. Savoir étudier une courbe (non pathologique). Par exemple, avoir compris que la courbe d'un point matériel qui se déplace (sans chocs…) dans le plan est C2 (ce qui est différent de "connaitre la définition de la classe Cn").

* Algèbre linéaire de base. Systèmes linéaires.

* Familles orthogonales (il y en a partout en pratique…)

* Qlqs idées de bases sur les équa diff simple.

* Trigo de base.

* analyse num de base. Résolution numérique d'équa diff (totalement HP en prépa :( )

et c'est en gros tout ce que j'ai eu a /vu utiliser (dans un contexte de physicien/ingé).

"On n'enseigne pas pour que les étudiants retiennent des informations (tout métier s'apprend sur le tas, même celui de chercheur en maths) : on enseigne surtout pour qu'ils apprennent des modes de raisonnement et peut-être pour les sélectionner."
Dans l'esprit je suis d'accord. Cependant, quand je regarde un cours de C dans une grande école d'ingé, que vois je?
Je vois un excellent cours. Un cours qui explique bien à des débutants en prog comment réfléchir pour construire un code. Tout cela est très bon. Il manque juste une chose: Il n'y a un mot sur "pourquoi on vous parle de C et pas d'un autre langage". Pas un mot expliquant en quoi le C est devenu un standard dans l'état actuel de la technique. Les étudiants apprennent donc des choses pendant ce cours mais ils ratent une partie essentielle et hautement utile pour la suite à savoir "oui mais pourquoi on fait ca"?

Tu te demandes pourquoi les Anglais seraient meilleurs que les francais.
Quand je regarde les sujet des GRE Physics, je vois un test totalement différent des partiels à la francaise.
Je ne pense pas que qlqn ayant une thèse de physique en france soit de fait un bon physicien.
Par contre, je suis certain que qlqn qui fait un excellent score au GRE physics connait sa physique de base et que c'est pour la vie.

Je pense que france on a une tendance á noyer l'étudiant dans des détails sans prendre le temps d'exposer *pourquoi* on lui parle de ca plutôt que d'autre chose.
En école d'ingé, j'ai viite pris l'habitude de sécher tous les cours qui ne commencaient pas par me dire pourquoi on voulait me raconter ca et pas autre chose.

ps: je hais les claviers qwertz.

"On a peine à croire que les étudiants qui comprennent l'enseignement des premières années à Cambridge correspondraient au 1% des meilleurs étudiants de CPGE en France"

Je ne relève pas le "1%" qui répond à un "99%" lui-même plus rhétorique qu'autre chose. Mais je passe parce que, justement, le parallèle fait par Colmez entre Cambridge d'une part/les prépas en France globalement, de La Roche-sur-Yon à Épinal me semblait particulièrement artificiel.

Je viens de chercher des données chiffrées sur le web, sans l'intention d'y passer des heures. Un document cité par la wikipédia en anglais m'informe qu'il y aurait 12000 "undergraduates" (toutes années confondues, toutes disciplines confondues si j'ai bien pigé) à Cambridge tandis qu'une page de la wikipédia en français me parle de 23400 candidats (en 2007) aux concours d'entrée aux écoles d'ingénieur. Si quelqu'un a des données plus exploitables je suis preneur, mais ça me laisse bien penser que les gens en première année de maths à Cambridge sont très significativement moins nombreux que les gens en Maths Sup en France, et vraisemblablement plus assimilables aux têtes qu'aux queues de classe. Il me semble donc au doigt mouillé assez aberrant d'invoquer les programmes de Cambridge et le temps en lequel ils sont traités pour réfléchir à la définition du programme de maths idéal devant être traité au lycée Lalande de Bourg-en-Bresse.

Les prépa forment à en gros 99% autre chose que des matheux purs.

Je ne comprends même pas qu'on puisse avoir un système dans lequel celui aui veut être ingé passe, pendant 2ans, par la même filière que celui qui veut faire de la recherche en maths.

Un physicien peut être choqué par le fait qu'on n'enseigne pas le corps noir en PC. Un matheux le sera car il trouvera le programme de prépa trop léger.

Les ingé francais ont une réputation (justifiés) de "matheux". Ils ont pourtant un niveau qui fait rigoler les vrais matheux mais ce niveau est nettement au dessus du niveau moyen de leu collègues de beaucoup de pays.
Si on reforce encore le programme de prépa en maths, on risque surtout de noyer 99% des taupins. L'important pour cette majorités, ce n'est pas d'avoir compris un théorème poindu de réduction des endo (par ex) mais d'avoir gravé en mémoire et à jamais les mécanismes de base des maths.
Les "détails" de l'analyse ne servent que très peu pour un ingé. La tournure d'esprit de l'algèbre est par contre très utile.

Bref, il faut savoir ce qu'on veut former. Des ingé? Des chercheurs? En maths? En physique? (il y a des tonnes de physiciens qui n'utilisent aue très peu de maths)

Pierre Colmez insulte le métier d'ingénieur dans sa lettre au général de X.
C'est son droit.
Etre ingénieur, c'est ne presque rien savoir sur presque tout. C'est savoir ingurgiter une grosse masse d'informations en peu de temps et savoir quoi en retenir. C'est savoir signer/approuver (ou pas) une note technique traitant d'une question en dehors de son domaine de spécialité. Un bon ingé ne devrait même pas avoir de domaine de spécialité. Il faut connaitre les bases d'en gros tout ce qui touche à la science et la technique. Il faut savoir à qui téléphoner pour répondre en cas de besoin à une question pointue dans un domaine qu'on maitrise assez mal. Il faut savoir vendre aussi. Savoir vendre ses conclusions.

C'est totalement différentdu métier de certains chercheurs spécialistes de leur domaine.

Si M Colmez veut faire cours à des matheux, qu'il aille à Ulm. 99% de son public à l'X n'utilisera jamais les concepts plus de 5% qu'il enseigne. Il ne peut espérer un retour très positif.

M Colmez, je ne vous salue pas.

Au sujet de la programmation : c'est un mélange de savoir de type mathématique (raisonnement logique, invariants etc.), de connaissances générales (langages de programmation en général, principales constructions), de connaissances techniques (tel ou tel langage) et d'un mode de pensée humble, qui est le plus dur à acquérir.

Quand je faisais des TP de programmation à l'X, tous les ans j'avais des étudiants qui me disaient que l'ordinateur devait être buggué, il ne faisait pas ce qu'ils voulaient. Dissonance cognitive : ils confondaient ce qu'ils voulaient et ce qu'ils avaient effectivement écrit. Une fois qu'on a compris que les erreurs de programmation, c'est le plus souvent de sa propre faute, on a fait un grand pas.

L'autre erreur est de croire que c'est en bricolant dans tous les sens sans méthode qu'on supprime les erreurs. Ça ne fonctionne pas.

Bref, c'est un problème de mécanisme d'appréhension des problèmes.

Entièrement d'accord sur la grande difficulté à enseigner les maths à ceux qui éprouvent des difficultés avec les jongleries de matheux. Une des plus grandes frutrations de mes études a été mon année de cours avec S Hoguet, pas seulement à cause de mes notes exécrables, mais aussi parce que je ne parvenais pas à voir la beauté de ce cours, qui subjuguait pourtant beaucoup de mes camarades. D'ailleurs, je devrais peut-être m'y replonger :-)

Je crois que le succès d'un prof tient parfois à des connexions pas intentionnelles avec ses étudiants. L'un de mes professeurs m'a beaucoup marqué parce qu'il m'a appris que, si l'on utilisait son intuition avec soin pour faire les bonnes approximations, on pouvait ramener presque n'importe quel problème de physique à un calcul de niveau collège, en aboutissant à un résultat numérique très satisfaisant. Pourtant, je ne crois pas que ce message était le but central de son cours. Un autre professeur m'a montré comment se construisaient les théories en physique (via des problèmes qui pouvaient débuter par "supposons qu'il existe des monopoles magnétiques")… pourtant, mes camarades de classe de l'époque n'ont pas vraiment été marqués par cette facette de son enseignement.

Enfin, face à une classe hétérogène, un choix nécessaire et lourd de conséquences est de déterminer de qui l'on s'occupe en priorité. Le professeur doit-il se concentrer sur la tête de classe et la mener le plus loin possible, quitte à sacrifier une partie de l'effectif ? Ou bien doit-il faire le maximum pour sortir de l'ornière la queue de peloton, au risque de ne pas valoriser les capacités des plus efficaces de ses élèves ?

Je ne suis pas d'accord sur l'exemple des compacts en prépa PC parce que leur définition est précisément affreuse pour qui compte faire des maths après. Une bonne manière de faire (à mon sens) est de donner la définition séquentielle d'un compact (certes, ce n'est vrai que dans des espaces sympas type métrisable…) et de dire : "En pratique, en dimension finie, la caractérisation est la fermitude et la bornitude, et c'est ce qu'on utilisera tout le temps maintenant." Ca présente l'intérêt de faire sentir le point important (la caractérisation séquentielle est quand même le truc qui me semble le plus simple d'accès en général) et de permettre une généralisation.

Sinon, je ne sais pas si Colmez a tout a fait changé son cours par rapport à il y a deux ans, mais sa page de présentation du cours : http://www.math.jussieu.fr/~colmez/presentation.pdf n'a pas l'air de trop parler de p-adicité, encore moins de Langlands… Si j'en crois mes informations, les X d'avant ne voyaient pas non plus les fonctions holomorphes (ce qui semble légèrement étrange…).

Par rapport au problème de l'enseignement, il faut souligner que les math sont à mon avis la matière la plus problématique. Déjà car tout le monde (y compris ceux qui ne s'y destinent pas du tout) est amené à suivre des cours de math vu qu'elles interviennent partout alors que le public d'un cours d'info/physique quantique/… est généralement constitué de gens qui s'intéressent au sujet.

Ensuite car les mathématiciens sont souvent les gens les plus en décalage avec leur public (que ce soit un prof de lycée devant sa classe ou Colmez devant une promo d'X dont environ la moitié préfèrerait ne plus entendre parler de math). Ils sont passionnés par leur discipline et familier avec l'univers mathématique (en tout cas celui qu'ils présentent) alors que le public a généralement une vision utilitariste de la discipline et bien souvent des difficultés à l'abstraction.

Le prof doit donc préparer son cours en partant des axiomes suivant :
* les gens en face de moi ne sont pas passionnés par ce que je raconte, au lieu de faire des ouvertures hors-programmes à tout bout de champ je vais essayer de m'en tenir au nécessaire et juste signaler qu'il existe un concept qui généralise pour les éventuels intéressés, avec qui je pourrais par exemple parler à la pause
* mon intuition et la façon dont je vois les objets mathématiques sont personnelles, et en général ce qui me semble clair ne l'est que pour moi, donc j'évite les remarques du genre "en fait dans votre tête vous pouvez vous représenter ce truc comme …" à moins que ce soit une conception très généralement admise et facile à expliquer (du genre les cas "n=1 ou n=2")
* le temps économisé en évitant les divagations peut être utilisé pour illustrer une erreur généralement constatée en détaillant bien pourquoi c'est faux (même si ce qu'on explique semble trivial)

Ex dans le cas d'un prof de math en PC (la filière où un prof de math est susceptible d'être frustré) :

la notion de compact n'est définie que dans le cas des evn de dimension finie où elle est : "Ce sont les ensembles fermés bornés".

En tant que mathématicien, le prof est choqué que le programme se restreigne à ce cas particulier.

Cependant le bon prof n'est pas celui qui va vouloir présenter à ses élèves la caractérisation de Borel-Lebesgue pour compenser un manque du programme à ses yeux - à moins que la nette majorité des élèves soient manifestement très à l'aise - mais celui qui va dire "Bon c'est une notion qui s'étend à des ensembles plus généraux mais on va se contenter de ça" (après qu'il râle en coulisse contre le programme de prépa, c'est un autre problème).

Il est plus constructif pour les élèves de revenir sur une erreur constatée en DS. Par exemple si un élève a manifestement confondu somme directe et union d'espaces vetoriels (ça arrive en sup), le prof pourra évoquer le contre exemple (trivialissime à ses yeux, certes, mais le problème n'est pas là) de R et iR car c'est quelque chose que les élèves visualisent.

En gros, l'erreur commise par beaucoup de prof de math est d'oublier que leur but est de faire comprendre quelque chose à un public non passionné et de ne pas vouloir admettre que le public qu'ils ont en face d'eux n'est pas celui qu'ils espéraient (en prépa, ou à l'X, et sans doute à peu près partout où on ne forme pas des chercheurs en math pures).

D'ailleurs cette perspective n'est au final pas dévalorisante pour le prof car bon nombre de ceux qui sont plus à l'aise n'ont pas besoin de lui et s'en sortiraient très bien avec des bouquins et en cherchant de leur côté.

Bref je dis des évidences mais ça ne semble pas en être pour tous.

Les livres "Brain Rules" et "The Brain that Changes Itself" contiennent des conseils pour l'enseignement (et des histoires de mises en application) que j'ai trouves interessants. Les resultats proprement dits relevent de neuro-physiologie et de neuro-psychologie, ou il est plus facile de faire des experiences bien controlees.

Un point qui m'a plu et servi, l'idee de separer l'introduction de nouveaux concepts par 10 minutes, comblant les trous par des exemples et applications (plutot qu'une liste de 20 definitions suivie de 30 mn d'exemples) [avec grande honte j'admet avoir oscille entre les deux modeles].

"Brain Rules" a renforce mon objection aux cours magistraux en insistant sur le cote social de l'enseignement: l'eleve apprend mieux s'il se sent connecte a l'enseignant, et chaque eleve est different. Dans une classe de 5 a 30 eleves on peut esperer apprendre le nom de tous les eleves et adapter un peu l'enseignement a chacun (ou a des groupes d'eleves), alors que c'est impensables dans des sections de 120 eleves comme celles de premiere annee…

Les references (dans les deux livres) a la technique de "spaced repetition", que j'avais deja rencontree dans l'apprentissage des langues (voire aussi "supermemo.org"), m'ont rendu curieux: je vais lire plus sur le sujet.

En marge des méthodes pédagogiques il y a la finalité de l'enseignement. Au collège et lycée, ils appliquent "la pédagogie par objectifs". Les objectifs pédagogiques s'expriment par "être capable de…". On programme alors les enfants pour qu'ils sachent exécuter un problème précis. Quand ils savent, on appellent ça "une compétence". Cela permet chaque année d'augmenter facilement le pourcentage de réussite au Brevet. Mais remplacez "x" et "y" dans une équation par "Pierre" et "Jacques" (c'est du vécu), et les enfants bloquent en disant "je n'ai pas appris comment on fait cela".

Le mieux, pour améliorer son enseignement dans les universités ou grandes écoles, c'est peut-être de demander leur avis au étudiants, anonymement. Ma femme a fait cela quand elle donnait des cours à l'université (une fois à chaque trimestre). C'était très efficace, très utile. Par contre, les autres profs n'ont pas du tout apprécié cette "innovation" intrusive au sein de leur communauté.

Moué… Vaste sujet quand même, encore que le titre "Je ne sais pas comment enseigner" limite un peu la vastitude du problème. Car bien souvent, on a plutôt droit à "Je ne sais pas enseigner", qui est parfois traduit par "Il (ou elle) ne sait pas enseigner".
Ce qui m'a toujours amusé, ce sont les formations universitaires du type "Maîtrise en éducation". Si ça se trouve, les profs qui enseignent comment enseigner ne savent pas non plus comment faire? Et je rigole (in petto, car je suis poli), en imaginant le chargé du cours sur "Quels sont les éléments d'une BONNE classe magistrale" arriver et dire aux élèves "baaaaah j'en sais rien moi, faites des groupes de trois et cherchez".
Soit dit en passant, on va par là. J'ai dû m'inscrire l'an dernier à un diplôme de "formation de tuteurs" (c'était o-bli-ga-toire et ça durait 60 heures) et me coltiner pendant une heure un discours ahurissant basé sur le projet Tuning (www.unideusto.org) dont j'ai retenu deux choses: 1) La fonction du prof en Licence n'est pas de transmettre des connaissances. Et 2) Dans la batterie des moyens dont dispose l'Université pour "former" les étudiants, les cours magistraux sont, et de loin, le truc le moins utile. Et pour nous le prouver, l'enseignant nous passa le film "Merlin l'Enchanteur". Je suis parti, car j'avais déjà vu le film.

Concernant Pierre Colmez, j'ai suivi son cours il y a deux ans, voilà en gros les problèmes qu'il a rencontrés à l'X :

Il était responsable du cours de math de première année, qui auparavant traitait des chapitres de base qui n'avaient pas été vus en prépa, c'est-à-dire théorie de la mesure et fonctions holomorphes principalement (pas le temps de faire beaucoup plus car on n'a que trois mois de cours du fait du stage militaire qui précède).

Pierre Colmez voulait enseigner des math *qui font rêver* durant cette période plutôt que de s'astreindre à faire ce qui était utile pour la suite de la formation (notamment la théorie de la mesure, à mon avis ça ne lui plaisait pas de préparer le terrain pour les cours de probabilités qui servent notamment pour les math financières). Bref, il a du coup présenté une construction de l'intégrale de Lebesgue d'une façon détournée (sans définir ce qu'était une mesure), ce qui rendait ce chapitre assez désagréable à lire et ne facilitait pas les choses pour les profs de proba (qu'il s'est d'ailleurs mis à dos, et pas seulement ceux de finance).

A la place, il a préféré présenter la représentation des groupes, les nombres p-adiques puis une introduction au programme de Langlands.
Autant j'ai été content de voir ce qu'étaient les nombres p-adiques, autant je trouve qu'il était inutile de vouloir introduire le programme de Langlands à ce niveau.

Cela dit il n'a pas tort sur le niveau des math en PC. Notamment pour présenter les nombres p-adiques il a *rappelé* la construction de R et donc parlé de suites de Cauchy et d'ensemble quotient. Cela a suffi à larguer complètement tous les PC de l'amphi, ce qui est compréhensible vu que ces notions sont hors programme dans cette filière (trouver cela aberrant est une chose, mais on ne peut pas faire comme si c'était évident pour tout le monde et s'étonner que la moitié de l'amphi ne suive plus le cours).

Bref, Pierre Colmez souligne des problèmes qui ne sont pas forcément faux, mais comme souvent chez les mathématiciens (cf. L. Lafforgue par exemple) il est un peu trop extrême et manque sans doute de tact et flexibilité, cela dit ce n'est que mon avis.

Je crois que le problème que tu poses dépasse le seul enseignement des maths.
Je suis alarmé de voir, en tant que parent, comment au collège ou au lycée, on enseigne sans intelligence, on donne de la nourriture pour bébé. C'est effrayant.
Pour le collège, j'ai fait mes propres cours. Par exemple en maths, je montre à mon fils que tout se démontre plutôt simplement (la seule chose que je ne suis pas parvenu à faire c'est la formule de la pyramide qui est au programme de 3eme).
Pour le lycée, toujours en maths puisqu'on en parle, je suis là aussi atterré. On refuse d'aborder l'abstraction, et on les entraine à résoudre des problèmes type. La conséquence c'est que les jeunes trouvent les maths ennuyeux. On veut leur épargner une réflexion qui en réalité est nécessaire pour que les savoirs deviennent structurés et propres à permettre de nouvelles acquisitions.
Enfin, récemment j'ai croisé deux jeunes que je connais, en terminale S, et là ils me disent qu'ils ont décroché. L'un d'eux, vraiment doué mais désemparé par (selon lui) une soudaine masse de travail en math en terminale, envisage maintenant être dessinateur de B.D.

>quelles conclusions peut-on tirer de l'observation de sujets adultes consentants et volontaires?

Ce serait déjà un point de départ. (A la rentrée de 6eme, la majorité des gamins entrent dans cette catégorie, indépendamment du niveau.)
Mais la méthodologie pour étudier les non-motivés reste à inventer… Prendre des gosses en échec scolaire (biais du niveau si on commence trop haut, du "faux débutant" si on reprend du début).
Peut-être normaliser par niveau puis séparer en fonction de réponses à des questions du type "aimes-tu l'école?".
Une fois les meilleurs stratégies pour chaque catégorie pure sont déterminées, on peut passer aux mélanges, dans l'espoir de trouver le point eutectique…

> peut-être parce que la programmation est justement plus un savoir-faire qu'un savoir
Cher collègue, tu mets ici les pieds en terrain dangereux.

> PS Enseigne t'on toujours la topologie et les intégrales de Lesbegue en sup ou en spé ?
Il y a quelques années, quand j'y étais, topologie oui, en revanche pas de théorie de la mesure, c'était les intégrales de Riemann. Maintenant je ne suis pas sûr que le programme fût particulièrement léger, au contraire je l'ai vécu comme plutot boulimique (même si occasionnellement très intéressant).

Pour finir sur le sujet, j'avais lu (par hasard) des trucs de psychologie expérimentale sur l'enseignement. Et la conclusion que j'avais vu c'était : la seule chose qu'on sait sur la pratique de l'enseignement, c'est qu'on n'y comprend rien.

Les recettes de grand-mère ont un certain avenir. (Les autoproclamés "pédagogues" qui vont enseigner ici et là leurs solutions trop bien qui tuent, moins, dans l'immédiat)

Dans une école d'ingénieurs (qui existe), les projets de 1A se font à 3. On en a une douzaine, ce qui fait "à peu près" 4 chacun… Je me suis cogné les projets d'un certain type, mes collègues se sont \underline{partagé} le reste.

Bref, chacun d'entre nous a fait ce qu'il savait déjà plus ou moins faire, et pas trop (voire pas du tout) les projets qui lui auraient VRAIMENT apporté qqch. Cette façon de procéder était aussi due au fait que les projets étaient parfois assez longs et durs. La personne "ayant la capacité au départ" et bossant dessus à plein temps était plus efficace que trois personnes qui devaient réfléchir à un sujet en sachant qu'un autre est capable de le faire plus vite et mieux, puis dégager un créneau commun pour se réunir et en discuter. Pour les groupes où personne n'avait la "capacité au départ" sur tel type de projet, je crois qu'en général, ils rendaient le projet inachevé.

Pour les présentations des projets que je n'avais même pas touchés, il m'est arrivé qu'on me donne ce que j'ai à dire 10 mn avant l'oral (mais en général, on se débrouillait pour refiler l'intervention du (des) candide(s) au moins la veille :D). Quand on doit parler d'un sujet qu'on ne connaît pas et qu'on veut la survie de son trinôme, on apprend à être persuasif: c'est peut-être à cela que nous forment réellement les écoles d'ingénieurs. (Ah oui: il faut qd même croiser les doigts pour que les questions ne soient pas nominatives.)

Je me demande si les projets ne devraient pas être individuels pour apprendre mieux… mais il y en aurait alors moins… il faudrait donc qu'ils soient aussi nombreux mais moins durs alors… mais on n'apprendrait moins en les faisant… oui mais on apprendrait au moins un peu… mais oui mais c'est du saupoudrage?… ou alors il faudrait connaître "à l'avance" les connaissances spéciales de chacun des étudiants pour leur faire faire des projets individuels dans d'autres domaines?…Ah les projets… et je pourrais aussi parler des projets de 2A qui se font à 4 ou 5, et j'ai même vu 6, 7 =_=

randomiser l'instruction, pourquoi pas, mais quelles conclusions peut-on tirer de l'observation de sujets adultes consentants et volontaires? je crains qu'on ne soit réduit à faire de bonnes études rétrospectives portant sur des groupes éduqués de manière différente, à condition qu'un maximum de renseignements sur les caractéristiques psycho-sociales des individus évalués soit disponible. Ce qui serait un progrès par rapport à une politique de l'éducation presque totalement guidée par l'idéologie…

<i>Peut-être ont-elles déjà été tentées, en fait, je n'en sais rien.</i>

C'est très surprenant, cette aveu, venant de toi, David. D'habitude tu prends toujours le temps de te documenter sur le moindre objet de tes réflexions…

Les américains, qui sont plus pragmatiques sur le sujet et d'ailleurs aussi sur tout un tas d'autres problèmes liés à l'éducation, n'hésitent pas à investir dans des études sur la pédagogie. Il y a même de nombreux périodiques spécialisés sur le sujet, avec données à la clé. Bon, il est vrai que le niveau d'abonnement des bibliothèques universitaire en France est particulièrement maigre, mais il y a certainement moyen de trouver quelque chose… Et puis, il y a internet, tu sais… :-)

"teaching modes" / "learning styles" semblent être de bons mots clés de départ… (J'ai déjà trouvé des choses intéressantes sur le sujet mais c'était il y a déjà un certain temps…)

Bonjour,
il n'y a pas vraiment de méthode pour bien enseigner, déjà bien que vous vous remmetez en cause. cependant quand on enseigen il faut toujours être prévenant par rapport à l'attente des élèves et surtout par aux questions du type: Pourquoi et à quoi ça sert? Pourquoi les evn et à quoi ça sert , il a fallu que je trouve les réponses en licence aprés un spé M'… quelle tristesse.
Par rapport aux difficultés des programmes, jamais je n'aurai pensé dans ma vie faire M' , le plus diffcile pour moi en prépa n'a pas été le programme mais la volumétrie.
Et alléger le programme est stupide,nous pouvons tous réussir sans obligatoirement faire l'ENS et heureusement.
il faut penser : finalité si on veut faire X ou ENS l'important est le volume de connaissance pour suivre.La technique il a du l'acquérir ( du momins j'espére) pendant les 2 années. Mais bon tout ce que je dis est sujet à discussion bien évidemment. Et pour moi cela fait si longtemps….
PS Enseigne t'on toujours la topologie et les intégrales de Lesbegue en sup ou en spé ?

Je suis sûr que la base du succès dans ces histoires c'est de trouver le plaisir d'enseigner et d'acquérir les connaissances, après effectivement …