Comments on Platonisme et mathématiques

Dans cette classification, je suis (1,3)-platonicien strict : je considère que les affirmations Σ^1_2 (et Π^1_2) ont un sens et une "bonne" valeur de vérité, mais pas, en général, les affirmations du niveau d'au dessus.

Ma fondation c'est que pour dire qu'un ensemble d'affirmations ont un sens, il devrait il y avoir un algorithme (au sens très large, pas limité par la thèse de church-turing) qui décide la vérité de ces affirmations.

Les affirmations Σ^1_2 sont semi-décidables par les Ordinal Turing Machines de Koepke, donc je pense qu'elles ont un sens.

Un modèle de calculabilité raisonnable ne devrait pas changer de comportement si on saute dans un modèle intérieur du modèle actuel, mais c'est exactement ce qu'il doit faire pour répondre à "0# existe", une question Σ^1_3, s'il existe un modèle transitif de ZFC+0#, ce qui est une affirmation Σ^1_2 que je considère vraie (dans un tel modèle 0# existe mais dans son modèle intérieur L il ne peux pas exister). Donc je ne pense pas qu'en général on ne peut pas donner de sens aux affirmations Σ^1_3 (et Π^1_3)

Tu écris : « Pour ma part, je ne pense pas que ça ait beaucoup de sens de se demander si [l'hypothèse du continu] est vraie ou fausse : je pense que c'est plus une question de convention sur ce qu'on veut admettre comme "ensembles". »

J'avoue que là je bloque, je sais bien qu'on ne peut pas accepter tout et n'importe quoi comme un "ensemble" : il existe des classes propres. Mais en l’occurrence, ce n'est pas le problème, si ? Je pensais bêtement que toute partie de R est un ensemble et que ce n'est pas une histoire de convention. Et que du coup, platonicien ou pas, il devrait être légitime de se dire que (HC) est nécessairement vraie ou fausse (que la question a donc un sens, platonicien ou pas) pour (dans ?) le modèle standard des nombres réels, fût-il nécessaire d'adjoindre à ZFC les axiomes "légitimes" permettant de la valider ou de la réfuter. Sinon, qu'est-ce qui ne va pas dans mon raisonnement ?

Que la question n'ait pas de sens pour la raison qu'on n'a pas trouvé de tel(s) axiome(s) et par conséquent pas de théorie unanimement acceptées par les logiciens qui permettent de la valider ou de la réfuter, je le conçois fort bien. En d'autres termes, que c'est être platonicien que d'espérer découvrir de tels axiomes, d'accord (sur le mode « un axiome "légitime", c'est quoi ? »). Mais que la raison invoquée soit une question de ce qu'on définit comme "ensemble" ???

Et quand je lis « on est généralement d'accord que pour les "ensembles" les plus sympathiques et/ou naturels, l'hypothèse du continu est violemment fausse », je comprends encore moins. Là j'aurais dit qu'accepter seulement les ensembles les plus sympathiques (par exemple ceux de la tribu borélienne ?), pourrait justement donner une chance à (HC) d'être "vraie", en faisant un raisonnement un peu fumeux du type « "moins" il y a d'ensembles, plus il y a de chance de pouvoir les mettre en bijection avec du dénombrable ou du continu mais rien entre les deux »…

En lien avec la question du platonisme / de l'ontologie des mathématiques, je conseille l'ouvrage "Introduction à la philosophie des mathématiques : le problème de Platon" de Panza et Sereni.

J'ai pas tout compris (le début ok, la fin ok, le milieu non)
on m'a indiqué ce lien parce que ça pouvait rejoindre mes dernières préocupations (cf le lien que je mets ici, qui sont des compilation de textes sur Gödel.), sur "d'où viennent les mathématiques" entres autres.
"Cantor, interrogé sur ce qu'était pour lui un ensemble, répondait: un abîme".
Et d'où vient l'informatique, aussi. On oublie un peu que si la production matérielle d'un ordinateur est aujourd'hui dévastateur sur le plan environnemental, on ignore encore plus que la constitution des fondements métaphysiques des ordinateurs a aussi fait des ravages psychologiques chez leurs concepteurs (Turing, Godel, Von Neuman…et avant ça Cantor…devenus plus ou moins "fous").

Hop, commentaire tardif et inutile…
Moi aussi j'aime bien ce post, c'est le genre de questions que je trouve intéressantes (qui me *semblent* intéressantes en tout cas), même si je n'ai pas la formation et les connaissances pour vraiment les comprendre.

Oui j'aime bien aussi ce post, il est pour moi parfait.

Que l'hypothèse du continu est essentiellement fausse, cf articles de Woodin.

Le plus beau des paradis, c'est celui des astronomes.

A ce propos, je me souviens vaguement d'une phrase d'un mathématicien écrivant qu'il fallait "interner les gens qui pensent que des ultrafiltres non-triviaux existent dans la nature"!

Je ne sais pas s'il faut interner les gens qui se pensent (m,n)-platoniciens pour tous m,n (cf travaux de Woodin sur l'hypothèse du continu et la Omega-conjecture, et leurs expositions par Dehornoy), mais je me méfierais par contre de ce qui se pensent (459,631)-platoniciens stricts!

Le vrai acte de foi platonicien, c de croire qu'un énoncé a une valeur de vérité alors qu'on n'a aucun espoir de le démontrer; le platonicien pense qu'un énoncé, càd une suite de caractères bien formée suivant une certaine grammaire, correspond à un objet, une proposition, qui aurait donc une valeur de vérité. Le platonsieme fort serait de proclamer que les deux quantificateurs ne permettent pas d'engendrer des énoncés "mauvais", càd auxquels il ne correspond aucune proposition donc(?) aucune valeur de vérité. Ça se corse quand on introduit des choses comme "X = l'ensemble des x tels que …": il faut alors introduire des restrictions ad hoc, codées dans la syntaxe et la foi platonicienne est alors relativisée à ces restrictions: le schisme n'est pas loin.

Les expressions "le x tel que …" peuvent donner lieu, selon une certaine interprétation, à une absence de valeur de vérité lorsque le x n'existe pas (question classique: "le roi de France en 1900 est chauve"). À ce moment, le nominaliste décide l'énoncé, une fois développé, est simpelement faux tandis que le platonicien hésite: soit il décide qu'il n'y a plus de proposition, soit il accepte qu'on ait une proposition et il admet des valeurs de vérité exotiques, et admet des objets qui n'existent pas mais "subsistent" car il faut bien reconnaître ce que contient la proposition.

Bref, je trouve l'exposé très intéressant mais je ne suis pas sûr que la notion de (n,p)-platonisme soit suffisante.

PS
- c vrai, (0, -1) aurait été plus pratique pour désigner les ultra-finitistes (des sceptiques!).
- cf. aussi Le point aveugle, de JY Girard

On pourrait aussi inventer des vérités mathématiques qui seraient valables du temps t-1 au temps t+1 !
D'ailleurs c'est à peu près la vérité historique des mathématiques, l'intégrale selon Leibniz est supplantée par l'intégrale selon Riemann, elle-même surpassée par l'intégrale de Lebesgue etc … donc il y a bien une forme d'existence temporelle des maths !

Dans ta terminologie je suis (0,0). J'ai vu que tu as noté à plusieurs endroits savoir que d'autres pensent différemment, donc je donne juste mon point de vue sans chercher à convaincre. Je pense en gros qu'il faut bien faire gaffe au fait que l'humain a beaucoup d'imagination et donne du sens à des choses qui n'en ont pas.

Par exemple parlons d'un éléphant rose et d'un tigre bleu. Est-ce que l'énoncé "l'éléphant rose est plus lourd que le tigre bleu" est vrai ou faux? On a envie de s'en faire une idée (en l'occurrence que c'est vrai), sauf que ce sont des animaux imaginaires.

Pour les entiers c'est pareil à mon sens. Un entier de Peano ce n'est pas un entier de ZFC, même si on utilise le même mot "entier". Et ces deux types d'entiers là ne sont pas non plus les entiers de notre intuition (i.e. la perception d'entiers finis petits tels que façonnée par l'évolution dans notre cerveau). Cette intuition nous fait croire que c'est de ceux de la théorie considérée dont on parle alors qu'il n'en est rien.

Ainsi on croit percevoir le sens exact des énoncés mathématiques puisqu'on peut dire "avec cet objet je peux faire ceci mais pas cela, je connais ses propriétés", ce qui amène à penser que l'on parle de choses "réelles", alors que justement le mot n'est pas la chose (et en l'occurrence les tignes bleus sont imaginaires, et les "entiers" aussi).

Voilà, cela dit j'adore les maths et le genre de raisonnements et d'imagination que ça requiert, que l'on ne trouve dans aucune autre activité humaine à ce niveau d'intensité.