Comments on Géométrie plane : I. Géométrie projective

Aurons-nous un jour la chance d'avoir une suite à ce premier épisode ? (3 ans d'attente, c'est long…).

Geo -> Je ne sais pas si c'était le sens de ta question mais d'un point de vue pratique, la géométrie projective permet de modéliser les transformations de perspective: de l'espace de la scène vue comme un espace projectif de dimension 4 au plan de l'image projetée (le capteur d'une camera par exemple) vue comme un espace projectif de dimension 3, de fait elle est très utilisée en vision par ordinateur (reconstruction 3D a partir de photographies, auto-calibrage de cameras pour l'incrustation de modèle de synthèse dans une séquence vidéo, voir boujou.com pour une application commerciale très utilisée dans le domaine des effets spéciaux, etc) ou en graphisme (cf OpenGL entre autres).

Je ne suis pas spécialistes mais je trouve ça très clair.
Il est impossible d'embrasser tous les points de vues en présentant une théorie, sauf à produire un exposé sans vrai fil conducteur.

Oui, c'est vrai tout ça c'est très bien. Mais ça manque un peu de chaleur.

f3et → Certes, pour faire comprendre de quoi retourne la géométrie projective, et pour la pratiquer à un niveau élémentaire, le formalisme linéaire n'est pas nécessaire. Par contre, il le [i]devient[/i] dès qu'on se met à utiliser la géométrie projective de manière un peu sérieuse (du côté de chez Graßmann et Schubert par exemple). On n'a donc pas tort d'introduire ce formalisme, mais bien de l'introduire trop tôt.

D'un autre côté, les plans non arguésiens constituent plus une curiosité interne à la théorie qu'autre chose, et sont eux aussi apparus bien après que la géométrie projective ait été dégagée (« sur R », bien que l'on ne s'exprimât pas en ces termes à l'époque). Donc si un premier exposé exclut les bestioles non arguésiennes, cela ne me paraît pas particulièrement gênant (par exemple, la question des coniques, dont David nous promet de parler, est beaucoup plus centrale à ce stade).

La question du néophyte que je suis : "A quoi ça sert ? pourquoi c'est intéressant ?"

La géométrie euclidienne me parle plus, puisque je vois concretement que ses axiomes modélisent une certaine réalité.

Par contre, l'axiome qui dit que "deux droites se coupent toujours" semble assez peu intuitif. Bon, je vois bien l'analogie avec le coup de la perspective, mais présenté comme ça, ça semble un peu tiré par les cheveux.

Est-ce que les théorèmes que l'on prouve en géométrie projective peuvent s'adapter d'une manière ou d'une autre en géométrie euclidienne ?

Ce que je veux dire, c'est que, présenté comme ça, ça ressemble un peu à qq axiomes un peu arbitraire avec lesquels on s'amuse à produire des théorèmes.

"Bien que nécessaire quand on veut vraiment…", ah bon? Il me semble que la géométrie projective a été dégagée longtemps avant ce formalisme-là, et de plus , faudra m'expliquer comment tu comptes définir le quotient de quoi que ce soit dans les cas non-arguésiens . Non, justement, le mérite de David, c'est de rappeler que tout ça démarre d'intuitions géométriques, et non d'un formalisme linéaire nullement obligatoire. Et du coup, j'ai une question : traditionnellement, on explique la dualité par celle des formes linéaires. Mais pourquoi existe-t-elle encore dans les cas combinatoires ? Ou serait-ce simplement parce qu'elle est dans les axiomes, et que la construction par polaires (dont je sens qu'elle va nous être rappelée sous peu) n'est pas possible dans les cas non pappusiens?

Ce que j'apprécie surtout dans ta présentation, c'est que tu évites la technicité de la définition formelle d'un espace projectif associé à un espace vectoriel, où un point (projectif) est une droite (vectorielle), une droite (projective) un plan (vectoriel), etc. Bien que nécessaire quand on veut vraiment se mettre à faire de la géométrie projective, ce formalisme n'en est pas moins totalement contre-intuitif (et peut expliquer, du moins en partie, les craintes de tes agrégatifs) ; le faire précéder par ton laïus me paraît donc très utile (le bouquin de Samuel, "ze" référence francophone en la matière, est beaucoup trop rapide sur ce point).

Bonjour
L'intérêt que je porte aux maths (à mon faible niveau) a été (je crois) généré "géométriquement" et ton explication est passionnante et claire. Bravo.

Très intéressant. Pourrais-tu ajouter une courte bibliographie commentée ?
Merci

Bravo pour tes explications David…
Si tu continues comme cela, tu vas finir par
intéresser beaucoup de monde à cette belle
science qu'est la géométrie !

C'est bien !

Ca ne me donne pas envie de retourner à mes points de rebroussement de première espèce, mais c'est bien. :)

De la vulgarisation comme cela, on en redemande ! Un seul mot : merci.

Vivement le prochain épisode !

En passant, pourrais-tu nous indiquer le titre d'un ou deux livres (même en anglais) qui aborde la géométrie de cette façon, c'est-à-dire plus qualitativement que quantitativement ? Si un tel livre n'existe pas, je pense que tu sais ce qu'il te reste à faire…

En parlant de géométrie projective, connais tu le problème de maths géné de 1999 (une véritable boucherie) et surtout le fameux "problème de koszul"(sur lequel ont planché Colliot-Thélène et Alain Connes)qui fut posé au concours d'entré à Ulm en 66. Là, ce fut pire encore (personne ne dépassa la 1ère question)…

Je pense (comme tu l'as mentionné d'ailleurs)que le principal problème de la géométrie projective est que l'on veut absolument "voir" les objets avec nos réflexes euclidiens. Même si on sait parfaitement que ce n'est pas pertinent…

Bonjour,

Tout simplement,
….Merci (pour le temps passé)
et
….Bravo (pour la clarté des explications).

Cordialement.