<foo> simply produces <foo>in the text).
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Ruxor (2004-07-07T11:15:31Z)
Oui, tout cardinal est le cardinal d'un ordinal, c'est une des formulations de l'axiome du choix (« tout ensemble peut être bien ordonné », et ce bon ordre détermine un ordinal). Sans l'axiome du choix, il peut y avoir plein de cardinalités qui ne sont pas des alephs (des cardinalités d'ordinaux).
Pour le 2e paragraphe, tu as raison. Mais c'est un peu du pinaillage de se demander si il faut utiliser séparément le théorème de Cantor, qui est implicite dans HC de toute manière.
phi (2004-07-07T10:55:25Z)
oups, j'avais lu "aleph_2 est défini comme le plus petit cardinal supérieur à aleph_1" et j'avais pris les choses dans le mauvais sens. Mais alors, est-il évident que tout cardinal est le cardinal d'un ordinal?
Je croyais ingénument que HC disait surtout qu'il n'y a pas de cardinal entre X (infini) et 2^X, et que aleph_1=2^aleph_0 était une conséquence de ça avec le théorème de Cantor X =/= 2^X.
Ruxor (2004-07-07T00:50:11Z)
phi → Pour omega_1 et aleph_1, c'est la définition. omega_1 est *par définition* le plus petit ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ordinal dont les éléments sont exactement les ordinaux dénombrables, et aleph_1 est *par définition* le cardinal de omega_1, c'est-à-dire le plus petit cardinal non dénombrable. Rien à voir avec l'hypothèse du continu, qui dit, elle, que 2^aleph_0 vaut aleph_1 (c'est-à-dire qu'il n'y a rien entre aleph_0 et 2^aleph_0, ce dernier étant le cardinal des réels).
Pour l'exponentiation ordinale, ça doit être dans tous les cas les fonctions à support fini d'un ordinal vers l'autre, bien ordonnées par l'ordre lexicographique qui va bien, mais comme je le dis, de toute façon, sur les cardinaux cette opération n'aurait pas d'intérêt (ce serait la même chose que la somme ou le produit dès que les cardinaux sont infinis).
phi (2004-07-06T22:51:12Z)
quelques remarques candides de plus à propos de ton "texte de vulgarisation":
p10: pourquoi aleph-1 succède à aleph-0 et pourquoi omega-1 est justement le cardinal d'aleph-1? il faudrait mettre un renvoi à HC et HCG, pourtant vus plus loin, sans quoi on se sent vraiment débile de ne pas comprendre pourquoi c'est évident au point qu'on ne le dit même pas…
et puis, on reste sur sa faim: comment caractériser la puissance ordinale au niveau des cardinaux? Pour omega-0, ça rappelle quelque chose comme le cardinal des fonctions à support fini (donc omega-0) mais ensuite?
phi (2004-07-06T18:14:17Z)
Si, si, il n'est pas mal ce texte de vulgarisation, pour élèves de math sup en vacances… Les bons élèves de lycée trouveront 'exponentiation' dans le dictionnaire. Les autres, il faudra d'abord qu'ils apprennent quelques lettres de l'alphabet grec et à faire la différence entre les indices et les exposants…
Ya quand même une phrase qui me semble trompeuse: "Tout ordinal est l’ensemble des ordinaux qui le précèdent". Bien que cela revienne en définitive au même du fait de l'ordre naturel implicite, je dirais plutôt "suite", qui permet de différencier explicitement la construction des cardinaux. Je dirais même "l'ordinal de la suite"…
Ruxor (2004-07-06T17:34:35Z)
bidibulle → Si tu veux voir à quoi ressemble un texte de vulgarisation écrit par moi, tu peux lire <URL: http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/math/infinity.pdf >.
Anonymous Coward #1110 (bidibulle) (2004-07-06T17:28:34Z)
Ca risque pas d'etre triste ca, un texte de vulgarisation par ruxor…
Faudra que je file ca a un copain sociologue qui etudie les geeks….
Anonymous Coward #1107 (2004-07-06T16:30:11Z)
Oui, bien sûr, mais il y a des degrés de vulgarisation et je pensais juste qu'il allait être moindre :-)
Ruxor (2004-07-06T16:19:59Z)
Le but de la vulgarisation n'est pas d'expliquer des choses aux gens qui les connaissent déjà. Je compte bien m'adresser surtout aux gens qui ne savent pas d'avance ce que c'est qu'un triplet pythagoricien.
Anonymous Coward #1106 (2004-07-06T16:17:33Z)
Tu ne t'es pas trompé, mais de toute façon tout le monde (en maths) sait ce qu'est un triplet pythagoricien…
Mouton (2004-07-06T14:02:09Z)
Un triplet pythagoricien, à vue de nez, je dirais que c'est un triplet de trois entiers strictement positifs, a, b, et c, tels que a² + b² = c².
Exemple 3,4, et 5. On peut en trouver plein, et c'est plus rigolo si on rajoute qu'ils doivent être premiers entre eux (par exemple, ,6,8 et 10 marchent aussi, mais ce n'est pas drôle).
J'espère que je n'ai pas dit n'importe quoi.
Et sinon, je pense que ta mère adoptive trouverait ça rigolo.
jko (2004-07-06T12:01:18Z)
Je serai ravi de lire cette intro à ton domaine de recherche
Anonymous Coward #1105 (Népomucène) (2004-07-06T10:48:28Z)
"je m'achemine de nouveau vers l'état d'esprit (si difficile à éviter) « je ne connaîtrai jamais l'amour, je n'arrive même plus à croire à une possibilité » ": j'ai personnellement constaté la remarquable efficacité de ce que j'appellerai, faute de mieux, "l'autosuggestion négative". Même si je ne suis pas assuré de l'efficacité de la méthode Coué, il me semble qu'on n'a rien à perdre à l'essayer. Un peu au moins. Oui, je sais, c'est plus facile à dire…
"Une des idées qui m'est venue à l'esprit est de tenter d'écrire une introduction de vulgarisation à mon domaine de recherche. Ça changera un peu de mes rants sur mon humeur du moment, de parler un peu de triplets pythagoriciens et de choses de ce genre": en tant que lecteur-globalement-assidu du Ruxor's Weblog, et ayant une attitude de petit enfant émerveillé face à tout ce qui est scientifique, j'ai deux raisons de trouver cette possibilité tout à fait alléchante. Enfin… si c'est suffisamment-vulgarisé* pour mon petit neurone…
(*:par exemple, "triplets pythagoriciens", je ne comprends déjà plus, mais les littéraires sont peut-être des cas désespérés)