Comments on On a theorem by Max Noether

Karl P: You are wrong in assuming that the dimension of groups is additive in the sense you seem to think it is. As explained in my initial entry, merely adding *two* particular Cremona transformations (just two, not a dimension two group of them) to the projective transformations group (which has dimension 8) gives *all* birational transformations, whose group (the Cremona group) is infinite dimensional. I suspect that adding more or less any given plane conformal mapping (say, the complex map taking z to 1/z) will extend the group of plane similitudes to the whole group of conformal mappings.

Karl P: Conformal transformations are, indeed, birational. If you can read French enough to read my first reply on this entry, this is what it's about (except that maybe there's a slight different between conformal transformations and Moebius transformations, like one of them preserving orientation and the other not necessarily, I'm not sure about these subtleties, but basically they're irrelevant).

The group of conformal transformations of the plane is PGL(2,C), which is of dimension 6 (real 6, complex 3). This is clear because specifying the image of three (sufficiently general) points of the plane determines the conformal transformation. The group of (real) projective transformations is PGL(3,R), which is of dimension 8 (this time one must specify the image of four points to determine the transformation). Both are subgroups (but there is no inclusion between them! their intersection is, if I am not mistaken, the group of plane similitudes, which has dimension 4) of the full Cremona group, which is infinite-dimensional.

Karl P: The smallest class of curves containing lines and preserved by rational transformations are the rational curves (i.e. rationally parametrizable). They include all lines and conics, but also all singular cubics and some curves of arbitrarily high degree (though, loosely speaking, the higher the degree the more singular the curve has to be in order to be rational).

Non, il n'y a pas de raison de préserver les coniques. Les transformations projectives du plan (telles que je les ai définies) préservent les droites, les coniques, les cubiques, etc., bref, le degré de chaque courbe ; en revanche, les transformations de Cremona, en général, non. (Par exemple, si on prend la parabole y=1+x² et qu'on la transforme par l'une ou l'autre des transformations de Cremona basiques que j'ai définies, clairement on n'obtient pas une conique.) Le degré peut même monter arbitrairement. Le groupe de Cremona, c'est juste les applications rationnelles du plan dans lui-même qui ont une réciproque qui est aussi rationnelle, on ne peut pas faire mieux. Ce qui est vrai, en revanche, c'est que si une courbe a un paramétrage rationnel (et notamment si c'est une conique), sa transformée par un élément du groupe de Cremona en aura encore un (mais ça peut être une cubique avec un point singulier, par exemple).

Si ma mémoire défaillante est bonne, les transformations de Moebius doivent être les homographies (transformations projectives) de la sphère de Riemann, c'est-à-dire si on considère le plan comme la droite projective complexe (de dimension 1 complexe, donc 2 réelle). Si on les voit dans le plan réel, ça donne bien des transformations birationnelles, mais assez particulières ; évidemment, le théorème de Max Noether s'applique à elles en particulier.

Il flotte dans l'air cette confusion permanente entre le plan vu comme droite projective complexe (ou dans la sphère de Riemann via la projection *stéréographique*) et le plan vu comme plan projectif réel (vu dans la sphère quotientée par l'antipodie via la projection *gnomonique*). Dans un cas les cercles sont des objets intéressants, dans le second, les droites en sont et les coniques en sont mais les cercles pas particulièrement.