Comments on Les trois magiciens du nombre 24 : le code de Golay, le réseau de Leech et le module de Moonshine

Ruxor (2018-09-30T19:02:59Z)

@Cigaes: Il y a effectivement plein de problèmes différents qui se ressemblent et dont la réponse est différente en générale, mais identique pour les dimensions 2, 8 et 24 (sans exclure la possibilité qu'elle soit la même pour d'autres aussi). Notamment :

• le problème du kissing number (empiler le nombre maximum de sphères identiques autour d'une sphère donnée) : celui-ci est résolu depuis assez longtemps en dimensions 8 et 24 (et c'est celui dont Ian Stewart parle) ;

• le problème de trouver le _réseau_ qui réalise le meilleur empilement des sphères (i.e., maximise la distance minimale à dimension fixée et covolume normalisé) : celui-ci est résolu depuis assez longtemps en dimension 8 et je ne suis pas très sûr pour la dimension 24 ;

• le problème de trouver l'empilement quelconque de sphères (pas forcément centrées selon les points d'un réseau) qui réalise la meilleure densité : c'est pour ce problème-là que l'optimalité de E₈ et de Leech a été prouvée assez récemment par Viazovska (&al pour Leech) (même si, avant, on savait qu'on était à 1−ε de l'optimum avec un ε explicite et très petit).

Il y a encore quelques autres problèmes du même genre pour lesquels E₈ et Leech sont conjecturés ou prouvés être optimaux. Moi je parlais surtout du problème de l'empilement général, mais je conviens que j'aurais pu être plus clair pour distinguer les problèmes (je ne voulais pas m'appesantir — le message général est que E₈ et Leech sont fournissent des empilements d'une qualité incroyablement bonne pour plein de problèmes qui se ressemblent).

Quelque chose d'autre que j'aurais peut-être dû signaler est que si on met 240 sphères autour d'une sphère centrale en dimension 8 ou bien 196 560 en dimension 24, la configuration s'emboîte parfaitement et est rigide (on ne peut pas faire de petits déplacements des sphères sauf un mouvement d'ensemble), ce qui n'est pas du tout le cas en dimension 3. C'est un des indices que ces configurations sont très spéciales, mais j'avoue n'avoir aucune idée de quand ce phénomène se produit en d'autres dimensions (et je ne sais pas si c'est moi qui suis ignorant ou si juste personne ne sait).

Cigaes (2018-09-30T17:50:10Z)

« même si la preuve pour les dimensions 8 et 24 est plus récente »

Ce point-là me surprend un peu. Je me rappelle un article de Ian Stewart dans les années 1990 qui mentionnait que les cas 8 et 24 étaient déjà résolus alors que le cas de dimension 3 était encore ouvert. Et de fait, j'ai appris quelques années plus tard que le cas 3 venait de tomber.

Enfin, l'article parlait du cas d'empilement de sphères autour d'une sphère (une histoire de chaîne de télé extraterrestre qui cherche comment placer ses émetteurs), or tu parles de l'empilement dans l'espace. Peut-être que l'un était déjà connu à l'époque mais pas l'autre.

Bob (2018-09-29T12:09:38Z)

Magnifique entrée, je n'avais jamais envisagé ces objets organisés en trois générations comme tu le fais ici. C'est vraiment très beau, merci!

Benoit (2018-09-28T12:06:07Z)

…en fait c'est sur les meilleurs réseaux *laminés* connus qu'on voit cette périodicité sur cette figure.

Benoit (2018-09-28T01:55:09Z)

Merci merci d'avoir publié! Ça tombe bien, j'étais en train de m'efforcer de lire le bouquin de Conway et Sloane, ça motive bien certains aspects qui me semblaient abstrus.

Sur les magiciens du nombre 8, j'ajouterais la périodicité de Bott! D'ailleurs sur les tables des "meilleurs réseaux connus" en chaque dimension pour certaines notions de "meilleur", on a l'impression de voir une sorte de périodicité 24, en tout cas sur 2 périodes (0-24 puis 24-48), voir par exemple la Figure 1.5 page 14 dans le Chapitre 1 de Conway-Sloane 3ème éd., et je me demande si ça a quelque chose à voir avec la périodicité de Bott!


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