Comments on Le corps à un élément, et autres licornes mathématiques

Thomas (2020-04-01T22:05:23Z)

David, en survolant ce poste très intéressant, une question m'est venue intuitivement à l'esprit : existe-t-il un équivalent des actions de groupe pour un corps ? (disons, une "action de corps")

En effet, les groupes arrivent naturellement en considérant les ensembles sur lesquels ils opèrent, mais les corps il me semble qu'on les considère toujours pour l'objet abstrait qu'ils sont en eux-mêmes.

Aussi, le néophyte que je suis se demande. Est-ce qu'étudier un corps ce n'est pas finalement chercher deux actions de groupe sur un ensemble, qui seraient d'une certaine façon "compatibles entre elles". Les corps commutatifs correspondant alors à deux actions de groupes commutatifs, les quaternions à un groupe non commutatif et un groupe commutatif, etc.

J'imagine que tout ceci a déjà été étudié et qu'il me manque juste la culture pour savoir de quelle théorie il s'agit… saurais-tu me mettre sur la voie ?

f3et (2018-09-13T05:20:50Z)

Une piste un peu différente consiste à appeler "nombre" tout ce qui est obtenu par une construction généralisant une des constructions classiques des réels ou des complexes. Outre les extensions finies de C (quaternions,etc.), les objets obtenus par choix de normes ou de complétions différentes (p-adiques) et les constructions transfinies (ordinaux et cardinaux), il faudrait aussi sûrement inclure les nombres surréels de Conway (<URL: https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_surr%C3%A9el/ > et leurs extensions algébriques.

Alcide Nikopol (2018-09-12T20:37:12Z)

@Zelda

Ce qui "plaide" pour considérer les polynômes comme des nombres, de mon point de vue, c'est qu'un ensemble de nombres connu comme les complexes en est très dépendant pour une de ses constructions fameuses : R[X] quotienté par l'idéal (x^2 + 1). Du coup R[x] a vraiment l'air d'une généralisation évidente de C : un infini-uplet (à "support fini") au lieu d'un simple couple. Si je ne dis pas de bêtise, les "corps de nombres" dont vous parlez sont le même genre de quotients, cette fois de Q[x] au lieu de R[X].

En plus, on peut faire des "divisions euclidiennes" de polynômes, ce qui évoque encore beaucoup la notion de nombres.

Et puis (bon, c'est sans doute un argument contestable), Norman Wildberger le mathématicien ultrafinitiste qui n'accepte même pas l'existence des nombres réels (car nécessitant la "chimère" de l'infini pour être construits) admet les polynômes comme des nombres ("polynumbers"). Vu qu'il n'est pas commode pour accepter des notions, alors…^^ Enfin, Kronecker proposait de construire les entiers relatifs comme quotient des polynômes sur les naturels (un demi-anneau, cette fois, forcément), -1 jouant là-dedans un peu le rôle de i pour les complexes, ai-je compris. Encore des polynômes très associés à des nombres usuels. Malheureusement, il semble compliqué de faire un truc dans ce genre pour construire les rationnels à partir des entiers relatifs (avec les inverses des nombres premiers comme "nombres idéaux" ajoutés dans le système à la manière de -1 ou i).

Merci pour la référence sur les perfectoïdes (je ne ne suis pas du tout matheux : je me suis intéressé un peu aux maths pour mes loisirs à la quarantaine, en m'interrogeant sur l'élégante notion de nombres complexes, s'il y avait des nombres qui étaient aux complexes ce qu'eux-mêmes étaient aux réels, etc. Ça m'a obligé à comprendre toutes ces notions de "structure algébrique", justement).

Zelda (2018-09-12T14:30:54Z)

@Alcide: Je suis assez d'accord sur le fait que "nombre = élément d'un anneau" est une définition assez raisonnable. Elément d'un anneau, oui ; seulement élément d'un groupe, non.

Après, un "vrai nombre" serait un élément d'un anneau vraiment intéressant.

Mais bon, en vrai, je ne suis pas convaincu à 100% par ce que je viens de dire. N'importe quel anneau, c'est un peu trop général… Et y a quelques nombres qui ne sont pas (naturellement du moins) dans des anneaux. Bref, on a N, Z, Q, R, C, quaternions, octonions (ces deux derniers méritent leur place par le fait qu'ils éclairent des phénomènes de théorie des groupes/géométrie), Q_p, Z/nZ, les ordinaux/cardinaux (même si là je suis légèrement moins ferme que sur les autres)… Un corps de nombres mérite bien son nom, aussi. Mais j'avoue que je pense pas R[X] comme un ensemble de nombres par exemple. De même, F_p[X] n'est pas un ensemble de nombres pour moi ; après, peut-être une interprétation perfectoïde de la chose peut ébranler un tel avis, à voir…

https://www.youtube.com/watch?v=UfjaResU3tI

Il me semble que je considère un truc comme un système de nombres si je le perçois comme généralisant ou projetant les entiers naturels, ou un autre système de nombres (qui retombe après un nombre fini d'étapes sur les entiers naturels).

Alcide Nikopol (2018-09-10T20:17:02Z)

J'aurais une question que j'hésite à poser parce qu'elle est un peu hors sujet, bien qu'inspirée par le début du billet concernant la "licorne" des nombres complexes.

Certes, c'est également une question de définition (puisqu'on se demande ce qu'est une licorne, un éléphant blanc, etc.). Mais enfin j'ai peur qu'elle agace les vrais matheux.

Voilà : que peut-on légitimement appeler un *nombre* ?

Je me doute bien que ça équivaut un peu à se demander si Pluton est une "vraie" planète : c'est plus une question d'opportunité taxonomique que scientifique (respectivement : mathématique).

Néanmoins, la notion de nombre a tout de même précédé celle de "structure algébrique" par laquelle on s'est employé à la préciser et l'encadrer.

Avant les structures algébriques, on avait donc une notion naïve (naïvement platonicienne ?) de "nombres", et dans ce cadre là, on discutait de savoir s'il pouvait exister un "nombre" dont le carré serait négatif. On s'est d'abord dit "moui, mais c'est une quantité fictive, une astuce" avant d'élever cette chose à davantage de "dignité" ontologique, non sans tourments quasi-religieux, parfois. Bien sûr avec la théorie des ensembles, les structures algébriques, on ne se pose même plus ce genre de question.

Pour ce que j'en comprends, il ne s'agit plus de savoir si tel objet est un vrai nombre ou pas, mais à quelles règles il obéit, et puis on voit que nos "nombres" usuels, entiers naturels et relatifs, rationnels, réels et même complexes s'inscrivent dans le nuancier d'un "bestiaire" de choses qui, de glissement en glissement, se comportent très différemment des "nombres" tels qu'on les conçoit (faut-il appeler "nombres" les symétries des groupes de symétries, au prétexte que ce sont les éléments d'une "structure algébrique", par exemple ? Ça me semble un poil trop démocratique).

J'ai l'impression qu'il y a le fameux empilement de poupées gigognes allant des entiers aux complexes, et qu'ensuite les choses sont davantage "débatables".

Les objets de l'arithmétique modulaire et les p-adiques semblent encore tenues pour des notions précieuses dignes d'être appelées "nombres" (peut-être aussi les ésotériques adèles dont il est implicitement question dans l'article).

Mais petit à petit, ça devient moins assuré : déjà les quaternions sont jugés un peu moins importants puisque superflus pour la complétion algébrique des réels (à laquelle les complexes suffisent) et le côté (a priori) désarçonnant de la non-commutativité de leur multiplication. Et si on pousse plus loin dans la construction de Cayley-Dickson…

Les hyperréels semblent intéressants au profane que je suis mais Alain Connes, qui a sûrement ses raisons, les juge comme du "pipi de chat".

C'est un peu comme si les "vrais" nombres avaient un aspect d'évidence "platonicienne" et qu'au-delà, il existait des "constructions" plus ou moins sympathiques, inventées - avec brio - par Machin-Chose, comme le "corps de Levi-Civita". Mais elles perdent une certaine évidence pythagoricienne fascinante, il faut croire.

Pour ma part, j'aurais tendance à qualifier de "nombre" (en plus des naturels) tout élément d'un anneau, quel qu'il soit (séries formelles et polynômes à autant de variables qu'on veut, voire une infinité, matrices et j'en oublie).

Mais enfin, je me demandais si les vrais matheux s'amusaient parfois à proposer leur réponse à une question pareille. ¯\\_(ツ)_/¯

Bien cordialement.

Ruxor (2018-09-10T12:01:07Z)

@f3et: Dans l'analogie entre corps de nombres et corps de fonctions, il est logique d'appeler ∞ la place archimédienne de ℚ, parce qu'elle ressemble beaucoup à la place à l'infini de 𝔽_p(t) (i.e., la place qui correspond à la valuation au point à l'infini de la droite projective) : si tu veux, la place à l'infini de 𝔽_p(t) est la place où tous les t−c sont grands sachant que c est le point où t−c est petit (plus généralement, tous les irréductibles de 𝔽_p[t] sont grands en la place à l'infini), et de façon analogue, la place archimédienne de ℚ est la place où tous les p sont grands (tous les irréductibles de ℤ sont grands) sachant que p est la place où p est petit.

f3et (2018-09-10T11:20:17Z)

Tiens, j'ai encore une question, cette fois sur le corps résiduel, la place à l'infini, tout ça… L'infini dont il est question dans la notation v_infini, c'est une simple astuce de notation, ou encore une licorne ? Parce que, par exemple, je ne vois aucun passage à la limite (par quelque notion de limite que ce soit) passant des valuations p-adiques à la valuation archimédienne…

Kim Jong-il (2018-09-09T16:05:00Z)

Et ils sont où les motifs, boldel ??

Zelda (2018-09-09T12:09:36Z)

Dans une veine similaire, il y a les "monstres" (??), genre les trucs dont on se dit qu'ils ne peuvent pas exister, mais en fait si (sans avoir à changer de cadre). Et à mesure qu'on avance dans notre démonstration par l'absurde, on ne trouve aucune contradiction ; se dégage même une surprenante cohérence. Typiquement, les géométries non-euclidiennes : l'histoire s'est ainsi déroulée.

Comme variante, il y a les monstres pour lesquels personne ne s'est mis en quête du parchemin scellant leur inexistence : il est juste évident que blabla n'existe pas, ça ne vient pas à l'esprit de s'en assurer. Là, je pense plutôt aux histoires de fonctions nulle part dérivables, courbes de Péano, etc.

En un sens, tout comme les licornes, les monstres révèlent quelque chose sur le cadre dans lequel on travaille. Dans le cas des licornes, il est trop étroit ; dans le cas des monstres, deux façons de voir : soit il est trop vaste pour notre propos, soit il est suffisamment riche pour aller au-delà de notre propos.

Il y a aussi les… "arcs-en-ciel" ? Disons les ponts devinés entre domaines à cause de coïncidences miraculeuses, mais qui semblent n'être que d'impalpables chimères numérologiques peu crédibles pendant quelques temps. Je pense au Monstrous Moonshine (pendant sa période de mystère), dont tu as déjà parlé sur ce blog. Disons qu'il y a le même faisceau cohérent de coïncidences qui échappe à la saisie. Dans le cas de la licorne, on sait (ou plutôt croit savoir) quelle forme devrait prendre l'incarnation de la "réponse", et on sait montrer que cette incarnation n'existe pas. Dans le cas du moonshine, on ne sait pas comment pourrait s'incarner la chose, ce qui peut paraître un argument de plus pour dire "tu rêves tout haut, ça ne veut rien dire" (et parfois, c'est le cas).

Pour les motifs, je me plantais : c'est plutôt de l'éléphant blanc. En tout cas, il me semble qu'il n'y a pas de démonstration d'impossibilité, si ? Bwof, j'sais pas trop… :/

Zelda (2018-09-09T11:51:21Z)

@ooten : David a raison : les topoi ne sont pas une licorne (après, peut-être qu'ils ont servi à capturer des licornes, de même que les distributions ont capturé la masse de Dirac : ça je ne sais pas). Mais dans cette veine, les motifs sont peut-être un peu licorneux… Je sais pas, je ne connais cela que de très loin…

Cigaes (2018-09-08T19:51:12Z)

Je suppose que pour attraper δ², Colombeau a fait en sorte qu'elle le sous-estime, puis fait semblant de partir sur une fausse piste qui aurait risqué de la révéler indirectement, et a attendu qu'elle se trahisse en cherchant à se protéger.

(Désolé.)

Typhon (2018-09-08T16:53:34Z)

Moi j'ai l'impression que l'erreur du candidat aux oraux de l'agreg dans cette histoire (mais peut-être que c'est influencé par la façon dont tu la racontes, je n'y étais pas et j'ai jamais passé d'oral d'agreg), c'est d'avoir dit dès le début qu'il allait faire une blague.

Peut-être que la réaction aurait été différente s'il avait prétendu être totalement sérieux et délivré ses leçons de la façon la plus pince-sans-rire possible.

f3et (2018-09-08T09:30:39Z)

Ah, j'oubliais : bravo pour ton joli travail allusif sur La Disparition du corps fini F_1 à un (quoi ?).

f3et (2018-09-08T08:17:20Z)

Pour rebondir sur "Les infinitésimaux vrais", ma licorne favorite est la bonne définition de l'intégration dans les surréels (voir par exemple la thèse de Fornasiero : <URL: http://www.dm.unipi.it/~fornasiero/phd_thesis/thesis_fornasiero_linearized.pdf/ >), sachant que toutes les définitions obtenues jusqu'ici donnent int (exp(t) dt, t=0..omega) = exp(omega) (et non exp(omega)-1)

Ruxor (2018-09-07T15:57:58Z)

Tiens, je tombe par hasard sur la réponse <URL: https://mathoverflow.net/questions/33842/suzuki-and-ree-groups-from-the-algebraic-group-standpoint/310087#310087 > sur MathOverflow qui évoque le fait qu'on peut décrire les groupes de Suzuki et Ree comme des groupes algébriques sur… le corps fini à √p éléments (pour p valant 2 ou 3). (Voir <URL: https://arxiv.org/abs/1703.03794 > pour le formalisme.)

Ruxor (2018-09-07T15:48:38Z)

@Ilia: C'est moi qui ai choisi la comparaison avec les licornes, même si je n'exclus pas complètement que j'aie déjà vu ça quelque part.

Ilia (2018-09-07T15:23:01Z)

Merci beaucoup pour cette note ; très intéressant, et très bien écrit ! J'avais bien sûr déjà entendu parler du corps à un élément, mais j'ai maintenant un tableau beaucoup plus complet dans la tête.

As-tu emprunté la terminologie de "licorne mathématique" à quelqu'un en particulier, ou bien est-ce une invention spontanée ?

Petite coquille : il me semble que le groupe de Weyl de G2 c'est le groupe diédral de l'hexagone, pas du triangle.

Benoit (2018-09-07T14:08:42Z)

A l'époque (vers 2005), un preprint (à ma connaissance non publié) de Kapranov-Smirnov circulait comme le grimoire ultime de la Licorne… en cherchant un peu, en voici une copie:
http://cage.ugent.be/~kthas/Fun/library/KapranovSmirnov.pdf

Benoit (2018-09-07T14:04:18Z)

Très beau texte! Merci!

Les infinitésimaux vrais (2018-09-07T10:26:44Z)

Avec les nombres hyperréels on devrait bien pouvoir trouver une jolie licorne à admirer !

ooten (2018-09-07T09:52:14Z)

@Ruxor : tu chipotes et tu reconnais que la notion de licorne est approximative, l'idée que tu en dégages est qu'elles sont des généralisations (ce qui est bien la cas des complexes ou des distributions par rapport aux réels et aux fonctions usuelles), c'est surtout en cela qu'elles sont importantes à mes yeux même si tu y apportes aussi d'autres caractéristiques.

Ruxor (2018-09-07T09:13:56Z)

@ooten: Ne mélangeons pas tout. Les topos ne correspondent pas à ce que j'appelle ici « licorne », c'est-à-dire un objet dont on pressent l'existence mais qui présente des caractères paradoxaux. Ils ne sont même pas ce que j'appelle « éléphant blanc », c'est-à-dire un objet dont l'existence a été difficile à prouver. La notion s'est dégagée, pour ainsi dire, toute seule (et même plus ou moins deux fois, en géométrie et en logique).

ooten (2018-09-07T08:26:42Z)

Pour moi ce qui me semble être la plus belle licorne est celle des topos, je cite : "C'est le thème du topos qui est ce "lit" où viennent s'épouser la géométrie et l'algèbre, la topologie et l'arithmétique, la logique mathématique et la théorie des catégorie, le monde du continu et celui des structures "discontinues" ou "discrètes". Il est ce que j'ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse, par un même langage en résonance géométrique, une "essence" commune à des situations des plus éloignées les unes des autres" A. Grothendieck, Récoltes et Semailles p. 59 et ce n'est pas la seule licorne qu'il a trouvée. Et comme je l'avais déjà posté dernièrement une exploitation prometteuse des topos semble avoir été découverte récemment par Olivia Caramello aidée et soutenue en cela par Laurent Lafforgue.

Ruxor (2018-09-07T08:09:35Z)

@Nick Mandatory: Il suffit d'identifier le groupe additif (= la droite affine) et le groupe multiplicatif (= le complémentaire d'un point dans la droite affine), ce qui est sans doute facile. Mais s'agissant du corps à un élément, on peut dire qu'on a déjà le groupe additif, il a un seul point, et le groupe multiplicatif, il a aussi un seul point, et malheureusement ça ne nous aide pas tant que ça à comprendre ce corps.

@jonas: My "unicorn" terminology probably only really makes sense after mathematical rigor started being seen as important (Cauchy, Weierstraß), which more or less coincides with the development of early set theory (Dedekind, Frege, Cantor); before that, when you needed an object, well, you just used it and learned how to navigate around the paradoxes (like Euler did with infinite sums). On the other hand, the ancient Greeks had their own form of rigor: maybe to Euclid the "doubling of the cube" or "squaring of the circle" would have represented some kind of unicorn because there was no way to do this or even define this properly in the framework in which they were operating. You'd have to ask a real historian of science.

As for a connection between prime factoring and the DLP, I don't see one, unicorn or no unicorn (where are some more precise non-answers in <URL: http://mathoverflow.net/questions/3922/discrete-logs-vs-factoring >).

jonas (2018-09-06T22:31:28Z)

Was set theory ever seen as a unicorn of this sort before ZFC and other theories were developped? Were the infinitesimals of Leibniz a unicorn? Were some notions of infinity ever unicorns, such as the infinite cardinals, the infinity of the complex plane, or the ideal points of projective geometries? Was the square root of two seen as a unicorn if the myths are true about how the Pythagoreans were worried because they knew that no rational number is that square root?

As for the future, is there a chance that there are unicorns or white elephants that give a reduction between fast algorithms for prime factoring of integers and discrete logarithm in some certain groups?

Nick Mandatory (2018-09-06T20:46:24Z)

Question bête : est-ce qu'il y a un genre de dualité tannakienne qui fait que quand on connaît la catégorie des variétés sur un corps k (+ éventuellement un peu de structure supplémentaire), on connaît k ?

Antoine (2018-09-06T20:22:53Z)

Une jolie licorne en analyse : les fonctions propres généralisées (exp(i f x) est manifestement fonction propre de l'opérateur de dérivation sur la droite réelle, mais n'est pas dans les espaces fonctionnels qui permettent de faire de la géométrie)


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