Comments on Une conjecture « du dimanche » sur les nombres premiers

Ruxor (2018-07-03T09:19:12Z)

@User #9150297: Oui, exactement (c'est particulier à un type d'énoncés dits Π₁ arithmétiques : quand il y a un contre-exemple, on peut l'exhiber). Et oui, c'est dans un système plus puissant que ça se produit pour les cas où on sait faire. (L'énoncé G de Gödel dit « G n'est pas démontrable dans Peano », du coup il n'est pas démontrable dans Peano, et du coup il est vrai ; mais en fait, quand on regarde de plus près, ce qu'on a utilisé pour dire que G est vrai, c'est plus que Peano, c'est le fait que tout ce que démontre Peano est vrai, et on aboutit à la conclusion — légèrement surprenante — que Peano ne sait pas que tout ce que Peano démontre est vrai.) Plus de précisions sur <URL: http://www.madore.org/~david/weblog/d.2012-12-15.2093.verite-en-mathematiques.html#d.2012-12-15.2093 >.

User #9150297 (2018-07-03T01:16:39Z)

Si on montre qu'un tel énoncé est indécidable, on devrait en fait avoir montré qu'il est vrai (éventuellement dans un système plus puissant ?), puisqu'on montre alors qu'il n'y a pas de contre-exemple car pas de preuve qu'il est faux.

Ruxor (2018-07-02T22:16:08Z)

@User #9150297:

Oui, c'est tout à fait concevable que ce genre de choses soit vrai et indémontrable. (Et malheureusement, on ne dispose d'aucun outil permettant de montrer que ce type d'énoncé est indémontrable. Et il est d'ailleurs possible que l'indémontrabilité soit elle-même indémontrable, et que ce fait-là soit à son tour indémontrable, et ainsi de suite, et la question de si ce genre de choses doit finir par terminer est assez compliquée à expliquer.)

Quand je parle de hasard, je veux dire essentiellement « suivant l'heuristique selon laquelle les nombres premiers se comportent comme s'ils étaient tirés au hasard (ce qui n'est certainement pas le cas en réalité) selon la distribution qu'on leur connaît ». Cette heuristique est très commode et prédit plein de choses intéressantes, mais elle ne peut pas être vraie dans tous les cas, on ne sait même pas *énoncer* des conditions complètement générales sous lesquelles on pense qu'elle serait vraie (i.e., c'est une heuristique, même pas une conjecture), et dans plein de cas précis où elle semble vraie, on ne sait pas pour autant démontrer ce qu'elle prédit (ni le réfuter, ni montrer que ce serait indécidable, ni…).

Pour résumer : il y a tellement de choses qu'on ne sait pas sur les nombres premiers que c'est très facile pour un mathématicien amateur de produire des kilomètres de conjectures à ce sujet, et on ne sait rien en dire du tout.

User #9150297 (2018-07-02T21:43:30Z)

@Ruxor Se pourrait-il qu'une conjecture du même genre soit vraie mais qu'il n'en existe pas de preuve ? Qu'est-ce que ça voudrait dire qu'elle soit vraie « par hasard » ?

Sbigoudi, sbigouda, aplafafloup (2018-06-30T21:10:01Z)

@Typhon C'est bizarre… Dans cette vidéo du professeur Rollin <URL: https://www.youtube.com/watch?v=iAjMIeKAuI8 >, le nombre (27×116)^17 n'est pas celui qui est écrit sur le bout de carton.

vicnent (2018-06-28T13:44:05Z)

Ruxor (2018-06-28T12:08:33Z)

Tiens, encore un bon exemple de « conjecture du dimanche » sur les nombres premiers : <URL: https://mathoverflow.net/questions/303839/is-any-odd-integer-of-the-form-p-nm-p-n-p-m >. L'auteur(e?) de cette question semble alterner entre des questions de géométrie euclidienne (qui ne sont pas vraiment de niveau recherche mais qui sont, au moins, élégantes et bien posées) et des conjectures interchangeables sur les nombres premiers.

Le Surfeur du dimanche (2018-06-14T18:21:55Z)

Je te propose une conjecture impossible sous forme de question :

Est-ce toi qui détermine les maths qui t'intéressent ou sont-ce les maths qui déterminent tes centres d'attraction affective pour elles ?

Peut-être que dans un monde parallèle tu es juste une conjecture du dimanche d'une intelligence ironique !

Typhon (2018-06-14T18:02:33Z)

Sinon, cette histoire de vérifier une conjecture pour les plus petites valeurs, ça me rappelle ce passage du livre de Paul Hoffmann sur Erdős :

« The trouble with integers is that we have only examined the small ones" said Graham. […] "Maybe all the exciting stuff happens at really big numbers, ones we can't get our hands on, or even begin to think about in any very definite way. »

Le Graham en question est le Ronald Graham du nombre de Graham, je pense que par "grand nombre", il a en tête des choses *un peu* plus grandes que 4*10^5, mais après tout même le nombre de Graham est inférieur à presque tout les nombres naturels :D (cf les explications du professeur Rollin au sujet du nombre 27 <URL: https://www.youtube.com/watch?v=iAjMIeKAuI8 >)

Typhon (2018-06-14T17:35:41Z)

Il y a une chose qui est claire c'est que la théorie des nombres a du succès parce que c'est souvent là qu'on trouve les énoncés les plus simples.
Un collégien à moitié réveillé peut comprendre la conjecture de Goldbach, celle des nombres premiers jumeaux, ou celle de Syracuse, ou l'énoncé du dernier théorème de Fermat.

Et comme c'est simple, c'est aussi souvent vers ça que la vulgarisation mathématique va aller si elle veut parler de problèmes ouverts. Soit ça, soit des trucs géométriques jolis comme les fractales auto-similaires, soit des trucs spectaculaires comme l'infini.

J'imagine que c'est facile pour beaucoup de gens de s'imaginer petit génie solitaire résolvant seul dans son coin de tels problèmes, ou de s'imaginer qu'on peut trouver facilement des nouvelles conjectures de ce style (sans se demander pourquoi celles qui ont du succès et sont prises au sérieux le sont).


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