Comments on Les revêtements doubles du groupe symétrique sont pénibles

Noohi (2018-06-07T16:09:33Z)

Ahh, siiii, point fixe, rhhhhhaa, groupe fondamental de l'orbifold quotient, 'cule un mouton. Drôle.

Ruxor (2018-06-07T15:40:06Z)

@Bob: Ah oui, c'est une question rigolote. On obtient un groupe de Coxeter forcément infini (parce que les groupes de Coxeter finis sont complètement classifiés et bien connus), mais je ne sais pas vraiment quoi dire de plus. Lorsque n=3 on peut vaguement voir ce groupe : c'est le groupe des isométries d'un pavage hyperbolique qui doit être celui-ci, je crois : <URL: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Uniform_dual_tiling_433-t012.png > (pavage par un triangle ayant des angles de π/3, π/3 et π/4), et donc 2·𝔖₃⁺ est le groupe fondamental d'un quotient de ce pavage, ou quelque chose de ce goût-là (je m'embrouille toujours dans ces histoires : il y a des points fixes donc ce n'est pas vraiment un quotient)… Bon, après, le cas n=3 est malheureusement sans intérêt parce que, en fait, 2·𝔖₃⁺ est simplement 2×𝔖₃. Et pour n≥4 ton groupe de Coxeter n'est même pas hyperbolique.

Bob (2018-06-07T14:46:50Z)

Merci pour cette belle mise en bouche avant le texte principal, qu'on attend avec impatience !

Je n'avais pas du tout les idées claires sur ces 4 extensions du groupe symétrique. Je me demande si 2·𝔖n⁺ (ou son acolyte) apparaît dans des problèmes en physique.

Une question : si je regarde ta présentation de 2·𝔖n⁺, est-ce que la condition (C) empêche ce groupe d'être un groupe de Coxeter ? En d'autres termes, que se passe-t-il si on remplace cette condition (C) par son carré, ([ti]·[tj])^4=1 si |i−j|≥2 ? Obtient-on un groupe différent ?


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