Comments on Approximation diophantienne ; et une bizarrerie mathématique : la constante de Freiman

jonas (2018-02-16T18:17:20Z)

f3et: Erich Friendman has a nice set of a hundred bibliographies of famous mathematicians from before this century at <URL: http://www2.stetson.edu/~efriedma/periodictable/ >. Lagrange is included <URL: http://www2.stetson.edu/~efriedma/periodictable/html/Lr.html >.

Ruxor (2018-02-15T16:24:43Z)

@f3et: C'est bien Joseph Louis Lagrange (1736–1813). Mais comme d'habitude, le lien entre ce qu'a fait un mathématicien et ce qui est nommé en son honneur peut être distant. Je sais qu'il a caractérisé les développements en fraction continués qui sont prépériodiques, et qu'il a travaillé sur l'équation de Pell (qu'on peut relier aux développements en fractions continuées ou à l'approximation diophantienne) : je pense que c'est sur la base de ça que quelqu'un (mais qui ?) a décidé d'appeler « constante de Lagrange » et « spectre de Lagrange » les objets correspondants. Ce serait sans doute une question pertinente à poser sur MathOverflow ou HSM.StackExchange.

f3et (2018-02-15T09:31:43Z)

Une toute petite question taraudante : qui donc est ce Lagrange ?

Bob (2018-02-13T12:00:58Z)

C'est fascinant ! Merci pour cette nouvelle visite guidée.

Ruxor (2018-02-12T11:22:28Z)

PS (toujours @DH): Tu le sais évidemment, mais toutes ces choses peuvent d'ailleurs avoir un semblant d'intérêt en mécanique céleste, puisque la stabilité ou l'instabilité d'orbites, dans des conditions simplifiées dans un système à trois corps hiérarchique, dépend de la proximité de résonances exprimées par des petits dénominateurs.

Ruxor (2018-02-12T11:18:45Z)

@DH: Non, en fait, quand tu as posé la question, c'était un effet Zahir : je venais justement de lire l'après-midi même des choses sur les spectres de Lagrange et de Markov et d'apprendre ce qu'était la constante de Freiman. Maintenant, le fait que tu en aies parlé a partiellement joué pour me motiver à rassembler tout ça sous forme d'un article de blog.

Nick Mandatory (2018-02-11T23:16:39Z)

Super billet (qui met notamment un peu d'ordre sur des trucs que je savais plus ou moins confusément, disons jusqu'au théorème de Hurwitz inclus).

Sur ce genre de questions, il y a un bouquin assez intéressant d'Aigner : “Markov’s Theorem and 100 Years of the Uniqueness Conjecture”. Je ne sais pas ce qu'il traite exactement, mais sa lecture a l'air beaucoup moins déplaisante que celle de la monographie qui t'a tant déplu.

DH (2018-02-11T20:36:34Z)

Ne me dis pas que tout est parti de ma question naïve de l'autre jour, sur l'irrationnel "le moins rationnel" possible pour connaître l'heure d'aller manger à la cantine :-D

Ruxor (2018-02-11T11:21:25Z)

(Correction au commentaire précédent.) Je me suis planté dans mes sommes : presque aucun réel n'est q²·log(q)^γ-approchable pour aucun γ>1 (ni q²·log(q)·log(log(q))^δ-approchable pour aucun δ>1), mais pour ce qui est d'être q²·log(q)-approchable (ou q²·log(q)·log(log(q))-approchable), je ne sais pas : je soupçonne que presque tout réel l'est (et en tout cas il y a certainement une loi du 0-1 qui dit que c'est soit presque tout soit presque aucun), mais ce n'est sans doute pas trivial.

Ruxor (2018-02-10T21:10:03Z)

@B.: Je me suis posé la même question. 😕 Et je n'ai pas de meilleure réponse que « il faut bien commencer par là, et ce sont les résultats qui viennent le plus naturellement ». Effectivement, j'ai bien envie de mettre des log dans la fonction h (remarque au passage : tu as inversé h par rapport à ma notation, mais peu importe). Si je ne m'abuse, presque aucun réel n'est q²·log(q) approchable, ni même q²·log(q)^γ-approchable pour aucun γ>0, ni même q²·log(log(q))^δ-approchable pour aucun δ>0, ni ainsi de suite, simplement à cause de la sommabilité des longueurs correspondantes des intervalles centrés sur les rationnels ; il doit y avoir une loi du zéro-un qui fait que, de toute façon, on ne peut jamais obtenir que « presque rien » ou « presque tout ». En revanche, on peut s'intéresser aux différents spectres, aux mesures de Hausdorff, etc., et je subodore que rien n'est connu sur tout ça.

B. (2018-02-10T20:29:32Z)

Mis à part le fait que ce sont des fonctions indiscutablement simples, y a-t-il une raison pour ne s'intéresser qu'à des h-approximations avec h(p/q) = 1/C q^µ ? Pour les irrationnels x (C,2)-approchables pour tout C, il paraît naturel de se demander s'ils sont (1/q²log(q))-approchables par exemple. Y a-t-il des résultats en ce sens ?


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