Comments on Approximation diophantienne ; et une bizarrerie mathématique : la constante de Freiman

Ruxor (2018-02-23T18:17:44Z)

@Fab: Il y a plein de choses qu'on ne sait pas, notamment la tête du graphe de la fonction D. Mais on sait quand même que :

• La fonction D, bien que continue, n'est pas lipschitzienne ni même hölderienne quel que soit l'exposant (il y a un argument simple, donné juste après le théorème 1 dans l'article de Moreira que j'ai lié), donc a fortiori pas C¹.

• La fonction D n'atteint jamais la valeur 1 (mais tend vers 1 à l'infini). Là aussi, c'est dans l'article de Moreira.

Sinon, pour répondre à une autre question, un ensemble de dimension de Hausdorff 0 peut tout à fait avoir la puissance du continu (il suffit de fabriquer un Cantor-like, mais en faisant des trous dont la proportion tend assez vite vers 1, autrement dit, des Cantor-like beaucoup plus minces ; inversement, en faisant des Cantor-like dont la proportion trouée à chaque étape tend assez vite vers 0 on peut fabriquer des fermés d'intérieur vide dont la dimension de Hausdorff vaut 1).

Fab (2018-02-23T10:55:51Z)

Ajout réponse à l'une de mes dernières questions : ben oui un ensemble peut bien sûr être non dénombrable et de dimension de Haussdorff nulle, c'est le cas de l'ensemble des nombres de Liouville, qui a même le toupet d'être de cardinal c. Ce qui contribue à ruiner ma vision un peu platoniste notamment autour des questions d'existence ou pas de cardinaux intermediaires à aleph0 et c… d'où ma question hier sur l'hypothèse du continu, dans ton billet du 22/7/14 sur les nombres aléatoires et génériques (bizarrement, je ne peux pas coller d'adresse URL, ni coller quoi que ce soit dans ce champ avec mon appareil sous android) mais qui aurait peut-être une meilleure place dans ton billet sur "ce que le Vrai veut dire en maths"

Pour revenir au sujet, une conséquence est que je n'ai plus vraiment d'espoir que les ensembles de réels dont l'exposant est compris entre u1 et u2 (u1 > 2) aient une dimH non nulle. Bref fausse bonne idée j'imagine dans mon commentaire précédent quant à une tentative de quantifier la dispersion des exposants > 2. D'autant que la question pourrait amener dans des directions opposéed dans un cadre topologiqie…

Fab (2018-02-22T23:35:20Z)

Je me suis beaucoup amusé à la lecture de cet excellent billet… je connaissais pas grand-chose à tout ça (en fait une fois bien intégré le théorème d'approximation de Dirichlet dont j'avais une vague idée et qui ne m'avait guère intéressé jusque là, j'ai été captivé par la suite _bon je me suis permis de survoler certaines démonstrations), bref, bravo à toi encore une fois pour tes talents de pédagogue.

C'est fascinant comme un objet mathématique on ne peut plus intuitivement approchable que la droite réelle peut révéler autant de complexité en regard des rationnels, et donc des entiers (oui, réflexion en essence du même niveau que "la théorie des nombres c'est compliqué"…). Bref, cette hiérarchie à deux niveaux induite par le couple (exposant d'approximation, constante de Lagrange) me fascine :) est vraiment rigolote ! De mon côté, ce n'est pas tant le caractère peu crédible de la constante de Freiman qui m'épate que la structure du spectre de Lagrange dans sa globalité. C'est beau.

Concernant les réels d'exposant d'approximation 2, j'aimerais bien en savoir un peu plus sur la fonction D (dimension de Hausdorff D(λ) de {x : Λ(x)<λ}) ; accessoirement connaît-on la valeur à partir de laquelle elle vaut 1 ? (nécessairement inférieure ou égale à la constante de Freiman et j'imagine probablement supérieure à √12 d'après ce que j'ai compris). Aurait-on une ne serait-ce qu'une vague idée de son graphe ? Elle est continue ce qui est en soit un joli résultat, mais j'imagine qu'on n'en sait pas beaucoup plus (classe C_1 ? C_infini ? analytique ?… je partirais plutôt sur un non/non/non).

Cette fonction D du coup me renvoie au spectre d'exposants, du coup, ne pourrait-on pas chercher une fonction analogue à D qui caractériserait d'une manière ou un autre, sinon la mesure de proportion* des {x : ν(x)<μ} en fonction de μ, la "metamesure" qu'est la dimension de Haussdorff de réels d'exposant d'approximation μ ? Alors bof, la dimension de Haussdorff de {x : ν(x)<μ} vaut 1 pour tout μ>2. Par-contre, pour μ1<μ2 donnés (avec μ1>=2) si l'ensemble négligeable {x : μ1<ν(x)<μ2} a une dimH non nulle (sait-on quelque-chose sur ces ensembles ? sont-ils non dénombrables ?), on pourrait alors considérer l'"accroissement de dimH en μ" : lim quand ε→0 de dimH ({x : μ<ν(x)<μ+ε})/ε serait un indicateur de la dispersion des exposants… Mais trève de naïveté, je vois gros comme une maison qu'un bon paquet (voire "presque tous" ?) de ces ensembles sont dénombrables (et au fait, un ensemble indénombrable a-t-il nécessairement une dimH >0 ? Bon, je n'ai pas cherché bien longtemps, mais la question paraît peu présente sur le web). Alors ? une autre piste (si la question garde un sens, ou peut en prendre un, avec un cadre qui serait alors à préciser) ?

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*: celle de Lebesgue est bêtement infinie pour tout μ>2 donc la proportion est bêtement 1, ce qui n'est certes pas un outil de folle précision. En passant j'imagine que c'est parce-que la mesure de Lebesgue des {x : Λ(x)<λ} serait presque partout non définie qu'on ne dispose pas d'outil de mesure de proportion de réels de constante de Lagrange λ (du style lim quand x→+∞ de dimH ({x>0 : Λ(x)<λ})/x. Bon, l'existence d'une telle limite serait encore à prouver. Et puis bon, peut-être bien que j'imagine des conneries depuis le début de cette phrase (j'espère pas trop dans ce commentaire).

jonas (2018-02-16T18:17:20Z)

f3et: Erich Friendman has a nice set of a hundred bibliographies of famous mathematicians from before this century at <URL: http://www2.stetson.edu/~efriedma/periodictable/ >. Lagrange is included <URL: http://www2.stetson.edu/~efriedma/periodictable/html/Lr.html >.

Ruxor (2018-02-15T16:24:43Z)

@f3et: C'est bien Joseph Louis Lagrange (1736–1813). Mais comme d'habitude, le lien entre ce qu'a fait un mathématicien et ce qui est nommé en son honneur peut être distant. Je sais qu'il a caractérisé les développements en fraction continués qui sont prépériodiques, et qu'il a travaillé sur l'équation de Pell (qu'on peut relier aux développements en fractions continuées ou à l'approximation diophantienne) : je pense que c'est sur la base de ça que quelqu'un (mais qui ?) a décidé d'appeler « constante de Lagrange » et « spectre de Lagrange » les objets correspondants. Ce serait sans doute une question pertinente à poser sur MathOverflow ou HSM.StackExchange.

f3et (2018-02-15T09:31:43Z)

Une toute petite question taraudante : qui donc est ce Lagrange ?

Bob (2018-02-13T12:00:58Z)

C'est fascinant ! Merci pour cette nouvelle visite guidée.

Ruxor (2018-02-12T11:22:28Z)

PS (toujours @DH): Tu le sais évidemment, mais toutes ces choses peuvent d'ailleurs avoir un semblant d'intérêt en mécanique céleste, puisque la stabilité ou l'instabilité d'orbites, dans des conditions simplifiées dans un système à trois corps hiérarchique, dépend de la proximité de résonances exprimées par des petits dénominateurs.

Ruxor (2018-02-12T11:18:45Z)

@DH: Non, en fait, quand tu as posé la question, c'était un effet Zahir : je venais justement de lire l'après-midi même des choses sur les spectres de Lagrange et de Markov et d'apprendre ce qu'était la constante de Freiman. Maintenant, le fait que tu en aies parlé a partiellement joué pour me motiver à rassembler tout ça sous forme d'un article de blog.

Nick Mandatory (2018-02-11T23:16:39Z)

Super billet (qui met notamment un peu d'ordre sur des trucs que je savais plus ou moins confusément, disons jusqu'au théorème de Hurwitz inclus).

Sur ce genre de questions, il y a un bouquin assez intéressant d'Aigner : “Markov’s Theorem and 100 Years of the Uniqueness Conjecture”. Je ne sais pas ce qu'il traite exactement, mais sa lecture a l'air beaucoup moins déplaisante que celle de la monographie qui t'a tant déplu.

DH (2018-02-11T20:36:34Z)

Ne me dis pas que tout est parti de ma question naïve de l'autre jour, sur l'irrationnel "le moins rationnel" possible pour connaître l'heure d'aller manger à la cantine :-D

Ruxor (2018-02-11T11:21:25Z)

(Correction au commentaire précédent.) Je me suis planté dans mes sommes : presque aucun réel n'est q²·log(q)^γ-approchable pour aucun γ>1 (ni q²·log(q)·log(log(q))^δ-approchable pour aucun δ>1), mais pour ce qui est d'être q²·log(q)-approchable (ou q²·log(q)·log(log(q))-approchable), je ne sais pas : je soupçonne que presque tout réel l'est (et en tout cas il y a certainement une loi du 0-1 qui dit que c'est soit presque tout soit presque aucun), mais ce n'est sans doute pas trivial.

Ruxor (2018-02-10T21:10:03Z)

@B.: Je me suis posé la même question. 😕 Et je n'ai pas de meilleure réponse que « il faut bien commencer par là, et ce sont les résultats qui viennent le plus naturellement ». Effectivement, j'ai bien envie de mettre des log dans la fonction h (remarque au passage : tu as inversé h par rapport à ma notation, mais peu importe). Si je ne m'abuse, presque aucun réel n'est q²·log(q) approchable, ni même q²·log(q)^γ-approchable pour aucun γ>0, ni même q²·log(log(q))^δ-approchable pour aucun δ>0, ni ainsi de suite, simplement à cause de la sommabilité des longueurs correspondantes des intervalles centrés sur les rationnels ; il doit y avoir une loi du zéro-un qui fait que, de toute façon, on ne peut jamais obtenir que « presque rien » ou « presque tout ». En revanche, on peut s'intéresser aux différents spectres, aux mesures de Hausdorff, etc., et je subodore que rien n'est connu sur tout ça.

B. (2018-02-10T20:29:32Z)

Mis à part le fait que ce sont des fonctions indiscutablement simples, y a-t-il une raison pour ne s'intéresser qu'à des h-approximations avec h(p/q) = 1/C q^µ ? Pour les irrationnels x (C,2)-approchables pour tout C, il paraît naturel de se demander s'ils sont (1/q²log(q))-approchables par exemple. Y a-t-il des résultats en ce sens ?


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