Comments on Petit guide bordélique de quelques ordinaux intéressants

Alcide Nikopol (2017-09-14T19:27:32Z)

S'agissant de l'ultrafinitisme, ce qui me déconcerte, chez des gens comme Norman Wildberger (pour mentionner un exemple flamboyant), c'est qu'ils subordonnent essentiellement les mathématiques à la physique pour récuser la pertinence de la notion d'infini (ou même des très grands nombres) : c'est bien le cas lorsqu'ils contestent l'intérêt d'envisager des nombres plus grands que le nombre d'atomes de l'univers au prétexte que nos ordinateurs ne peuvent pas, même en principe, les calculer.

Mais tout ce que nous estimons savoir du monde physique procède de notre expérience empirique ainsi que de modèles *mathématiques* nous permettant d'interpréter ladite expérience. Ici se pose déjà un problème de récursivité, pourrait-on dire, quant au fait de subordonner les maths à une discipline - la physique - elle-même dépendante des maths. Plus généralement, la connaissance empirique, dont procède ultimement la physique, ne sera jamais aussi parfaite, dans son principe, que la connaissance *apodictique* (accessible grâce à notre seul esprit) caractérisant les mathématiques. C'est pourquoi il me semble moins problématique de fonder la physique (au moins pour partie) sur les maths que l'inverse.

S'agissant de la notion d'*infini* qui dérange tant Wildberger - je parle sous le contrôle des spécialistes qui fréquentent ce site - le langage formel de la théorie des ensembles n'exige pas absolument cette notion : ce n'est qu'une interprétation pertinente de certaines formules que nous donnons dans le langage courant (?). L'important, c'est que les règles formelles de la théorie des ensembles soient cohérentes, pour fournir un socle solide sur lequel déduire, à partir de ses axiomes, des résultats non-triviaux.

D'ailleurs, concrètement (et vous abordez ce point), je crois qu'il existe des programmes informatiques permettant de vérifier les preuves mathématiques humaines (écrites en langage humain avec les ellipses et imprécisions que ça entraîne souvent) en langage informatique, donc en langage formel "sérieux".

Or, si ces procédures informatiques formelles permettent d'évaluer des raisonnements fondés sur la théorie ZFC, avec ses fameux axiomes admettant l'"infini" (ou ce que les humains désignent ainsi), voilà une validation informatique, sérieuse et impartiale (non sujette aux divagations esthétiques ou métaphysiques que s'autorise le genre humain), qui aurait tout pour satisfaire un Wildberger, m'aurait-il semblé.

Après, ce que je ne suis pas sûr d'avoir compris, c'est si les calculs de logique formelle fondés sur ZFC (ou d'autres théories du même genre) sont parfois eux-mêmes de taille infinie, donc non-terminés en pratique, auquel cas ce serait effectivement gênant et Wildberger marquerait un "point" (de mon point de vue). Mais enfin, je serais étonné qu'il n'y ait aucun moyen d'embrasser par l'abstraction, par des suites de symboles *finies* ET cohérentes, même les plus incroyablement grands ordinaux ou cardinaux (à plus forte raison, il serait fâcheux de ne pouvoir le faire pour d'aussi "petits" cardinaux que ceux de N et de R).

Je ne suis pas du tout spécialiste de ces questions mais, pour ce que j'en comprends, Wildberger pourrait presque me convaincre que les nombres réels (au sens de Cantor ou de Dedekind) ne sont *pas intéressants* (ils comportent "trop" d'éléments "inutiles", qu'on n'observera jamais puisque fondés sur une suite de choix infinie) et qu'il faudrait leur substituer de "meilleures" constructions (comme son idée de "réels d'Aristote" impliquant des intervalles entre rationnels, même si sa propre idée le laisse encore insatisfait). En revanche, ce que je peux pas "acheter", mais qu'il semble bien soutenir, c'est que les mathématiques classiques (avec quelques cardinaux infinis) soient carrément *fausses* ; ce qui ne peut vouloir dire que "logiquement fausses", puisque la vérité ou la fausseté d'un énoncé mathématique dépend de son rapport logique à des axiomes dont il faut se contenter d'exiger la cohérence interne. Quant à la vérité "intrinsèque" desdits axiomes, un mathématicien *formaliste* dira, je suppose, que cette question n'a pas d'intérêt ou du moins qu'elle ne relève pas des mathématiques. Un *platonicien* ne le suivra pas forcément mais on pourrait envisager un "platonisme minimal" admettant une "preuve ontologique" non pas de l'existence de Dieu mais de celle des cardinaux transfinis (j'ai croisé cette idée quelque part) : puisqu'on peut les concevoir (sans contradiction), c'est que leur *idée platonicienne* existe, donc qu'ils existent. Un tel platonisme ne me semblerait pas en pratique différent du "formalisme" et ça ferait un schisme de moins dans les mathématiques^.

jonas (2017-09-07T19:25:45Z)

Re Foenkystos
> Lol le nom en Romaji, puis en Kanji, puis re les furigana au-dessus au cas où :-)
>
> Je suis déçu qu'il y ait pas un lien vers un ficher flac avec différentes prononciations (normale, nez bouché…) et des photos de la position de ta glotte pour chaque syllabe.

This seriously cracked me up. It's such a funny parody of David Madore's thorough writing style that I always enjoy.

Foenkystos (2017-09-05T20:36:37Z)

Lol le nom en Romaji, puis en Kanji, puis re les furigana au-dessus au cas où :-)

Je suis déçu qu'il y ait pas un lien vers un ficher flac avec différentes prononciations (normale, nez bouché…) et des photos de la position de ta glotte pour chaque syllabe.

Super article, encore un que j'arriverai jamais à finir. Faut que je lise celui sur le plan projectif complexe en entier, avant.

ooten (2017-09-03T19:00:44Z)

Y a-t-il encore de grandes questions ouvertes sur le sujet (pour moi l'hypothèse du continue en faisait bien évidemment partie) et même question en informatique en dehors de N=NP ou alors ce ne sont plus que des questions pour les spécialistes.

Ruxor (2017-09-03T18:14:03Z)

@Nick Mandatory: Concernant le bouquin de Pohlers, je le trouve vraiment difficile à lire. Après, mon intérêt pour la question n'est pas tel que je veuille quelque chose de détaillé, plutôt des surveys, et pour ça, j'ai bien aimé les notes de Rathjen intitulées "The Realm of Ordinal Analysis" et "The Art of Ordinal Analysis", et celles d'Arai intitulées "Sneak preview of proof theory of ordinals" (plus anciennes).

Nick Mandatory (2017-09-03T17:44:17Z)

Merci pour tes réponses !

(Finalement, j'ai tout lu, j'ai trouvé ça plutôt très clair, et vraiment très intéressant.)

Tu connais "Proof Theory" de Wolfram Pohlers ? J'ai lu des reviews un peu contradictoires, mais sur le papier ça a l'air d'être une intro intéressante sur le sujet…

Ruxor (2017-09-03T15:24:58Z)

@Nick Mandatory: Excellentes questions.

Le fait que le premier ordinal non calculable (i.e., non représenté par un bon-ordre calculable sur ℕ) coïncide avec le premier ordinal non hyperarithmétique (même définition mutatis mutandis) est en effet remarquable. D'autant plus que ça marche aussi avec des choses plus faibles que "calculable", comme "primitif récursif", ou même (je ne suis pas certain, mais je crois) "calculable en temps polynomial". On pouvait parfaitement imaginer a priori qu'il y ait plein d'ordinaux correspondant au « plus petit ordinal non représenté par un bon ordre appartenant à la classe de calculabilité/complexité <truc> », et c'est assez frappant qu'ils soient en fait tous égaux (ça rend l'ordinal de Church-Kleene d'autant plus remarquable).

Je n'ai pas vraiment d'explication intuitive à ce fait. (J'ai lu des démonstrations, bien sûr, et je peux fournir des références, mais ce n'est pas vraiment transparent : on ne voit pas exactement où la magie se produit.) Je peux quand même fournir deux éléments pour aider à rendre la chose moins mystérieuse :

1º, je pense que la bonne définition de l'ordinal de Church-Kleene est celle avec « hyperarithmétique », parce que les ensembles hyperarithmétiques sont stables par beaucoup d'opérations (et c'est lié au fait que le niveau ω₁^CK de l'univers de Gödel est un modèle de la théorie des ensembles de Kripke-Platek), donc la définition avec « hyperarithmétique » est plus robuste et, en un certain sens, meilleure. Mais avec « calculable », c'est plus facile à expliquer, ce qui explique qu'il soit généralement défini comme ça (puisque, in fine, ça coïncide).

2º, quant à la raison pour laquelle ça coïncide, l'idée très grossière est que, si on veut juste construire un bon ordre ayant un certain ordinal, on peut toujours pousser les entiers très loin dans la construction de l'ordre, i.e., on peut construire cet ordre très « lentement » tout en ayant le même ordinal. Ça explique vaguement pourquoi le fait de descendre en complexité ne change rien au problème (tu vas pouvoir dire, par exemple, que si tes entiers à comparer ne sont pas de la forme 10^10^n tu les compares trivialement, et ça fera juste un ω au début qui ne changera rien, et s'ils sont de cette forme, tu as gagné un facteur exponentiel de complexité pour faire ta comparaison), et je crois que l'astuce en calculabilité est vaguement du même genre, il faudrait vérifier.

Sinon, pour savoir si j'ai fait de la recherche là-dessus, non, pas vraiment. Je garde toujours les ordinaux en tête quand je réfléchis à des choses, j'ai utilisé un prétexte pour en parler dans un article commun avec Colliot-Thélène, et je joue parfois avec des idées farfelues (notamment : pourrait-on développer une cryptographie à clés publiques sur des ordinateurs transfinis ? — ce qui permettrait, par exemple, de rendre rigoureux certains arguments du style « on ne peut pas retrouver <machin> sans connaître <truc> »), mais ça n'a abouti à rien.

Nick Mandatory (2017-09-02T21:16:57Z)

Je sens que je finirai jamais cette entrée, et que je vais quand même me poser des questions, alors je décide de les poser avant la fin (accepte un nombre limite de cardinaux inaccessibles d'excuses si je pose des questions auxquelles tu réponds plus loin dans l'article).

Première question naïve : si je comprends bien ce que tu dis, le premier ordinal non calculable est le même, que l'on prenne la définition normale de calculable ou qu'on la dope jusqu'à vouloir dire calculable par une machine hyperarithmétique. Est-ce qu'il y a une explication simple à cette coïncidence (on aurait pu imaginer que ω_1^CK soit hyperarithmétique et qu'il y ait un premier ordinal non arithmétique ω_1^whatever > ω_1^CK, non ?)

Deuxième question indiscrète : fais-tu, ou envisages-tu de faire de la recherche dans le domaine de la récursion transfinie, ou quelque chose d'autre en lien avec ces sujets qui te tiennent visiblement à cœur ?

Visite au bordel des cardinaux (2017-08-31T17:41:06Z)

C'est un excitant les grands ensembles un peu comme le café ?


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