<foo> simply produces <foo>in the text).
<URL: http://somewhere.tld/ >,
and it will be automatically made into a link.
(Do not try any other way or it might count as an attempt to spam.)mailto: URI,
e.g. mailto:my.email@somewhere.tld,
if you do not have a genuine Web site).
Ruxor (2015-12-16T20:32:12Z)
@cargo du mystère: Si c'est juste pour aider (i.e., pour fournir des invariants d'isomorphisme sans qu'ils classifient complètement), oui : par exemple, on peut considérer le plus petit ordinal strictement supérieur aux ordinaux de tous les sous-ensemble bien-ordonnés, ou pareil pour l'ordre inversé, ce qui donne des invariants importants (d'ailleurs, le second — celui pour l'ordre inversé — est ≤ω ssi l'ensemble totalement considéré est bien-ordonné, puisque ça dit précisément qu'il n'y a pas de suite infinie strictement décroissante).
Par contre, classifier complètement les ensembles totalement ordonnés, c'est sans espoir. (Chercher le problème de Souslin pour un exemple de difficultés qui peut survenir.)
cargo du mystère (2015-12-16T20:00:05Z)
Est-ce qu'on peut utiliser les ordinaux pour aider à classer les ensembles totalement ordonnés (mais pas nécessairement bien ordonnés)?
Ruxor (2015-12-15T19:53:21Z)
@JML: Si on prend le genre d'images produit par mon navigateur d'originaux (par exemple, <URL: http://www.madore.org/~david/math/drawordinals.html#?v=eeeee >), elles sont toutes incluses dans une fractale commune (linéairement autosimilaire) dans lequel on peut représenter n'importe quel ordinal dénombrable. Mais bon, ce n'est pas très intéressant, et ça dit juste des choses sur le dessin choisi, pas sur les ordinaux…
JML (2015-12-15T19:14:21Z)
@f3et Je me demandais simplement si cette impression de fractale pouvait se concrétiser, une fractale étendant minimalement les ordinaux ou quelque chose comme ça. Je pensais bêtement aux suites transfinies d'ordinaux avec l'ordre lexicographique, mais déjà l'aspect discret des ordinaux est perdu, c'est fractal pour être fractal, peut-on faire troué tout en restant fractal ? Si on va jusqu'aux surréels, c'est vrai qu'au moins on a un objet intéressant, mais j'ai envie de dire que les ordinaux sont noyés sous la peinture.
Bon, on peut aussi contempler la quasi-fractalité des ordinaux :)
Ruxor (2015-12-15T00:09:52Z)
@YBM: Effectivement, si le début de son bouquin est relativement raisonnable, ça part vite dans le délire. Après, savoir si le système français éviterait de tels charlatans, je n'en suis pas persuadé : ce sont dans tous les cas des événements rares et pas spécialement représentatifs de quoi que ce soit. (Notons par ailleurs qu'il enseigne dans une Fachhochschule, ce qui correspond plutôt à ce qu'on appellerait en France un IUT ou une école d'ingénieur, qu'une université. S'il n'enseigne pas la théorie des ensembles, peut-être que ce n'est pas si catastrophique que ça…)
@Bellon: Je confirme que tout ordinal dénombrable (i.e., <ω₁) peut se voir comme un bon ordre sur ℕ, et qu'il y a déjà énormément de choses subtiles et mystérieuses à ce niveau-là ; par exemple, ω₁^CK peut se voir comme un bon ordre sur ℕ, mais ce bon ordre ne peut pas être calculable par machine de Turing (ou même par machine hyperarithmétique !), et en fait on peut le voir comme tous les bons ordres définis par des machines de Turing, mis bout à bout (la difficulté est qu'on ne peut pas décider si une MT calcule bien un bon ordre).
Sinon, concernant la différence entre ordinaux et cardinaux, c'est une différence dans la signification de l'exponentielle : pour les cardinaux, a^b désigne le cardinal de *toutes* les fonctions de b vers a (chose qu'on ne peut pas faire pour les ordinaux, parce qu'il n'y a pas de bon ordre naturel là-dessus), et pour les ordinaux, c'est seulement les fonctions à support fini, ordonnées lexicographiquement (poids faible en premier) (on pourrait définir ça pour les cardinaux aussi, mais ça n'aurait pas d'intérêt parce que ça coïnciderait avec a+b = a·b = max(a,b)) ; du coup, on se retrouve avec deux opérations différentes notées pareil. (Au fait, ω^ω c'est l'ordre lexicographique sur les suites finies d'entiers, pas sur ℕ² : sur ℕ² ça fait ω², fort logiquement.)
Bellon (2015-12-14T17:00:54Z)
J'ignorais tout ou presque des ordinaux, mais à force de lire ce blog, je finis par avoir quelques idées.
Ce qui me paraît le plus fascinant, c'est finalement que tous ces ordinaux dont on parle ne sont jamais que des façons différentes de mettre un bon ordre sur les entiers, puisque j'ai bien l'impression que la construction d'ordinaux successifs cale bien avant d'arriver au premier ordinal non-dénombrable.
La chose la plus surprenante, c'est la différence de comportement de la puissance entre ordinaux et cardinaux (alors que dans le cas fini, c'est exactement la même chose).
Pour les cardinaux, 2^\\aleph_0 nous emmène dans le continu, alors que \\omega^\\omega est bêtement l'ordre lexicographique sur N^2.
Fred le marin (2015-12-14T16:49:30Z)
@f3et : tiens oui, les jeux semblent très révélateurs sur notre psychologie (et sur nos capacités psychiques) : je viens en fait de lire (en diagonale) l'article WP-fr sur les "Tours de Hanoï".
Tout est basé sur le problème de l'arrêt (de la partie) et sur le constat (aisé) que (d'une manière générale) l'on n'aime pas perdre.
Or, dans nos sociétés occidentales, la mort est presque toujours perçue comme un échec (au jeu de la vie).
D'où une rage, plus ou moins légitime, d'avoir à tirer pour de bon sa révérence…
En ce sens, les ordinaux nous font miroiter autre chose : un ordre exquis et très durable. Une forme de transcendance (qui nous échappe malgré tout) !
Cet espoir (un peu fou), il faut y croire pour (espérer encore) damer le pion à l'adversaire.
De surcroît (jeu de mots), c'est ici l'idée (qui sera récurrente) d'une "foi qui sauve".
Ainsi, pour illustrer les niveaux d'abstraction, qui est prêt à croire (par difficulté croissante) :
- aux entiers négatifs ?
- aux nombres irrationnels ?
- à la force de Lorentz qui fait apparaître un produit vectoriel dans la Nature même ?
- au formalisme mathématique de la mécanique quantique, au demeurant si efficace ?
- à la théière de Russell ?
f3et (2015-12-14T13:54:25Z)
->JML : les nombres surréels, voire les jeux, forment une structure riche apparaissant là aussi à partir de rien, contenant les ordinaux, et fractale à différents sens. Est-ce pour autant le prolongement auquel tu penses?
YBM (2015-12-13T01:23:27Z)
Sans rapport direct avec l'article (sinon qu'il est question du statut de l'infini), votre article me mène à vous demander si vous avez déjà entendu parler du Professeur Wolfgang Mueckenheim, qui enseigne les mathématiques dans l'enseignement supérieur en Allemagne :
https://www.hs-augsburg.de/fakultaet/aw/person/lehrbeauftragter/mueckenheim_wolfgang/index.html
et infeste Usenet depuis des années d'arguments terriblement erronés concernant l'infini, dont on peut lire l'essentiel ici :
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity.pdf
(il a aussi publié dans des revues où le seul critère de sélectin est de… payer quelques centaines de dollars)
Dans une de ces discussions sans fin dont Usenet préserve le secret, je lui avais affirmé qu'un charlatan dans son genre ne saurait rester en place dans le système universitaire français;
JML (2015-12-12T01:06:49Z)
Y'a pas moyen de restituer la fractale complète en étendant les ordinaux en ajoutant des choses après la virgule ?
jonas (2015-12-11T22:53:07Z)
Tanking superheros reminds me to two things, although neither is really relevant here.
First is a favourite book of mine, Békés Pál, ''BÁLDOR'' (Móra Ferenc Könyvkiadó, Budapest, 1999.), which collects episodes from the interaction of the author with his two children from when they were between the ages of 3 and 12 years old. One of the chapters recounts the story from the time when Békés Pál was explaining the popular stories of classical mythology to his children, reading successive parts of the Iliad each evening. Eventually, his son asked him which one was more powerful, Achilles (the original one from mythology, not any of the superheros named that way), or the Power Rangers (the superheros featured in a television series).
The second is the impressive list at <URL: http://marvel.wikia.com/wiki/Strength_Scale >, which has the synopsis stating the ideal goal to “put all the characters of the Marvel Universe in order, by raw physical strength.”
Now for the ordinals themselves, and Neumann's construction. There's an often repeated quote, attributed to Kronecker: “God made the integers; all else is the work of man.” I for one dislike that quote, and believe that God wouldn't do such an inelegant work. Neumann's construction and ZFC set theory suggest to me that God created nothing, but that was enough for everything else to spring into being. Or else, like I interpret Knuth's ''Surreal Numbers'', that God created every set, starting from nothing, and each set was created on the first day when every member of the set had already been created during the previous days.