Comments on Le jeu de cartes Dobble et la géométrie projective expliquée aux enfants

Ruxor (2015-08-04T22:18:25Z)

@Nicolas (un autre): C'est peut-être le même jeu au sens où ce sont les mêmes règles, mais en tout cas ce n'est pas la même construction. Ceci étant, je n'ai pas compris grand-chose à la définition d'un « partially balanced incomplete block design », et absolument rien à la manière dont on les construit (tous les résultats renvoyés par Google, à commencer par le passage en question de la page Wikipédia « Block design », sont invraisemblablement mal écrits). Mais ça n'a vraiment pas l'air d'être une structure aussi élégante que les plans projectifs finis.

Nicolas (un autre) (2015-08-04T15:47:37Z)

Sur le meme jeu et la vision math appliqué (a la bioinformatique), voir le post de Lior Pachter (Berkeley)
https://liorpachter.wordpress.com/2015/02/23/colori/

Nicolas (2015-07-23T07:56:06Z)

Tu peux essayer de regarder https://thenounproject.com pour les symboles, il y a des choses assez qualitatives. L’idéal c’est de prendre un ensemble d’icônes de la même collection/du même designer, pour avoir une belle unité (et éventuellement donner un thème au jeu, selon la collection).

Nicolas (2015-07-23T07:52:31Z)

Intéressant !

Sinon, pour la partie la plus anecdotique, MakePlayingCards sont plutôt bons. C’est livré de Hong Kong au passage, pas des États-Unis. J’ai commandé plusieurs centaines de cartes chez eux l’année dernière et la qualité est satisfaisante.

La seule absurdité est qu’ils n’acceptent que le JPG comme source d’image, ce qui est bête quand on a un design vectoriel.

Et les frais de ports étaient raisonnables, pas plus de 5€ pour un jeu il me semble.

Alexandre de Bruxelles (2015-07-19T12:39:30Z)

Une suggestion pour le problème < "les jeux de cartes personnalisés font référence à la personnalisation des dos, pas des faces." >.
…C'est de faire un jeu imprimé comme il se doit au dos, et de considérer ces dos "de l'imprimeur" comme les faces pour les joueurs! ;-D
(Si les dos des cartes des joueurs sont des piques, cœur, carreaux, trèfles, who cares?)
Mais ça coûtera cher car au lieu d'avoir à imprimer une seule image commune pour les 55 dos (de l'imprimeur), il en faudra 55 pour les faces des joueurs (à moins de commander au minimum 55 jeux complets d'office, ou un multiple).

Ruxor (2015-07-17T17:53:32Z)

@Lyoa: Ah, merci, je ne savais pas, j'ai bêtement suivi Wikipédia (qu'il serait donc opportun de nuancer) ; j'ai tendance à nommer un objet mathématique par la réunion de tous les noms propres que les gens leur donnent, histoire de ne pas faire de jaloux, mais c'est vrai que ce n'est pas toujours approprié.

Lyoa (2015-07-17T17:05:29Z)

Juste un point de terminologie : c'est vrai qu'on peut voir l'expression "immeuble de Bruhat-Tits" pour désigner n'importe quel type d'immeuble, mais on ne devrait pas. La plupart du temps, "immeuble de Bruhat-Tits" désigne un immeuble tel que défini par Bruhat et Tits, c'est-à-dire un immeuble affine associé à un groupe algébrique réductif sur un corps valué. Dans le cas présent, il vaut mieux dire "immeuble" tout court, ou éventuellement "immeuble de Tits" (qui désigne le plus souvent un immeuble sphérique classique)

Ruxor (2015-07-16T18:43:08Z)

@jonas: The condition on the cards is essentially that they form a Steiner system with parameter t=2 (or equivalently, a 2-block-design with parameter λ=1): to relate to the classical definition of Steiner systems (as found, e.g., on Wikipedia, <URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_system >), consider that the cards are the points and that the symbols are the blocks. I don't know much about Steiner systems in general (not that anybody knows much about them, but certainly there are people who know a great deal more than I do), but I'm told that there are a number of classical constructions of Steiner systems with t=2 apart from projective and affine geometries.

One of them is Kirkman's (1847) construction of Steiner triple systems (triple systems are Steiner systems with t=2 and k=3, so if we translate to cards this has the additional constraint that every symbol occurs on exactly three cards): this can give any number of cards congruent to 1 or 3 mod 6 (originally n=15, see <URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Kirkman%27s_schoolgirl_problem >). I've never read the actual construction.

Another is what are known as "unitals", but you might complain that they are really restrictions of projective geometries (to define the unital (2,q+1,q³+1) Steiner system where q is a prime power, one considers the projective plane on the finite field with q² element and the "Hermitian conic" with projective equation x^(q+1) + y^(q+1) + z^(q+1) = 0 in that plane: the points are the projective solutions of this equation, and the blocks are the projective lines through at least two points, in which case they contain exactly q+1 of them).

Yet another is what are known as "Denniston designs", but I have no idea what they are — a quick Google search suggests that they may again be a restriction of projective geometries.

jonas (2015-07-16T17:07:29Z)

Thank you. I can certainly believe that finite projective planes are the most elegant solutions, and probably even optimal in some sense. (This is amusing, because we don't know how many projective planes of order 11 there are, and those would make a card game of 132 symbols.) But I'd be interested in seeing if there are any arrangements that are only close to optimal.

Ruxor (2015-07-16T14:53:02Z)

@jonas: One of my colleagues (who mentioned the Dobble game to me earlier) had a precise statement, with a proof, of some kind of optimality property of the projective plane construction (w.r.t., the condition of any two card having exactly one symbol in common). Unfortunately, I remember neither the exact property nor the proof. That being said, I'm more interested in maximizing elegance than anything else, so I probably listened with less than my full attention.

@Jérémie: Oui, on pourrait bien sûr faire des cartes les points d'un espace projectif de dimension 3, par exemple, auquel cas il faut encore décider si les symboles sont les droites ou les plans passant par ce point (si ce sont les droites, deux cartes quelconques auront encore un unique symbole en commun, mais ce sera sans doute moins optimal, cf. le paragraphe ci-dessus ; si ce sont les plans, trois cartes auront tendance à avoir un unique symbole en commun, mais parfois beaucoup plus — quand elles sont alignées) ; on peut aussi faire des cartes les droites d'un tel espace, et mettre les symboles pour les points (ou les plans, ça devient au même par dualité), mais dans ce cas je ne sais pas exactement quel jeu on peut vraiment attendre (il y a des définitions axiomatiques des grassmanniennes mais je crois qu'elles ne sont pas très naturelles).

Une autre possibilité de jeux de cartes viendrait des systèmes de Steiner. Par exemple, on peut faire un jeu de 12 cartes, chacune portant 66 symboles (hum, ce n'est vraiment pas très pratique) parmi 132, et de sorte que si on prend 5 cartes quelconques, il y a exactement un symbole qui apparaît sur toutes les cinq. Bon, peut-être que d'autres paramètres seraient plus sympathiques (22 cartes, chacune portant 21 symboles parmi 77, et 3 cartes quelconques ayant toujours un symbole en commun, par exemple ?), mais on voit l'idée.

Jérémie (2015-07-16T14:23:19Z)

Une question naïve : est-ce qu'il y aurait des généralisations de ce jeu en dimension supérieure (avec des objets du type espaces projectifs, grassmanniennes…) ? Où on aurait des paires d'objets communs entre deux cartes, etc. ?

Fab (2015-07-16T13:51:50Z)

« Comment trouver, le plus efficacement possible, quelles sont les deux cartes manquantes ? »

1. Les deux cartes manquantes ont un et un seul symbole en commun ; ce symbole commun manque donc 2 fois et n'est donc représenté que 6 fois au lieu de 8.
2. Les 7 autres symboles de chacune des deux carte sont tous différents : ces 14 symboles ne sont donc représentés que 7 fois au lieu de 8.

En passant en revue une fois et dans un ordre quelconque les 57 cartes, le premier ainsi que les 14 seconds sont aisément identifiables.
La fin de l'algo est laissée en exercice au lecteur (hum…)

jonas (2015-07-16T12:05:49Z)

This is not what I expected from this writeup. Sure, Dobble is a finite projective plane, and you say that this is not really a surprise.

But you already noticed that the property that's really necessary for this game is that any two cards have exactly one common symbol. The more difficult mathematical question is that if you require only that property, what other reasonable sets of cards are possible other than a finite projective plane or finite affine plane (with possibly some cards omitted). It's not easy to define what "reasonable" means, but let's take the following conditions. There should be preferably between 19 and 260 cards, there should be no symbol that appears on all or almost all cards, and no card must have too many symbols.

It is possible to relax the original condition, saying that any pair of cards must absolutely have at least one intersection, but a few pairs could have more than one intersection if this allows you to create designs significantly different from what would otherwise be possible. Clearly, just adding extra symbols randomly to a few cards won't make a better design.

One easy possibility is to take the cards forming an affine or projective plane, but then for a few of the symbols, replace the symbol with two out of three new symbols on each of the cards that have it. You can choose the two out of the three arbitrarily, independently for each card. This, however, is likely to make the card set less interesting.

Yet an other coward (2015-07-16T09:50:20Z)

J'avais imprimé des cartes sur ArtsCow (http://www.artscow.com/) et j'avais été très satisfait par la qualité de l'impression. Trois ans plus tard, la couleur des cartes imprimées est toujours bonne. Bon, les frais de ports linéaires par rapport à la quantité et non dégressifs m'avaient énervés.

Ruxor (2015-07-16T09:43:50Z)

@Eric Angelini: Ben oui, puisque deux cartes ont toujours un symbole commun, en particulier, quelle que soit la façon dont on les empile, chaque carte a un symbole commun avec la suivante…

TL (2015-07-16T09:15:03Z)

Une mini-recherche fait avancer le mystère des 55-et-non-57 cartes : le premier lien suggère que l'imprimeur autorisait 60 cartes maximum et que 5 sont consacrées aux règles ; le deuxième confirme que c'est une facilité concernant l'impression des cartes…
<URL: http://eljjdx.canalblog.com/archives/2014/07/06/30181178.html >
<URL: http://www.trictrac.net/forum/viewtopic.php?p=1432413 >

Eric Angelini (2015-07-16T08:38:28Z)

Bonjour M. Madore, pardonnez la naïveté probable de cette question -- mais existe-t-il un ordre, dans lequel empiler les 57 cartes, qui ferait qu'on puisse, de manière unique, passer d'une carte à la suivante dans la pile via un symbole commun -- et parcourir ainsi toute la pile ? Peut-être que ce chemin existe toujours, quel que soit l'ordre des cartes dans la pile ?
Amitiés,
Eric Angelini, Bruxelles.


You can post a comment using the following fields:
Name or nick (mandatory):
Web site URL (optional):
Email address (optional, will not appear):
Identifier phrase (optional, see below):
Attempt to remember the values above?
The comment itself (mandatory):

Optional message for moderator (hidden to others):

Spam protection: please enter below the following signs in reverse order: 1aaef9


Recent comments