Comments on J'essaie de recoller une surface de Riemann

François Guéritaud (2014-11-21T20:47:11Z)

Bonjour !

Sur les domaines fondamentaux polygonaux : le fait marquant, c'est que *n'importe quel* recollement des côtés d'un N-gone (en respectant les orientations, disons) donne topologiquement une surface, i.e. un objet caracterisé à homéomorphisme près par son genre (un entier) et rien d'autre. Ce genre sera au plus N/4 (cas où tous les sommets sont identifiés, par la formule d'Euler) ; mais il peut aussi être bien plus petit et même nul y compris pour N grand, s'il y a beaucoup de "simplifications" en cours de route : penser aux patrons de polyèdres. S'il n'y a aucune "simplification", le genre sera au moins N/12 + 1/2 (cas où tous les sommets après recollement deviennent trivalents ; les simplifications seraient les sommets de valence 1 ou 2).

Voici une esquisse de preuve de ce "fait marquant", qui donne aussi un algorithme pour calculer le genre. Essentiellement on recolle les paires d'arêtes une à une et on s'assure par récurrence qu'à tout instant, la surface est homéomorphe à une surface "modèle" d'un certain genre avec un certain nombre de trous (= composantes de bord). La récurrence est une disjonction de quelques cas : si on recolle deux arêtes appartenant à des bords différents, le genre augmente mais le nombre de bords diminue ; si on recolle deux arêtes appartenant au même bord, le genre est inchangé mais le nombre de bords augmente ; enfin faire un peu attention aux bords ne comptant qu'une ou deux arêtes. (Pour une surface non-orientable les cas sont un peu plus nombreux aussi.)

En conservant un peu plus d'informations à chaque recollement, le même algorithme donne aussi (à chaque étape et donc aussi à la fin) une présentation standard du groupe fondamental. En genre g et avec r composantes de bord, la présentation "standard" compte des générateurs a_1, …, a_g, b_1, …, b_g, c_1, …, c_r et une seule relation [a_1, b_1]…[a_g,b_g]=c_1…c_r. Il faut considérer que ces lacets a_i, b_i, c_i font partie de la donnée de la surface "modèle", et faire une petite manipulation lors de chaque recollement pour bien retomber sur le nouveau modèle. (Ça recoupe un peu ce que raconte Groug, mais c'est un algorithme explicite).

Cependant il faut bien avoir à l'esprit que ce système de générateurs est très non-unique (il n'y a pas d'"anses" bien définies ni de "lacets fondamentaux", pas plus qu'un réseau de R^n n'a de générateurs canoniques). Le "mapping class group" de la surface (tel SL_n(Z) pour les réseaux) agit sur les systèmes de générateurs ; c'est un groupe infini, compliqué et riche (et très beau). On peut le voir comme le groupe des automorphismes extérieurs du groupe fondamental, ou encore comme le groupe des classes d'isotopie d'homéomorphismes de la surface dans elle-meme. Ses éléments non-triviaux les plus simples à décrire sont les "twists de Dehn".

Bon, j'ai aussi des choses à raconter sur les réalisations algébriques etc mais ça fait déjà long -- je t'écris séparément.

Groug (2014-11-21T11:04:57Z)

Pour voir que c'est bien de genre 4, on peut en effet travailler sur le groupe fondamental. Ici, il n'est pas très dur d'en donner une présentation. On a bien comme tu l'expliques 17 générateurs, donnés par les 17 couleurs. Au lieu de les appeler noir-bicolore, bleu, vert, cyan etc., je vais les noter a, b, … , q par ordre d'apparition dans la suite d'instruction (la deuxième apparition correspondant alors à l'inverse du générateur). Pour être plus clair, a est le lacet qui part du centre du polygone, traverse la première arête noir-bicolore, rentre par la deuxième et retourne au centre; évidemment a^(-1) est le même lacet dans l'autre sens. Maintenant dans ta figure les 34 "sommets" du polygone (c'est-à-dire uniquement les jonctions d'arêtes de couleurs différentes) se recollent en 10 points différents ; ce n'est pas très dur à voir, il suffit de faire le tour de chaque sommet. Et justement, quand on fait le tour d'un sommet on obtient un lacet trivial, et on obtient une relation dans le groupe fondamental en regardant quelles arêtes on a traversé. Ça te donne ta présentation. Le groupe fondamental de la surface est donc engendré par les 17 générateurs a,b,… soumis aux 10 relations suivantes :
- anp^-1q=1
- bh^-1ia^-1=1
- cmb^-1=1
- dl^-1c^-1=1
- ei^-1jd^-1=1
- fm^-1e^-1=1
- gpf^-1=1
- ho^-1g^-1=1
- kq^-1j^-1=1
- ln^-1ok^-1=1
Maintenant on voudrait montrer que cette présentation est équivalente à la présentation standard du groupe fondamental d'une surface de genre 4. Évidemment, il est bien connu que le problème de l'équivalence de deux présentations est indécidable en théorie, mais ça ne veut pas dire qu'en pratique on n'y arrive pas (ce n'est pas pour rien que toutes les tentatives de faire de la crypto avec ça se sont cassé la figure). Ici, on peut facilement utiliser les relations pour exprimer certains générateurs en fonction des autres, par exemple a=q^-1pn^-1, b=ai^-1h=q^-1pn^-1i^-1h, etc.
Si on fait ça, on peut éliminer utiliser 9 relations pour éliminer par exemple a,b,c,d,e,f,g,j,k, et on n'a plus que les 8 "lacets fondamentaux" h,i,l,m,n,o,p,q. La 10ème relation de tout à l'heure donne entre ces 8 générateurs la relation suivante
np^-1qho^-1pm^-1i^-1ln^-1oq^-1l^-1mh^-1i=1.

Zut, ce n'est pas la relation attendue (un produit de commutateurs), même si ça y ressemble (un mot de longueur 16 où chaque générateur apparaît une fois avec son inverse). Il faudrait encore faire joujou et changer de générateurs pour tomber sur la presentation standard, mais là j'ai la flemme.

Sinon, méthode 2: on découpe ta surface le long de courbes pour obtenir des morceaux plus simples. Par définition, le genre c'est le nombre maximum de courbes ne s'intersectant pas pouvant être tracées à l'intérieur de cette surface sans la déconnecter, mais c'est pas très maniable parce qu'une fois qu'on a trouver 4 courbes comme ça (par exemple a, i, n et bf^-1) il faut montrer que toute autre courbe sépare. On peut plutôt chercher une décomposition en pantalons : pour une surface de genre 4 on doit en trouver 6. Il suffit donc de trouver 6*3/2=9 courbes non-homotopes ne s'intersectant pas et vérifier la topologie des morceaux (ce qui n'est pas si trivial). Mais là aussi j'ai la flemme.

Bob (2014-11-19T11:24:00Z)

Super article qui donne envie de creuser le sujet !

Pour les lecteurs fainéants, est-ce qu'il y aura d'autres indications quant à la construction de ces 30 cellules ?

Ruxor (2014-11-18T13:30:22Z)

@Fred le marin: Cette métrique est celle du plan hyperbolique vu comme le demi-plan supérieur (demi-plan de Poincaré), x et y étant les coordonnées du plan (et le demi-plan défini par y>0). Pour le modèle du disque de Poincaré, la métrique s'écrit différemment (<URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_disk_model#Metric >). Les deux sont équivalentes (« isométriques »), ensuite tout revient à décider ce qu'on appelle « plan hyperbolique » pour commencer, et comment on le définit…

Et oui, pour une variété riemannienne, la métrique doit varier non seulement continûment mais même différentiablement (typiquement, de façon C^∞) avec le point, donc avec les coordonnées du point là où un système de coordonnées est valable.

Et oui, il y a un rapport entre l'arithmétique des surfaces de Riemann et les dessins d'enfant à la Grothendieck.

Fred le marin (2014-11-18T06:42:45Z)

J'ai retenu que la métrique pour le plan hyperbolique était:
ds²=(1/y²)(dx²+dy²).
D'où vient cette formule ?
La métrique doit-elle nécessairement évoluer continûment sur la variété ?
Voir aussi la page : dessins d'enfant.


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