Comments on Un petit exercice d'Analyse (moyenner une fonction)

RRt (2014-11-17T12:42:01Z)

Je ne sais pas si tu es encore intéressé par la question, mais il me semble que j'ai le "contexte plus éclairant" que tu cherches.

En fait, tu veux montrer que ʃfdμ_n^x converge vers ʃfdμ uniformément en x, où μ est la mesure de Lebesgue, et μ_n^x est la mesure uniforme sur {x+k/n, 0<=k<n}.

Il se trouve que, pour la topologie étroite sur l'ensemble des mesures de probabilités,
- μ_n^x converge vers μ uniformément en x.
- pour une fonction f mesurable bornée, la fonction ν -> ʃfdν est continue en ν_0 si f est continue ν_0 presque partout.

Par conséquent, pour f Riemann intégrable (c'est à dire bornée et continue μ presque partout), on a convergence uniforme de ʃfdμ_n^x vers ʃfdμ.

Pour l'absence de convergence en norme L^p, cela peut se comprendre par le fait que l'application de convolution (f,ν)->f*ν est bilinéaire continue si L^p est muni de sa norme habituelle et que l'espace des mesures finies est muni de la norme en variation totale. On aurait donc convergence dans L^p de f*μ_n^0 vers f*μ si μ_n^0 convergeait en variation totale vers μ, ce qui n'est pas le cas.

philippe (2014-10-28T10:39:59Z)

Si tu cherches un cadre plus général pour expliquer l'exemple que tu as étudié voici deux pistes :

1) si on a 2 espaces de Banach E et F on a une structure d'espace de Banach sur L(E,F) associé à la norme d'opérateur , mais il existe aussi une topologie dites "fortes" sur L(E,F), la convergence "forte" d'une suite d'applications T_n est définie par T_n(x) tend vers T(x) pour tout x dans E. C'est ce type de convergence qu'on a ici pour la suite d'opérateurs M_N

2) sinon cherche du coté du Théorème de Banach-Steinhaus qui dit que une suite d'applications entre 2 espaces de Banach "simplement bornée" est aussi "uniformément bornée" :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Banach-Steinhaus

Je ne sais pas si ça répond vraiment à ta question.

Ruxor (2014-10-27T11:54:26Z)

@Nick: Avec les notations que j'ai introduites, ℳ_N − ℳ_∞ est une application linéaire qui à une fonction f de L² associe la différence entre sa moyenne finie ℳ_N(f) et son intégrale ℳ_∞(f). Cette application est de norme 1 quel que soit N : si f est la fonction x ↦ exp(2·i·π·N·x), alors ℳ_N(f) = f et ℳ_∞(f) = 0, donc la norme L²→L² de ℳ_N − ℳ_∞ ne peut pas être moins que 1 (et c'est facile de voir que ce n'est pas plus non plus). Du coup, ℳ_N − ℳ_∞ ne tend pas vers 0 au sens où sa norme L²→L² ne tend pas vers zéro. Si on préfère, ℳ_N(f) tend vers ℳ_∞(f) mais pas uniformément pour f parcourant la boule unité de L². Au niveau des coefficients de Fourier, ils tendent vers 0 mais pas uniformément en la suite (parcourant la boule unité de ℓ²).

Nick (2014-10-27T10:02:15Z)

Tu veux dire l'opération par convolution? (L2-> L2, g associe g*(M_N-M_infini))

Pourtant, cet opérateur, est une multiplication des coefficients de Fourier de g par ceux de M_N-M_infini et sa norme est la norme l^infini des coeffs de Fourier de M_N-M_infini. Cette norme l^infini tend bien vers zéro. (il suffit de prendre N assez grand pour que le tous les coefficients de f à partir du Nieme soient plus petits que epsilon (une fonction L2(0,1) ou L1 ayant toujours ses coeffs de Fourier tendant vers 0 à l'infini).

Ruxor (2014-10-27T09:40:29Z)

@Nick: Je veux dire que la norme d'opérateur (disons, L²→L²) de ℳ_N − ℳ_∞ ne tend pas vers zéro, bien que pour toute fonction f (disons, L²) à laquelle on puisse l'appliquer ça tende vers 0 (dans L²).

Nick (2014-10-27T08:37:22Z)

Je ne comprends pas la phrase:

<<
On pourra aussi montrer que ℳN ne tend pas vers ℳ∞ en tant qu'opérateur (i.e., pour la norme).
>>

Camille (2014-10-24T21:17:39Z)

Tu as aussi le résultat suivant. Soit (X,T) un système dynamique uniquement ergodique. Notons m l'unique mesure invariante. Si f de X dans R est mesurable, bornée et que l'ensemble des points de discontinuité est négligeable alors on a convergence uniforme des moyennes ergodique vers la moyenne de f.

Tu raisonnes en encadrant ta fonction par deux fonctions continues qui sont proches dans L^1 ?

Fred le marin (2014-10-24T18:30:52Z)

J'essaye de résoudre cet exercice *de tête* mais n'y arrive absolument pas.
Je continuerai cependant.
C'est intéressant de voir comment le travail d'écritures en maths apporte et fixe la lumière.
Je pense qu'il y aurait beaucoup à dire là-dessus (+ dualités esprit/matière et cerveau gauche/droit, [cf. Alain Connes]).
Cette histoire de polynôme inutilisable [et d'autres choses] m'ont évoqué (à nouveau) les grandes misères du Monde.
Ah, quel manque de pot pour l'humain !

Vous vous souvenez à présent : celles contre lesquelles nous devons tous lutter.
"We are fools to make war on our brothers in arms…"


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