Comments on L'étrange multiplication du bidual

Ruxor (2014-02-05T09:32:01Z)

@Nick: Ah oui, tu as raison. Je me disais bien que c'étaient surtout les propriétés de ξ qui avaient l'air de servir. :-)

Nick (2014-02-05T08:49:55Z)

Excuse-moi si je me trompe mais je crois que ξ•η= ξ (pour des limites de Banach)

Si u est bornée et ξ et η des limites de Banach, alors
i ↦ u(i+j) n'est qu'une translation de u, donc ξ(i ↦ u(i+j)) vaut ξ(u).
donc la suite j ↦ ξ(i ↦ u(i+j)) est la suite constante (et de limite) ξ(u).
donc (ξ•η)(u) = ξ(u). Enfin, ξ•η= ξ

Ainsi la non commutativité serait du au fait que les limites de Banach sont absorbantes.

Ruxor (2014-02-04T13:39:32Z)

@Nick: En supposant que tu parles bien entendu du dual topologique (alors que dans mon post, a priori, je parlais d'un dual purement algébrique, mais bon, la multiplication marche aussi dans le contexte topologique), le dual de ℓ¹ est ℓ^∞ ; le dual de celui-ci (donc le bidual de ℓ¹) est l'ensemble des mesures des mesures boréliennes signées sur βℕ (compactifié de Stone-Čech des entiers naturels) ; et la multiplication dont je parle sur ce bidual, qui peut être définie par (ξ•η)(u) = η(j ↦ ξ(i ↦ u(i+j))) où u ∈ ℓ^∞, est bien une opération de convolution entre ces mesures, qui étend à la fois la convolution (commutative) sur ℓ¹ et aussi l'addition (non-commutative) sur βℕ (en identifiant un ultrafiltre sur ℕ avec la mesure de Dirac sur cet ultrafiltre, i.e., la forme linéaire « limite selon cet ultrafiltre », qui est un cas particulier d'une limite de Banach). Si ξ et η sont des limites de Banach, alors ξ•η en est aussi une (si je regarde les différentes propriétés de <URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Banach_limit > et que j'applique la formule (ξ•η)(u) = η(j ↦ ξ(i ↦ u(i+j))), elles se démontrent assez facilement à partir des mêmes propriétés pour ξ et η, enfin, surtout ξ, en fait), mais en général elle est différente de η•ξ.

Nick (2014-02-04T11:40:04Z)

Ça y est! Je me suis foulé le cerveau.

Si A est l^1(Z) (les suites sommables sue Z) muni de la convolution (comme produit). C'est quoi le produit sur le bidual de l^1? Une extension non commutative de la convolution sur le bidual? C'est quoi la convolution de deux limites de Banach?

Fred le marin (2014-01-31T18:27:32Z)

Est-ce qu'avec tout cela l'on pourrait construire des sortes de généralisations de tenseurs ?
(et dont il découlerait que leurs produits seraient… non-commutatifs)
This is sneaky. Et je taquine.


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