Comments on Un labyrinthe hyperbolique, et une nouvelle vidéo

Conscrit neuneu (2013-12-07T10:16:58Z)

En fait, pour Buenos Aires – Shanghai, c'est mort de toutes façons, la distance (~19500 km) dépasse la portée des avions de ligne actuels.

Ruxor (2013-12-03T02:30:23Z)

@Groug: J'ai ajouté le modèle de Beltrami-Klein, cf. l'entrée suivante (et je suis d'accord avec tes remarques : normalement je trouve cette projection plus agréable, ce qui est sans doute logique pour un géomètre algébriste, mais je l'avais écartée parce qu'on n'y voit rien).

Pour ce qui est des coordonnées, si on garde l'image de trois points ou quelque chose d'équivalent (la matrice représentant un élément de PSL(2,ℝ) normalisé d'une manière ou d'une autre), on a un gros problème de stabilité numérique : dès qu'on va commencer à s'écarter un peu de l'origine, tout va se jouer dans un domaine très petit, donc ce n'est pas informatiquement utilisable. Il faut, d'une manière ou d'une autre, discrétiser les choses, donc utiliser un groupe discret, fini (ce que j'ai fait) ou infini (mais c'est plus pénible, surtout s'il faut générer un labyrinthe).

Pour le fait d'avoir un petit quotient, en fait, je me suis dit que ça revient à trouver un groupe engendré par des involutions dont les produits 2 à 2 aient ordre 2, 4 et 5 (i.e., un quotient du groupe de Coxeter que je considère, avec la condition supplémentaire que les ordres de ces éléments sont bien ceux dans le groupe de Coxeter, ce qui interdit les points fixes). Mais il faut encore que je m'éclaircisse les idées sur le rapport entre ces différents points de vue. (Le livre de Silvio Levy, "The Eightfold Way" a l'air très intéressant pour ça, mais je n'ai pas eu le temps de m'y plonger.)

Groug (2013-12-02T21:46:24Z)

C'est pas trop dur de trouver un Γ tel que Δ⁰/Γ soit le plus petit possible. Ca revient à chercher une surface hyperbolique la plus petite possible que l'on peut paver avec le triangle fondamental d'angles π/2, π/4 et π/5. Mais ce triangle est d'aire π-(π/2+π/4+π/5) = π/20, et d'après Gauss-Bonnet l'aire d'une surface hyperbolique (orientable) est un multiple de 4π (en fait 2π*(2g-2), ou -2π fois la caractéristique d'Euler). Le mieux qu'on puisse faire c'est donc d'utiliser 80 de ces triangles, soit 10 cellules de ton pavage carré, pour former une surface de genre 2. C'est possible: si on appelle R la rotation d'angle π/2 par rapport au centre O d'un des carrés et T la "translation" d'un carré d'axe passant par O (je ne suis pas sûr que ça soit ce que tu aies pris), on peut prendre par exemple le groupe Γ engendré par R^(-1)T^(-3), TR^(-1)T^2RT^(-1), R^(-1)T^3, et T^(-1)R^(-1)T^(-2)RT.
On doit pouvoir trouver plus petit si on considère une surface non-orientable, de caractéristique d'Euler -1, donc d'aire 2π et pavée par 40 triangles ou 5 carrés.

Groug (2013-12-02T09:09:42Z)

- Pour le labyrinthe, ce qui t'intéresse c'est pas tellement des coordonnées sur H^2 mais plutôt sur son fibré tangent unitaire (i.e. savoir non seulement où on est, mais aussi dans quelle direction on regarde). La façon habituelle de paramétrer ça, c'est avec trois points du "bord à l'infini" : les deux premiers points à l'infini te définissent une géodésique, et il y a une unique géodésique perpendiculaire à celle-ci qui "passe" par le troisième point à l'infini. Le couple (point, direction) recherché correspond à l'intersection des deux géodésiques et à la direction donnée par le premier point à l'infini. Après, je ne sais pas si c'est vraiment approprié pour une manipulation informatique.
- Je radote (c'est un de mes dadas préférés) mais je trouve qu'on visualise beaucoup mieux l'espace hyperbolique dans le modèle de (Beltrami-)Klein : les "droites" restent des droites, nos yeux qui sont habitués à la perspective euclidienne perçoivent bien le cercle à l'infini comme une ligne de fuite, et c'est ce qu'on verrait effectivement si on regardait un plan hyperbolique depuis un point de l'espace hyperbolique. Par contre ça écrase tout encore plus rapidement sur le bord à l'infini, c'est pas forcément génial pour ton labyrinthe (déjà qu'on voit à peine ce qu'il y a quatre cases plus loin…)
- Je ne m'y connais pas trop, mais j'ai l'impression que tu es en train de redécouvrir la théorie des surface hyperboliques arithmétiques. A creuser.

Benoit Jacob (2013-12-02T03:13:58Z)

À y repenser… ce serait dommage de ne /pas/ en profiter pour en faire une version 3D avec WebGL, façon doom psychédélique ;-)

Benoit Jacob (2013-11-30T22:23:11Z)

Bravo! J'ai trouvé ça très intéressant (le labyrinthe hyperbolique en JS)! Je montre ça à mes collègues à Mozilla!

avs (2013-11-30T16:55:15Z)

C'est vachement bien le labyrinthe. Pour les projections de la terre j'aurais assé moins de temps sur chaque projections, là c'est un peu chiant

Serma (2013-11-30T09:22:50Z)


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