Comments on C'est compliqué d'enseigner Fourier

cossaw (2014-01-10T19:10:39Z)

Moi qui suit justement plus analyste, je peux dire que j'ai vu évoluer la façon de présenter la TF et d'autres champs de façon bien étrange. Bien sûr, c'est lié au statut d'école d'ingé, mais je reste un peu désolé de voir disparaître que toute la TRES joie théorie de la mesure sous-jacente au calcul intégral de Lebesgue (par opposition à la topologie utilisée pour celui de Riemann).
C'est d'ailleurs aussi très valable pour ceux qui vont l'utiliser en physique ou en … maths financières. Dans mon propre domaine, je me surprends à oublier des "presque partout" à longueur de page (ou des "presque sûrement" quand il s'agit de processus stochastiques).
L'ennui fondamental, outre tout ce que tu rappelles à juste titre (y compris le commentaire "2013-10-25T19:54:05+0200") réside que nous enseignons ces opérateurs dans un but qui n'est pas conditionné par les hypothèses mathématiques. Les affreux physiciens et pire les méchants ingénieurs qui travaillent encore en R&D utilisent souvent des résultats (faux) pour prouver des calculs (à peu près) justes…
L'exemple basique est celui d'une fonction intégrable au sens de Riemann sur R doté de sa topologie métrique et sommable au sens de Lebesgue sur R doté de sa mesure de Borel, alors les deux intégrales sont égales. Quid d'une intégrale dite généralisée comme celle du sinus cardinal ? l'intégrale de Riemann est dite convergente alors que la somme de Lebesgue n'est pas définie…
Autre exemple, utile de simplicité : la caractéristique de Q est sommable au sens de Lebesgue (et de somme nulle car nulle presque partout) alors que la même fonction n'a droit qu'à une intégrale généralisée dont il est très difficile pour un étudiant lambda de montrer qu'elle converge vers 0 (question que j'ai eue à l'oral à Centrale…)

Grant (2013-11-07T23:05:01Z)

J'ai voulu aller voir sur ta page web pro si tu avais un poly de ce cours, mais est-ce que tu le mets à jour ? La dernière publication date de 2003 (dix ans !).

Vicnent (2013-11-05T15:06:19Z)

"La plupart de ces élèves, comme tous les autres "ingénieurs", vont" : mais le cours s'adresse à TOUS les ingénieurs non ? Effectivement, certains deviendront des Chefs/Dir de projets ou des managers au sens large mais une partie deviendra des techniciens et il est important qu'ils aient vu ce cadre de Fourier pour avoir les bases culturelles mathématiques et l'approfondir ensuite (quand ils reconnaitront que tel problème correspond à telle modélisation et que pour telle modélisation, c'est tel outil.)

Vicnent (2013-11-05T15:02:46Z)

avec (1+i)/√2 = √i

fakbill (2013-10-29T20:26:11Z)

Forrest : conception douteuse du mgt que la tienne. Faire travailler des gens ensemble au mieux est un art délicat. IL y a tellement de grands projets techniques qui attendent de trouver un vrai bon leader qui comprend les bases de la technique. Comprendre les bases nécessitent d'avoir beaucoup de recul. Un bon manager sera accepté rapidement par son équipe mais qu'il fasse une erreur s'en est fini à jamais de sa crédibilité….bref on est loin de "word/powerpoint".
C'est comme de dire que la musique c'est juste de l'encre sur une feuille…

Forrest (2013-10-29T11:19:50Z)

La plupart de ces élèves, comme tous les autres "ingénieurs", vont assez rapidement bifurquer vers ce quoi les système les oblige : de la gestion de projet (Excel), de la gestion d'équipe (Powerpoint), du management (Word). Enfin s'ils ne veulent pas mourir de faim.
Les plus malins/corrompus iront faire de la finance, pensant tirer leur épingle du jeu et solidifiant un peu plus ce grand sabotage.
Alors Fourier…
Mais grâce à vous, Monsieur Madore, ils l'auront vu une fois, ce qui n'est déjà pas mal.

FX (2013-10-29T09:05:21Z)

@Ruxor oui, enfin, un navigateur qui prétendrait supporter MathML mais ne serait pas capable de l'afficher parce qu'il n'a pas les polices nécessaires, c'est vraiment de la sophisterie.

Moi, j'utilise mon navigateur sur un système sans polices supplémentaires installées, et je dis : il n'est pas capable d'afficher ton MathML.

Name (2013-10-28T16:38:45Z)

Une potentielle source d'inspiration ?

<URL: http://cedricvillani.org/wp-content/uploads/2013/03/IAF.pdf >

Ruxor (2013-10-28T14:17:05Z)

@FX: Ça c'est plutôt un problème de police qu'un problème de navigateur : apparemment les caractères censément invisibles que sont U+2061 FUNCTION APPLICATION et U+2062 INVISIBLE TIMES apparaissent comme un carré entourant un f() et un × respectivement. (En un certain sens, ce rendu est correct, il montre bien ce qui est dans le MathML que j'ai tapé, mais évidemment ce n'est pas la notation mathématique standard.) Je suppose que beaucoup de MathML produit automatiquement (par exemple à partir d'un source LaTeX) ne contient pas ces caractères invisibles (ne serait-ce que parce qu'il n'y a pas de moyen de deviner automatiquement si fx dans un source LaTeX désigne f appliqué à x ou f multiplié par x) donc cette bizarrerie est passée inaperçue.

FX (2013-10-28T13:17:12Z)

@Bellon Safari 7.0 (on fait difficilement plus à jour) affiche mal the MathML de David : https://dl.dropboxusercontent.com/u/52398724/Safari_mathML.png

Bellon (2013-10-27T14:27:17Z)

Quelles sont ces remarques désagréables sur Safari ? La version que j'emploie (6.0.5) affiche très bien le MathML. C'est vrai que la précédente version n'en était pas capable.

xavier (2013-10-26T08:55:08Z)

@Ruxor : oui ce n'est pas du tout contre toi mais donc "cette idiotie de cours de maths qu'on fait un 1A dans tous les écoles généralistes".

Tu as raison, ce serait beaucoup plus malin de leur montrer un peu les corps finis plutôt que de passer autant de temps sur Fourier "analogique" (qui est très subtil comme tu le fais remarquer….beaucoup trop subtil dans ce contexte).

Le pire était que, souvent, la présentation de la FFT est ensuite baclée.

Ruxor (2013-10-25T23:47:25Z)

@xavier: Peut-être, mais moi on me demande de faire un cours d'Analyse, et de toute façon ce n'est pas moi qui en ai décidé le contenu, ce sont des gens qui, justement, font du traitement du signal et des choses comme ça. Si c'était moi qui faisais les programmes, d'ailleurs, on ferait moins d'Analyse et on apprendrait ce qu'est un corps fini pendant le temps gagné.

@FX: Oui, c'est ironique, et c'est surtout pour me moquer de ces navigateurs censément respectueux des standards et qui ne sont toujours pas foutus d'implémenter un standard vieux de 15 ans alors qu'ils ont quasiment le code pour. C'est particulièrement pathétique de la part de Chrome vu qu'il a su lire le MathML assez récemment, et ils l'ont retiré(!).

xavier (2013-10-25T19:51:46Z)

Bah si on parle de signal alors toute fonction est une fonction numérique donc ces "détails" n'ont aucun intéret pour l'immense majorité des ingé.
Ce qu'il faut qu'il comprennent, c'est *Shannon*, le théorème d'échantillonnage et la FFT.
J'ai horreur des papiers, par exemple en traitement d'image, qui se masturbent pendant des lignes pour savoir si telle ou telle fonction est C2 ou C3. On s'en fout, c'est une image.

FX (2013-10-25T19:49:59Z)

Heu, en ce qui concerne « ces vieux navigateurs qui ne comprennent pas le MathML », j'espère que c'était ironique, parce qu'à part Firefox et Opéra, MathML n'est pas supporté, même par des navigateurs plutôt récents et plutôt respectueux des standards en général (Chrome et Safari).

Ruxor (2013-10-25T17:54:05Z)

Tout le monde n'est pas d'accord avec le but de l'Analyse en général ou de Fourier en particulier. S'il s'agit de résoudre des EDP, sans doute que les distributions sont le bon cadre ; mais si le but est de faire du traitement du signal, il semble que L² soit le cadre idoine. Moi je suis agnostique sur la question. De toute façon, ce n'est pas moi qui ai défini le cadre de ce cours, ce sont des collègues qui ont fait ça.

On pourrait effectivement définir une intégrale généralisée de la façon suivante : si f est une fonction réelle localement intégrable et à croissance modérée (ou une distribution tempérée) et que la transformée de Fourier de f, vue comme distribution, coïncide au voisinage de 0 avec une fonction continue, alors la valeur en 0 de cette fonction mérite de s'appeler « intégrale [de Fourier-Lebesgue ?] de f ». Avec cette définition généralisée de l'intégrale, toute fonction intégrable au sens de Lebesgue (=L¹) admet une intégrale, mais il en existe d'autres, par exemple exp(i·⁢π·x²) dont l'intégrale vaut (1+i)/√2. Il existe manifestement un lien entre cette intégrabilité généralisée (« Fourier-Lebesgue ») et la notion obtenue plus naïvement en faisant tendre vers l'infini les bornes de l'intégrale de Lebesgue sur un segment : mais le rapport exact ne m'est pas évident.

Couard Anonyme (2013-10-25T13:05:07Z)

Je suis d'accord pour dire que ce qui compte vraiment c'est l'espace de Schwartz et les distributions tempérées, pour pouvoir passer ensuite à la résolution des EDPs.

Cela dit, j'ai toujours eu une question que je n'ai jamais osé poser : si on a défini les distributions par intégration Lebesgue sur L1 puis on a prolongé par continuité sur L2, n'est-ce pas quelque part que notre notion d’intégrale n'est pas assez "puissante" ?

Nicolas Couchoud (2013-10-25T09:02:35Z)

S'agissant d'un cours pour de futurs ingénieurs et pas pour de futurs mathématiciens, à un moment il faut se demander ce qui va vraiment leur servir.

Au fond, ce qui sert, c'est plutôt la transformée de Fourier au sens des distributions, et « ce qui se passe pour un ξ ou un autre » n'a guère d'importance, n'est-ce pas ? Dans ces conditions, est-ce qu'il ne faudrait pas se limiter, pour la transformée au sens des fonctions, à l'espace de Schwartz, et passer le plus vite possible aux distributions ?

Clément (2013-10-25T01:54:07Z)

Je pense que le mieux est de commencer sur l'espace de Schwartz (là, on n'a pas de problème). Après, on étend par densité (on définit et utilise L^2 comme la complétion par rapport à la norme L^2), et on évite de discuter de la question L^1 et des intégrales de Riemann impropres.

C'est plutôt rare qu'on utilise le théorème de Carleson en pratique, donc je crois pas qu'il vaille la peine de l'énoncer (l'évoquer est toujours intéressant).

xavier (2013-10-23T18:35:57Z)

Il faudrait déjà savoir ce qu'on veut que ces braves 1A en retiennent.

Fred le marin (2013-10-23T17:39:40Z)

"Le Seigneur est subtil, mais il n'est pas trompeur."

Intégrer sur la droite réelle complète, c'est quand même ambitieux : l'on risque de louper un chouïa au-delà d'un grand entier (comme l'un de ceux potentiellement obtenus avec la fonction d'Ackermann-Péter).
Alors si en plus l'expression sommatoire converge…
En effet, quel esprit assez vif remarquerait la (subtile) différence ?
Là réside tout le talent du Physicien par rapport aux Matheux-puristes-minimalistes : allez zou ! on approxime allègrement.
Est-ce si mal au demeurant ? (de ne pas couper les cheveux en 2^1024…)
D'autant plus qu'en maths, on ne sait pas si ce qu'on dit est vrai
(arf, ce dernier passage est d'une intolérable cruauté).

"Idéal, Toi seul existe !" (V.HUGO, "Les Misérables")


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