Comments on Petite devinette mathématique : un damier irrégulier

Grasyop (2013-02-07T18:22:18Z)

Bonjour. Un damier dont les diagonales ascendantes sont régulières a-t-il nécessairement aussi des diagonales descendantes régulières ?

C’est bien sûr le cas du damier 12×12 puisque ses polynômes ont des coefficients symétriques, mais je ne vois a priori pas pourquoi ce serait toujours le cas, et il me semble que les damiers comptés dans les deux suites proposées à la fin peuvent avoir des diagonales descendantes irrégulières. Non ?

frankie (2012-11-01T09:08:04Z)

Je reprends une hypothèse précédente :

"Et probablement pas de taille supérieure (je n'ai pas établi la preuve, mais, à mon avis, elle doit fonctionner par récurrence selon les mêmes lignes); dans quel cas on aurait montré que tout damier est "stérile" (sans descendant). Et donc tout damier serait exceptionnel."

Je la corrige grâce à tout bien tout honneur, à savoir Bruce Willis (??!).
Dans son dernier film, il travaille pour la mafia et se retrouve dans le passé. Il y rencontre plus méchant que lui -si c'est possible- : c'est lui plus jeune. Il prononce alors cette phrase mémorable : "Y'a pas le choix ! Il faut que je m'abatte !", pleine de bon sens contradictoire (un oxymoron, ou oxymore -"occis/more" pour Bruce-).
Et de fait, toute puissance d'un damier admissible est à son tour admissible, ayant pour dimension sa puissance, mais conservant le même facteur de forme. Autrement dit, ma nouvelle conjecture serait que tout damier serait stérile, mais… "clonable" !

Nick (2012-10-31T19:26:28Z)

Par ailleurs, je te trouve bien dur avec toi-même : le choix de couleurs est plus gay que lamentable, non ?

frankie (2012-10-31T17:36:54Z)

Ta réponse ne m'étonne pas.
L'obtention de nombres intéressants découle de deux étapes. Dans la première, on se donne trop de données (de paramètres, si l'on préfère). Dans la deuxième, on les élimine consciencieusement. Ce procédé n'a d'équivalent naturel que dans la taille du bonsaï : il faut tailler régulièrement, et même sauvagement, mais point trop n'en faut.
Plus sérieusement, je pense qu'on peut attribuer un facteur de forme à chaque damier. On normalise a0 et b0 à 1. Le damier aura comme aire totale m^2 (et non plus 1). Par contre, les deux côtés du rectangle (qui remplace alors le carré initial) n'auront plus de longueur prédéfinie. Le facteur de forme sera alors choisi parmi ces deux longueurs (par exemple, la plus grande, c'est à dire… la longueur du rectangle), divisée par m évidemment. Ou bien, le rapport entre longueur et largeur du triangle, qui dans l'exemple détaillé donne environ 0.10367:0.06699…
Avec cette normalisation -qui n'a guère d'intérêt pour simplement définir le facteur de forme-, on peut montrer facilement qu'un damier irrégulier de taille m n'engendre pas de damier admissible de taille m+1.
Et probablement pas de taille supérieure (je n'ai pas établi la preuve, mais, à mon avis, elle doit fonctionner par récurrence selon les mêmes lignes); dans quel cas on aurait montré que tout damier est "stérile" (sans descendant). Et donc tout damier serait exceptionnel.

Ruxor (2012-10-31T11:13:31Z)

@frankie: Les diagonales cycliques, c'est ce qu'on compris/considéré les commentaires de freak et de Camille : c'est sans doute plus naturel, en effet, mais il y a trop de solutions, parce que n'importe quelle division régulière des lignes _ou_ des colonnes donnera des diagonales cycliques régulières.

frankie (2012-10-31T08:46:56Z)

Quelques petits commentaires… Mais je m'en limiterai pour l'instant à deux très simples.
a) Un problème moins contraignant serait de considérer les diagonales sur un tore. Autrement dit de prendre une fonction caractéristique modulo m.
b) Si l'on prend le terme "damier" au sens propre, il faudrait alterner les cases blanches et noires, autrement dit les faces d'aires positives et celles d'aires négatives. Ce qui revient à prendre comme fonction caractéristique régulière celle en puissance de x à coefficients alternés (+1 et -1), et en définitive à factoriser cette première par (1-x), par quoi on est ramené à un problème très proche du précédent.

ln (2012-10-30T13:43:50Z)

Pour celles et ceux qui aiment les gadgets, les dés de Sicherman mentionnés ci-dessous sont vendus en ligne.

<URL: http://www.grand-illusions.com/acatalog/Sicherman_Dice.html >

Ruxor (2012-10-30T07:55:00Z)

@Fab: Tu veux faire un nombre aléatoire uniforme entre 0 et 3, tu prends deux dés à 4 faces dont l'un tombe sur 0 et 2 avec proba ½ (et jamais sur 1 ou 3) et l'autre sur 0 et 1 avec proba ½ (et jamais sur 2 et 3). En fait l'objection c'est surtout que tu veux que tes dés aient la moitié du nombre de faces du nombre total réalisé, pas le nombre total, OK.

Fab (2012-10-29T20:22:25Z)

@Ruxor: oui mais ma question portait plutôt sur le choix des lois de distribution des variable aléatoires X et Y (pouvant prendre les valeurs 0 à m-1, admettons) de sorte que X+Y soit uniformément distribuée. Pour mX+Y, c'est certes plus naturel, mais moins intéressant (car évident).
Sinon je ne comprends pas « Si on autorise des probas nulles » :)

xavier (2012-10-29T19:14:04Z)

Une raison profonde au fait que 10 et 12 soient particuliers dans ce problème?

Nick (2012-10-29T18:33:23Z)

En fait, tu as sans doute raison sur la naturalité du bouzin, mais pour moi l'OEIS est surtout un outil pour que quelqu'un qui tombe sur une suite d'entiers se rende compte qu'elle apparaît déjà dans un autre contexte.

Et autant quelqu'un qui tombe sur a(n) dans un contexte tout autre pensera peut-être à entrer b(n) dans l'OEIS, autant l'inverse n'a aucune chance d'être vrai.

Mais je me fais sans doute une image trop romantique de l'OEIS.

Ruxor (2012-10-29T18:15:52Z)

@freak: Mais là tu parles des diagonales cycliques (cf. les deux commentaires de Camille) alors que j'ai demandé la régularité des diagonales de bord en bord (non-cycliques, quoi), ce qui est une contrainte strictement plus forte.

@Fab: Si on autorise des probas nulles, il y a notamment comme solution évidente et naturelle, pour fabriquer la distribution uniforme sur 0…m²−1, d'avoir un dé qui tire uniquement des multiples de m et un autre qui tire des nombres entre 0 et m−1 — et c'est d'ailleurs en pratique ce que font les rôlistes pour tirer un dé à 100 faces (deux dés 10).

@Nick: Je trouve que a(n) est plus naturel que b(n) mais je suis d'accord que c'est discutable.

Nick (2012-10-29T16:28:43Z)

Puisque ta suite est de la forme a(n) = 2 b(n) +1, où b(n) est le nombre de façons non équivalentes de produire des dés pipés dont la somme n'est pas pipée, pourquoi ne pas plutôt soumettre b(n) à l'OEIS ?

Par ailleurs, j'imagine que tu le sais déjà, mais le cas n=6 est le problème 7B de l'excellent “Problems for mathematicians, young and old” de Halmos.

Après, on peut aussi jouer avec de plus grandes valeurs de 2…

Fab (2012-10-29T15:11:22Z)

Très joli résultat ! (J'apprécie d'autant que j'ai compris la preuve…)
Du coup j'ai une question : que se passe-t-il si au lieu de chercher à obtenir la distribution de proba de la somme sur un tirage de deux dés à m faces non pipés, on veut obtenir la distribution uniforme de toutes les sommes possibles (i.e., avec deux dés classiques, chaque somme de 2 à 12 a pour proba 1/11) ?
En reprenant la même méthode, lorsque m est pair, cela revient à factoriser 1+x+x^2+⋯+x^(2m−2) en produit de deux polynômes de degré m-1, chacun devant être un produit de polynômes (irréductibles dans R[X]) du 2nd degré, donc pas de solution possible (enfin je crois). Et si m est impair ?
Sinon, il y a moyen d'obtenir facilement une meilleure majoration que 3^⌊m/2⌋ pour ta seconde suite, non ? (sans même imaginer la détermination d'un équivalent qui est sans doute mission impossible, ou tout du moins quelque chose de très compliqué…)

Camille (2012-10-29T12:44:43Z)

Ah pardon, j'avais mal lu et j'avais surinterprété les couleurs (que j'ai peut-être regardées trop rapidement aussi d'ailleurs).

Trouver les lois m et n sur Z/nZ dont la convoluée est la loi uniforme sur Z/nZ est un problème également assez naturel. J'avais compris ton problème comme cela au départ.

freak (2012-10-29T12:16:04Z)

Pour un damier quelconque N*N , on remarque que quel soit l’espacement des lignes , les « Ndiagonales » ( correspondant aux zones de N cases d’une même couleur de la figure ) occupent la même surface pourvu qu’ on ait toutes les colonnes d’identique largeur .
Il y a une application pratique liée à l’interprétation probabiliste de cette constatation : Permettre à 2 joueurs qui n’ont aucune confiance l’un dans l’autre de jouer aux dés sans crainte de se faire arnaquer :
Chaque joueur arrive avec son propre dé qu’il considère comme non truqué mais a de gros doutes concernant la régularité du dé de son adversaire.
En lançant les 2 dés en même temps, en retranchant éventuellement 6 de la somme obtenue –si elle dépasse strictement 6-, on obtient, d’après la remarque initiale, l’équivalent du lancer d’un dé régulier pour les 2 joueurs.

RRt (2012-10-29T09:19:38Z)

Très joli.

On peut remarquer que l'apparition du polynôme a_0+a_1x+…+a_(m-1)x^(m-1) vient du fait que ce polynôme est la fonction génératrice de la mesure de probabilité (a_0,…,a_(m-1)) sur (0,2,…,m-1).

Aussi, la même méthode est utilisée sur la page wikipédia anglaise sur les dés de Sicherman qui sont deux dés (équilibrés) a six faces numérotées respectivement (1,3,4,5,6,8) et (1,2,2,3,3,4) ayant la particularité que leur somme a la même distribution que celle de deux dés classiques.

Camille (2012-10-29T07:50:40Z)

Amusant. Pour l'interprétation probabiliste ne faut-il pas se placer (par exemple) dans Z/nZ ? Par ailleurs, ce problème apparaît-il littérature ?

frankie (2012-10-28T23:03:23Z)

Ta mise en couleurs -inesthétique, mais bon…- oriente naturellement vers la proposition de Fab (plus précisément, ce qu'il a voulu dire…).
Un petit calcul rapide semble le confirmer.
Par contre, les tenants m'échappent (symétries, nombre pair (et minimal) de colonnes et de lignes, équations algébriques à satisfaire). Y aurait-il du Galois ci-dessous ?
En tout cas, c'est contre-intuitif !

Grasyop (2012-10-28T17:51:11Z)

Bonjour. Fab, il suffit de préciser dans la propriété que le damier doit être irrégulier. La notion de dégénérescence correspond plutôt, j’imagine, à des lignes ou colonnes de largeur ou hauteur nulle. (Il faudrait demander à Ellen DeGeneres ce qu’est la dégénérescence.)

Il me semble avoir trouvé la réponse (que je ne connaissais pas, et sans parler le rot13), et dans ce cas tu es sur la bonne piste.

Fab (2012-10-28T15:50:22Z)

Tu dis qu'il n'y a pas d'autre solution (hormis un cas dégénéré), on peut donc en conclure que la config triviale où tous les rectangles sont des carrés de même côté (1/12) ne vérifie pas la propriété voulue ?
Faut-il chercher une relation au niveau des aires des rectangles de même couleur ou un truc avoisinant ? La solution est-elle compréhensible pour un collégien / lycéen… ?

RRt (2012-10-27T23:47:42Z)

En rot13 :
Yrf qvntbanyrf (cnegvrf q'har pbhyrhe qbaaér) bag gbhgrf yn zêzr fhesnpr. Nceèf ha crgvg pnyphy, vy frzoyr dhr yn frhyr snçba qr snver çn ra 2k2 rg ra 3k3 fbvg qr snver ha qnzvre havsbezr.
Cne pbager wr a'nv cnf nffrm ovra pbzcevf yr ceboyèzr cbhe ibve dhr p'rfg nhffv yr pnf whfdh'à yn gnvyyr 11, av dhryyr rfg yn qétéaéerfprapr cbhe yn gnvyyr 10.

Jacques Sélère (2012-10-27T23:34:32Z)

Ah bin ça doit être des nombres complexes. Voilà, j'ai fait avancer le Schmilblick.

Prince Hugues (2012-10-27T23:19:12Z)

Ca fait un moment que je n'ai pas lu forum maths, mais savoir que l'avoir lu m'aurait donné la solution est l'indication qui m'a permis de deviner la solution (bon, ok, j'ai aussi profité d'un canal d'information auxiliaire).

Fred le marin (2012-10-27T17:45:18Z)

J'ai de maigres pistes :
On voit que les couleurs se suivent dans le même ordre d'une ligne à l'autre (et idem colonnes).
Il y a permutation circulaire d'icelles.
Les nombres algébriques sont-ils des cosinus d'angles bien choisis ?
En rapport avec l'entrée précédente : lien avec une Transformée en Cosinus Discrets ? Matrice Stochastique ?
La dégénérescence évoquée fait penser aux formes quadratiques…
Grumph !


You can post a comment using the following fields:
Name or nick (mandatory):
Web site URL (optional):
Email address (optional, will not appear):
Identifier phrase (optional, see below):
Attempt to remember the values above?
The comment itself (mandatory):

Optional message for moderator (hidden to others):

Spam protection: please enter below the following signs in reverse order: 5990ca


Recent comments