Comments on Amplificateurs de probabilités

Grasyop (2012-07-10T11:14:54Z)

Bonjour. Tu indiques bien que tu compares des matchs de longueurs différentes, or il me semble qu'une question intéressante est de savoir si pour une longueur donnée, on a intérêt ou non à découper le match en plusieurs manches. Car rallonger la durée d'une manche est aussi un amplificateur de probas.

Je me suis donc intéressé à l'amplificateur g consistant à passer d'une manche de longueur unité à une manche de longueur l. Je suppose qu'à l'intérieur d'une manche, le score suit une loi normale d'espérance p et que la manche est gagnée si le score est supérieur à 1/2. Quand la longueur de la manche est multipliée par l, l'écart-type est divisé par √(l), et donc, si je ne dis pas de bêtise, la probabilité de la remporter est amplifiée par : g(p)=1/2·(1-erf(√(l)·inverf(1-2p))).

Je veux maintenant comparer ça (une seule manche, de longueur l à choisir plus tard) avec un match en deux manches gagnantes, chaque manche étant de longueur unité, c'est-à-dire f(p)=3p²-2p³

On peut essayer l=3, qui correspond à la longueur maximale de l'autre match. En fait, je voudrais plutôt choisir pour l l'espérance de longueur de l'autre match, mais le problème est qu'elle dépend de p. Elle vaut 2,5 si les joueurs sont de même niveau (p=1/2) ; elle se rapproche de 2 si le match est déséquilibré.

Je constate que pour l=3 ou même l=2,5, il vaut mieux jouer le match en une seule manche (g>f). Pour l=2, c'est le contraire (g<f). Plus étonnant, pour l=2,25, les deux courbes paraissent superposées à l'œil nu, et pour 2,2475<l<2,248 la différence entre f et g est partout inférieure à 0,0002 !

Autrement dit, du point de vue de la probabilité de gagner et à 0,02 % près, et quels que soient les niveaux des joueurs, ça revient au même de jouer un match en deux manches gagnantes, ou un match en une seule manche, de longueur 2,248.

jonas (2012-06-05T20:10:55Z)

Hint: if you make a plot like this in gnuplot, try the command "set key outside right center" or "set key inside right bottom" so that the legend doesn't overlap the graph. You can use the command "set key default" to restore the default settings.

Fred le marin (2012-06-05T16:51:28Z)

@Ruxor: assez subtil (astuce), mais pas trompeur. Et discriminant aux concours…
@DH: Tu voulais dire convexe (je pense), car les fonctions présentées sur le graphe de Ruxor (pour p entre 0.5 et 1) sont déjà concaves, non ?
(convexe = en dessous de toutes ses cordes, comme x|->e^x par exemple)
P.S.: Au passage, je t'ai reconnu, tu es le physicien normalien "Darth Heavy" (= D.H.) !

cobarde anónimo (2012-06-04T15:27:58Z)

Pour le tennis et d'autres sports où l'introduction de la balle donne un avantage certain, ne serait-il pas intéressant d'introduire p1 et p2 les probabilités des joueurs 1 et 2 de gagner le point sur leur service ?

DH (2012-06-04T12:22:07Z)

Tiens, comment pourrait-on s'y prendre en pratique pour avoir un "réducteur" de probabilité (une fonction concave entre p=1/2 et p=1) ? Ça pourrait servir à introduire plus de suspense, ou à "égaliser" les chances entre deux joueurs de niveau différent (bon, ça fonctionnerait comme une sorte de handicap je suppose).

Imohtep (2012-06-03T09:08:39Z)

Rafa gagnerait Roland-Garros quelle que soit la règle choisie de toute façon :-)
Tu as vu, il est de nouveau en marcel pantacourt !
Oups ! En fait non ^^

Ruxor (2012-06-03T07:13:55Z)

@Fred le marin: Pour faire disparaître le e à partir de la forme que tu écris, on peut utiliser le fait que (1+(1/x))^x tend vers e quand x tend vers l'infini (et écrire (2k−1) comme le produit 2(k−1)(1+(1/x)) avec x=1/(2(k−1)), ou quelque chose de ce style) ; mais on s'épargne cette peine si dès le départ on écrit (2k−1)! comme (2k−1)·(2k−2)! et qu'on n'applique Stirling qu'au second facteur.

Fred le marin (2012-06-03T04:02:32Z)

Bonjour (matinal) Professeur,

Peux-tu dire comment tu obtiens l'équivalent de (2k-1)!/((k-1)!²*4^(k-1)) ?
J'arrive assez rapidement (avec l'aide de la formule de Stirling) à une expression de la forme :
alpha*(2k-1)^(2k-1/2)/(k-1)^(2k-1)
où alpha = 1/(e*sqrt(2*pi))
et je ne me souviens plus des règles sur les équivalents (produits et puissances…)
Surtout, comment le 'e' (base du logarithme népérien) disparaît 'magiquement' de la formule finale ? Merci par avance de Tes Lumières.
J'ai du noircir deux pages de calculs (foireux) et même utiliser la calculatrice de Window$ (pour vérifier) et en arriver là.
Sinon, pour le reste, j'ai cru reconnaître une épreuve de Bernoulli : c'est loin !
Il est six heures, la Science avance à pas amplifiés !


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