Comments on Les nombres surréels sont-ils intéressants ?

SM (2016-09-15T10:01:30Z)

Merci !

Ruxor (2016-09-15T07:08:12Z)

@SM: Je me suis posé le même genre de questions, je crois que beaucoup de gens se les sont posées, mais personne n'a de réponse vraiment satisfaisante. Je crois que des gens ont défini des généralisations de l'addition et de la multiplication de nim en caractéristique ≠2, mais elles semblent vraiment artificielles. Pour ce qui est des nombres surréels, je crois que ce qui me choque le plus, c'est le passage du unaire au binaire (unaire avant la virgule, binaire après : mais pourquoi donc ???) qui ressemble à un truc mal griffonné pour mettre en bijection les dyadiques et les suites finies (non positionnées) de + et de − : on a du mal à concevoir que ce soit naturel. Je serais un peu réconcilié avec les nombres surréels si on pouvait les définir sans passer par les suites de signes, uniquement avec une construction de type séries de Hahn, mais je ne sais pas faire et je ne suis pas totalement persuadé que ce soit possible. Bref, au final, je n'en sais rien.

SM (2016-09-15T04:55:44Z)

Y a-t-il un analogue des nimbres en caractéristique autre que 2 ?

SM (2016-09-15T04:09:42Z)

Merci pour cette présentation. Y a juste un truc sur lequel j'ai du mal à me faire un avis, peut-être que tu pourras m'aider à m'en faire un. La construction a vraiment un côté "binaire", "base 2" (avec du unaire en plus avant la virgule, et des histoires qui semblent subtiles pour les chiffres en position non-finie).

Quand on le voit du côté théorie des jeux, ça peut paraître naturel : les jeux à N joueurs sont très différents quand N=2 et quand N>2. Mais du côté "nombres" des maths, le fait que la définition se fasse par les chiffres en base 2 n'est pas très satisfaisant. Avoir des définitions en base B pour tout B rendrait l'objet déjà un plus naturel, et en avoir une définition sans développement en base quelque chose mais plus épurée (corps de fractions, complétion, etc.) serait encore plus satisfaisant. Mais ça semble à peu près impossible vus le manque de rigidité de la structure dont tu nous as fait part.

Bref, j'en viens à ma question : doit-on être choqués du fait que les sur-réels de date de naissance finies soient les dyadiques ? Pour les réels, on a le phénomène analogue, mais on peut se remettre du choc "une procédure naturelle sur les développements donne un ensemble pas si naturel que ça algébriquement car le développement n'est pas si naturel que ça algébriquement, la base de développement étant arbitraire". Mais là, vu que le développement n'est pas une incarnation quelconque mais bien LA définition….. En gros, je vois les scénarios suivants :

1. Le nombre 2 a une raison profonde (théorie des jeux), et le fait que cette procédure renvoie les dyadiques reflète le fait que les dyadiques sont en fait des nombres particulièrement intéressants (car 2 est très intéressant).

2. On pourrait définir les mêmes nombres surréels en base B quelconque, et la procédure renverrait les nombres Badiques, donc pas de problème !

3. Pour un esprit sage, la question "regarder les sur-réels de date de naissance finie" est une mauvaise question, bien que la notion de date de naissance vienne un peu collée à toute définition de sur-réel. La bonne question est pour "finie ou oméga", et là on retombe sur les nombres réels qui n'ont pas la saveur arbitraire des dyadiques.

4. Les nombres sur-réels ne sont pas naturels.

Comment te positionnerais-tu à ce sujet ?

Merci !

Alcide (2013-02-03T10:57:14Z)

Si j'ai bien saisi l'intérêt des nombres surréels de Conway, il s'agit d'associer - en les subsumant dans une même (re)construction - tous les nombres connus liés par une *relation d'ordre* (donc en laissant de côté les complexes et autres hypercomplexes). Cela doit notamment inclure :

- les réels,
- les hyperréels de Robinson,
- les ordinaux/cardinaux de Cantor.

Tous ces types de nombres ne sont pas simplement "juxtaposés", ce qui n'aurait guère d'intérêt, mais liés les uns aux autres par diverses relations remarquables.

Voici, en particulier, ce que j'ai cru comprendre :

- Au sein des surréels, on nomme toujours "ω" l'ordinal initial ω de Cantor.
- On désigne l'inverse de cet ω par un certain ε surréel.
- Cet ε surréel est enfin égal à quelque infinitésimal hyperréel (qu'on aurait déjà pu noter "ε" en se référant seulement à Robinson…).

Mais là, quelque chose a dû m'échapper parce que je vois un gros problème.

Dans la construction de Robinson, l'inverse de tout infinitésimal ε est un nombre ω "infiniment grand", certes, mais *fini* (1) (mieux vaudrait dire "idéalement grand") tandis que l'ordinal ω de Cantor est *transfini*. Or, on ne saurait ignorer cette distinction : il s'agit de pouvoir mettre, ou non, un ensemble en bijection avec une partie propre de lui-même.

Le problème me semble donc le suivant : SI l'ω surréel désigne effectivement l'ordinal transfini de Cantor, ALORS son inverse ε est forcément *plus petit* que tout "ε" infinitésimal robinsonien (puisque l'inverse de ce dernier - quoique très grand - est supposé *plus petit* que l'ω cantorien transfini). Devrait-on parler de "transfiniment petit" ?

Notons enfin que notre ω cantorien est le *plus petit* de sa classe (-> les ordinaux transfinis) mais qu'on n'a bien sûr défini aucun *plus petit* des "idéalement grands" pour les construire. Cette différence fondamentale entre ω cantorien et robinsoniens implique une différence essentielle entre leurs inverses ε respectifs : on obtient soit "LE nombre ε tel que…", soit UN ε.

Qu'en est-il, finalement ? Faut-il plutôt comprendre l'ω cantorien comme un ω robinsonien (très) *particulier*, quitte à "abolir" l'importante distinction (hyper)fini/transfini, et ne plus distinguer qu'entre standard et non-standard ?

Si c'est le cas, en arrive-t-on à cette idée…

- en la déduisant logiquement des constructions préexistantes de nombres qu'on souhaitait concilier ?

- Ou parce qu'il a fallu *prendre parti* à ce stade de l'entreprise ? Et si l'on a pris ce "parti", était-ce le meilleur ?

Cordialement.
____________________

(1) Nelson l'inclut même dans les *réels*, selon sa reformulation "IST" de l'analyse non-standard, ce qui souligne encore plus la différence avec les transfinis…

Ruxor (2011-12-06T21:51:13Z)

@Vicnent: Encore un bug incompréhensible de Chrome/Webkit. Ce truc commence à m'agacer, à se prétendre meilleur que Firefox mais à se vautrer dès que je fais un truc un peu subtil. En l'occurrence, je ne sais pourquoi, il a envie que le clipPath de SVG soit défini après l'endroit où il sert. Bon, pour lui faire plaisir, je change l'ordre. Mais si Chrome commence à devenir le nouveau IE, je vais vite jeter l'éponge à son sujet.

Vicnent (2011-12-06T15:55:37Z)

FYI visiblement, il y a un arbre en début d'article.

il ne passe passe pas sous chrome (à jour) : <URL: http://twitpic.com/7pbsjt > ni sous safari (5.1.1, à jour semble-t-il). Ce sont les versions mac des navigateurs dont je parle.

En passant ton pointeur sur le haut à droit de l'image TwitPic, il y a possibilité de l'avoir en full Size.

Ruxor (2011-12-06T09:41:08Z)

@Faré: Si on écrit en binaire avec juste deux symboles, ce n'est pas facile de voir à quel endroit on met la virgule ni comment on code les nombres négatifs. Alors sans doute on pourrait inventer des nombres surréels codés avec trois ou quatre symboles au lieu de deux ou quelque chose comme ça, mais il est peu probable qu'on obtienne des règles d'opérations aussi simples que celles qui définissent les surréels, et pour commencer on perdrait la structure comme un unique arbre binaire transfini, qui est quand même quelque chose de plaisant. Par ailleurs, je ne sais pas écrire ½·ω en binaire : il faut se rappeler que, dans la suite de signes des nombres surréels, si pour ceux qui sont en fait des nombres réels on met d'abord la partie entière en unaire puis la partie fractionnaire en décimale, pour ceux qui sont infinis, les choses ne sont pas clairement séparées.

Faré (2011-12-06T05:19:33Z)

Je ne vois pas non plus ce qui t'oblige à faire du unaire pour tes entiers, quand tu fais du binaire par les parties fractionnaires. Fait donc du binaire pour tes entiers aussi, avec du unaire pour la profondeur de l'arbre binaire (voire en itérant la construction, du unaire pour le logarithme itéré de ton entier, du binaire pour chaque niveau suivant).

Question plus intéressante: dans un modèle non-standard de l'arithmétique et de l'algèbre, quels sont les objets non-standards correspondant à l'interprétation d'une suite X de nombres réels et au réel X(N) où N est un entier non-standard?

Ruxor (2011-11-17T16:54:45Z)

Faré → OK, je vois ce que tu veux dire (à part que tu t'es embrouillé : ω est un infiniment grand et pas un infiniment petit).

Faré (2011-11-17T16:31:37Z)

Non, je parlais bien de ta flexibilité comme feature. En gros, ça veut dire que quand tu veux donner une interprétation à de nouvelles variables non-standard, tu peux toujours le faire.
Soit x un nombre infiniment petit - no problema, mappons la variable sur ω. Un nombre infiniment petit, mais infiniment plus grand que ω? Pas de problème, il y a ω↑½, etc. Ah, mais je voulais itérer la non-standarditude? Alors, au lieu de ω, choisissons tout ordinal plus grand que les (interprétations) d'entiers standards (même pas la peine que ce soit un cardinal plus grand; on peut sans doute rester indéfiniment dans les dénombrables voire les constructibles, sinon la logique intuitionniste serait inconsistente).

Si on pouvait identifier ω de façon algébrique, ce serait terrible, ça empêcherait de mapper un infiniment petit sur ω. Pire, ça voudrait dire que la théorie des nombres surréels serait différente de la théorie des nombres réels, et donc qu'on ne pourrait pas les utiliser comme modèles d'analyse non-standard. Un gros bug, pas une feature.

L'incomplétude me paraît bien plus intrigante. Il me semble qu'on doit au moins avoir des versions faibles de la complétude de par le fait que l'analyse non-standard marche, et marche encore quand on itère.

Jacques Sélaire (2011-11-16T15:32:53Z)

Pour ce qui est de la valeur moyenne du jeu dans le cas des échecs, je m'en tiens au graffiti, vu (et malheureusement pas photographié), en bas de la rue Champollion, au début des années 80. Je cite:
"1. é4 - abandon légitime".

Ruxor (2011-11-16T13:31:58Z)

f3et →

Je ne vois pas vraiment en quoi tu me contredis : peut-être as-tu pris mes affirmations pour plus précises que ce qu'elles voulaient être. Oui, quand je parle de l'avance d'un joueur sur l'autre je veux parler de la valeur moyenne du jeu au sens de Conway : je suis d'accord que ce n'est pas un nombre faramineusement intéressant, et que pour un jeu totalement fini ce sera forcément un dyadique, je ne prétendais pas affirmer que ce serait un nombre surréel infini.

Et je suis d'accord qu'il faut toujours faire attention avant de faire entrer un jeu décrit de façon non-mathématique dans tel ou tel formalisme mathématique. Par exemple, on peut toujours se dispenser de la théorie des jeux à la Conway et considérer que tous les jeux combinatoires sont impartiaux, quitte à ajouter la variable « c'est à la couleur X de faire un coup » dans l'état du jeu (et si on fait cette manip, la valeur moyenne du jeu sera forcément 0, comme tout jeu impartial : ce qui reste à se demander, c'est quelle est sa fonction de Grundy). Du coup, effectivement, la question doit toujours être formalisée correctement.

Sinon, pour les arbres, oui, je connaissais ce texte. D'ailleurs, j'avais utilisé l'ordre en question dans <URL: http://www.madore.org/~david/weblog/2008-03.html#d.2008-03-16.1534 >. Le truc c'est qu'il est assez facile de décrire *des* ordinaux associés aux arbres, et certains sont assez facilement vus comme le petit ordinal de Veblen, mais montrer qu'ils sont égaux n'est pas toujours si clair (et il faut faire très attention à la manière dont ces ordinaux sont décrits, il y a parfois des loups cachés).

f3et (2011-11-16T13:24:34Z)

Désolé, quelque chose n'a pas fonctionné dans le lien : <URL: http://folk.uio.no/herman/finord.pdf > (il semble que j'ai mis un / en trop à la fin)

f3et (2011-11-16T13:07:18Z)

J'ajouterai à mon précédent commentaire que ce qui montre que le go n'est pas vraiment un jeu de Conway, c'est que, à cause de la règle du ko, certaines positions peuvent valoir (en moyenne) 1/3 de points… Bon, ça n'a strictement rien à voir, mais je viens de découvrir l'existence d'un bon ordre très simple sur les arbres finis ayant pour type d'ordre le petit ordinal de Veblen : <URL: http://folk.uio.no/herman/finord.pdf/ > ; étais-tu au courant, et cela a-t-il un rapport avec les combats contre l'hydre que tu proposais jadis?

f3et (2011-11-16T08:14:10Z)

Euh, en tant qu'expert un peu de tout ça (surtout le go), je crains que tu t'égares, là. Oui, ça a un sens de dire que le go est un jeu de Conway (même si les règles demandent un peu de travail pour être formalisées), et ça a été fait rigoureusement par Berlekamp et Wolfe dans Mathematical Go Endgames, mais le résultat (même,d'ailleurs, pour des configurations presque figées) n'est en général pas un nombre, mais un machin bien plus compliqué (avec des star, des uparrow, des tiny, etc.) Ce qui est un nombre, c'est la valeur moyenne du jeu (qui correspond à ton intuition, et (à peu près) à ce que les joueurs de go appellent le komi (la compensation numérique de l'avantage de commencer)). Seulement, pour des jeux "finis" (il n'y a à chaque coup qu'un nombre fini d'options, et, bien sûr, la partie ne peut durer plus de N coups, où N est une constante finie) , la valeur moyenne est toujours un surréel créé avant le jour N, donc en fait un rationnel dyadique. J'aurais aussi deux trois trucs à dire sur l'ANS (et les problèmes posés par les surréels, comme le fait qu'on n'a toujours pas de bonne notion d'intégration (par exemple, int (exp (x), x=0..omega)=exp(omega) et non pas exp(omega)-1), mais là, ça nous entraînerait un peu loin…

Ruxor (2011-11-15T22:32:40Z)

JML →

Ils doivent pouvoir permettre de faire ce qu'on fait de façon, euh, standard, en analyse non-standard, mais je ne crois pas que ce soit une application très intéressante. (Au demeurant, je suis assez peu convaincu par l'intérêt de l'analyse non-standard, en fait.) Sinon, les nombres surréels viennent de la théorie des jeux combinatoires façon Conway, et dans ce cadre ils sont assez incontournables, et c'est quand même un domaine assez important. En principe, on pourrait quantifier précisément l'avantage que les blancs ont sur les noirs aux échecs (hum, peut-être vaut-il mieux prendre un jeu où il ne peut pas y avoir de nulle et où on n'a pas de questions byzantines sur la durée maximale d'une partie… disons plutôt le go, donc), et cet avantage est un nombre surréel.

Ta deuxième question est très intéressante, et elle m'a effectivement pas mal tarabusté quand j'ai rédigé cette entrée. Oui, le problème est plus ou moins que les nombres surréels ne forment pas un ensemble, ou plutôt, quel que soit l'ordinal où on arrête leur longueur, on aurait envie d'aller un petit peu plus loin pour former le point fixe de x ↦ ω↑(−2x), mais ça ne suffit jamais. Pour dire les choses autrement, on peut partir de 0, itérer cette fonction x ↦ ω↑(−2x) en parcourant les entiers naturels, les ω premiers éléments de la suite de signes se stabilisent, mais si on repart de là, ça continue à grandir, et quel que soit l'ordinal où on pousse la chose, ça ne se stabilise jamais. Et ce qui est plus étrange, c'est qu'en fait de cette façon on fabrique plutôt des nombres de la forme ω↑(−ω↑(−ω↑(−…))) que ω↑(−2ω↑(−2ω↑(−2…))). Mais je n'ai pas les idées aussi claires que je voudrais.

Faré →

Je conçois que le manque de rigidité puisse passer pour une feature. Ce que je dis surtout, c'est que ça met en doute l'idée que les nombres surréels généralisent bien les ordinaux et les nombres réels qui, eux, sont rigides. La non-rigidité des surréels signifie, de façon intuitive, que ω n'est pas défini de façon absolue (même une fois fixés tous les nombres réels, disons) : c'est en fait une étiquette arbitraire qu'on peut mettre sur un nombre surréel infiniment grand.

Mais ce que tu évoques semble plutôt être le fait qu'on peut tirer les nombres surréels à n'importe quelle longueur ordinale, ils ne sont jamais achevés (il n'y a pas de niveau "ultime", comme tu dis). Ça je suis bien d'accord que c'est une feature, en tout cas je trouve ça très joli, et je ne m'en plains pas du tout. (D'ailleurs, j'aime beaucoup les ordinaux comme le lecteur l'aura sans doute remarqué.)

Faré (2011-11-15T21:31:49Z)

Merci pour cett super présentation des nombres surréels.

La "flexibilité" des nombres surréels, que tu déplores, c'est une feature, pas un bug, non? Si je ne me trompe, ça veut dire que pour tout modèle d'analyse non-standard s'appuyant sur les nombres surréels, on peut trouver un modèle encore plus non-standard; mieux, quitte à supposer un cardinal inaccessible encore plus lointain, on doit même pouvoir itérer la non-standardisation autant de fois qu'on veut. S'il y avait une limite rigide à ce processus, on pourrait trouver un "modèle ultime" des nombres réels, non? Et puisque l'analyse non-standard marche, on se peut jamais distinguer de manière intrinsèque un modèle non-standard d'un supposé modèle standard.

De plus, quitte à faire du non-standard, tes formes canoniques doivent sans doute admettre des généralisations où au lieu des "vrais" réels, coupures des suites de longueur "vraiment" entière, ou a des réels non-standard, coupures des suites de longueur non-standardement entière, non? Ou alors au moins les surréels "standards" du modèle doivent avoir une telle représentation canonique avec des réels "standards".

(Considérations rapides qui ne s'appuient pas sur un énoncé rigoureux, encore moins sur une démonstration.)

louji (2011-11-15T21:18:06Z)

Comme le disait un de mes vieux amis :
Qui c'est le plus intelligent qui a tout compris?!… Car il n'y avait rien à comprendre?
Moi honnêtement, je suis dépassé de chez dépassé… mais ça me plait quand même même si je n'ai pas la boite à neurones qu'il faut !

Bondémaths (2011-11-15T16:20:02Z)

Merci pour cet article, dans la lignée de tant d'autres que j'ai trouvés si éclairants !

xavier (2011-11-15T14:23:15Z)

Est ce que tout cela à un lien avec tes recherches ou pas du tout?

Ruxor (2011-11-15T13:17:38Z)

DH →

(1) Non, malheureusement. Les entiers sont codés en unaire (autant de signes plus que le nombre, pour un nombre positif, ou autant de moins que la valeur absolue pour un négatif), ce qui est monstrueusement inefficace. C'est particulièrement décevant, parce que ta question est effectivement naturelle, on aurait *envie* que ça marche.

(2) Si, en fait, surréel + i×surréel, ça donne des nombres surcomplexes qui ne sont pas inintéressants ; en tout cas, c'est assez standard. Mais bon, il n'y a pas grand-chose de nouveau par rapport aux surréels, non plus.

Il me semble par ailleurs qu'on peut définir des sur-p-adiques, mais je ne crois pas qu'ils soient très intéressants non plus.

DH (2011-11-15T09:53:37Z)

Deux questions qui n'ont rien à voir entre elles :

1. Est-ce qu'utiliser les nombres surréels comme représentation informatique des réels (+=bit à 1, -= bit à 0), forcément tronqués (à 32 ou 64 bits par exemple) aurait un intérêt par rapport à la représentation usuelle ?

2. est-ce qu'on peut généraliser aisément et "élégamment" vers des nombres surréels complexes ? Ce que je vois d'évident à coup de {surréel + i*surréel} ne me semble pas d'un grand intérêt…

Osuraku (2011-11-15T03:36:14Z)

Merci pour cet effort de clarification. Je pense qu'il aurait été bon de mettre sur l'arbre, en-dessous de chaque nombre, sa forme en + et en -. Je pense que tu ne l'as pas fait de crainte d'alourdir l'arbre. Je ne me rends pas compte de ce que cela donnerait.

Pour la formulation, « l'ancêtre le plus récent qui soit situé sur la gauche » est clair, mais il aurait été encore plus clair de dire « l'ancêtre le plus récent qui soit situé à gauche *du noeud* ». Sinon, la formulation que tu suggérais dans un commentaire antérieur, « le plus à droite parmi les nombres à gauche [du noeud] de tous les niveaux antérieurs », est identique.

Quant à celle que je proposais, « premier nombre rencontré en remontant l'arbre et finissant par un - », elle est fausse, bien sûr. Il faudrait la remplacer par « demi-somme du père et du grand-père du premier noeud rencontré en remontant l'arbre (en comptant le noeud qu'on cherche à évaluer) qui se termine par deux signes opposés (à défaut 0) ».

C'est sûrement plus lourd, mais c'est une autre approche (plus aisément automatisable, sans doute).

Je vais essayer de lire la suite.

JML (2011-11-15T00:28:11Z)

Superbe, merci ! Voilà une entrée qui a du corps !

Est-ce que ces nombres peuvent servir de fondement à une analyse non-standard ? Ou de manière plus générale, ont-ils trouvé une application en dehors d'eux-mêmes, pour démontrer quelque chose ne les concernant pas nécessairement ?

C'est curieux ce trou que tu mets en évidence, je ne comprends pas ce qui se passe si tu essayes d'utiliser x=L|R, avec L et R les surréels y tq y−ω^{−2y} est négatif resp. positif : on se retrouve avec une longueur de chaîne «infiniment» transfinie ? On se cogne au fait que les surréels ne sont pas des ensembles alors ?

Ruxor (2011-11-15T00:27:44Z)

Tiens, pour une fois que Fred le marin écrit quelque chose qui n'est pas dénué de sens…

(1) A priori, une proba est une mesure à valeurs dans les réels. Le problème à définir une proba à valeurs dans les surréels, c'est que les sommes infinies ne sont définies qu'à des hypothèses assez restrictives, et dire que la somme de "ω copies" de 1/ω vaudrait 1 n'est déjà pas évident, parce que si on réordonne la somme (pour mettre les nombres pairs d'un côté et les nombres impairs de l'autre, chacun étant aussi nombreux que tous les entiers naturels), on peut vouloir que ça fasse 2, ou n'importe quoi d'autre. Bref, je doute qu'on y arrive.

(2) On peut effectivement voir la longue droite comme certains nombres surréels, mais c'est en fait très artificiel. La longue droite ressemble localement à ℝ (les réels), la droite surréelle n'y ressemble pas ; la longue droite ne peut pas être prolongée, la droite surréelle est arbitrairement longue ; et bien sûr, la longue droite n'a pas d'opération algébrique (en fait, on ne peut même pas définir de translation dessus, parce que toute application strictement croissante de la longue droite vers la longue droite a beaucoup de points fixes) ; et en fait, du point de vue strictement topologique, la droite surréelle a énormément de trous ; bref, il y a des différences très importantes.

(3) Il y a des gens qui font de l'analyse surréelle. Voir par exemple le livre de Norman Alling, *Foundations of Analysis over Surreal Number Fields*. Et effectivement, il y a des rapports avec l'analyse non-standard.

(4) Et oui, il y a des tentatives pour faire une sorte d'arithmétique des nombres « surréels entiers » (surentiers ? Conway les appelle les entiers « omnifiques »). Je dois dire que je trouve ça assez peu convainquant.

ooten (2011-11-14T22:13:45Z)

Je trouve le post intéressant et clair mais c'est vrai que je ne suis pas allé bien loin, j'ai perdu ma persévérance dans le paragraphe 'Opérations sur les nombres surréels'. Même s'il peut m'arriver sur d'aussi longs posts ou articles de lire au harsard des morceaux ici ou là.

Fred le marin (2011-11-14T21:31:34Z)

Questions en vrac, dans un seau :
1) Peut-on définir la probabilité d'obtenir un entier quelconque (suivant une loi uniforme sur |N) comme étant 1/w ? (et 1/(2^w) pour obtenir un élément de |R)
2) Quel rapport avec l'"encodage" de "la Longue Ligne" (et plus) ?
3) Vous proposez-vous de (re)construire une Analyse Surréelle (~ à la Robinson ?) ?
4) Quid de l'Arithmétique Modulaire avec les surréels "entiers" et plus !
Le 3) me semble particulièrement diabolique…

Ruxor (2011-11-14T20:04:12Z)

Osuraku → Non, ce n'est pas spécialement de la terminologie mathématique (encore qu'effectivement ça doit s'utiliser couramment, pour les arbres binaires, de parler de l'ancêtre immédiatement à gauche ou immédiatement à droite, pour parler du dernier ancêtre sur la gauche et du dernier ancêtre sur la droite), je pensais juste que c'était clair qu'« immédiatement à gauche » voulait dire le plus à droite parmi les nombres à gauche de tous les niveaux antérieurs, et idem pour la droite (ou en tout cas, je pensais qu'on aurait vite fait de comprendre en regardant l'arbre et le cas des nombres ½, ¼ et ¾). Bon, j'ai essayé de redire ça plus clairement, mais du coup c'est beaucoup plus lourd.

Et sinon, faut pas déconner en disant qu'on est « largué ». C'est sûr que si on s'arrête dès la première difficulté, on ne va pas forcément aller très loin, parce que mon style est plutôt d'écrire de la façon la plus redondante possible (pour qu'on puisse continuer même si on n'a pas bien compris ou bien lu tout ce qui précède) mais par contre en faisant de temps en temps des digressions sur un territoire plus compliqué, qu'il est justement normal que tout le monde ne comprenne pas. En l'occurrence, il me semble quand même avoir bien suggéré que la règle exacte de construction de l'arbre n'est pas forcément très importante, surtout à ce stade-là.

phi → Euh, non, absolument aucun rapport avec le schmilblick.

phi (2011-11-14T18:55:23Z)

ouais, bon, ça explique comment une série (divergente) positive peut donner une somme négative?

Osuraku (2011-11-14T18:07:43Z)

D'accord, je vois maintenant. Est-ce que la formulation « immédiatement à gauche » est évidente pour les mathématiciens ? Est-ce un idiotisme mathématique ?

Personnellement, je ne trouve pas cette formulation claire et j'aurais remplacé « nombre immédiatement à gauche » par « premier nombre rencontré en remontant l'arbre et finissant par un - » et *mutatis mutandis* pour la droite.

Ce n'est pas pour critiquer. Peut-être me diras-tu que le concept d'« immédiatement à gauche » est parfaitement défini en théorie des arbres, auquel je te suggérerais juste de mettre une note de bas de page pour expliquer ce que c'est (et rien ne t'empêche, sinon, d'inventer ce concept et de le définir au passage).

Enfin, voilà, c'est juste parce que c'est dommage que dans une page de vulgarisation on soit largué dès le 2e §.

Ruxor (2011-11-14T14:46:17Z)

Osuraku → Regarde par exemple le nœud étiqueté ¾ : si on regarde, parmi tous les étages supérieurs, le nombre qui est le plus proche à gauche, c'est ½ (son père), et si on regarde, parmi tous les étages supérieurs, le nombre qui est le plus proche à droite, c'est 1 (son grand-père) ; donc on donne au nœud la valeur (½+1)/2 ce qui vaut bien ¾. L'exception, ce sont les nœuds qui n'ont rien à droite ou bien rien à gauche.

Osuraku (2011-11-14T13:46:41Z)

Pourrais-tu réexpliquer cette définition : « chaque feuille représente le nombre qui est la demi-somme du nombre immédiatement à gauche et du nombre immédiatement à droite » ?

J'ai beau regarder l'arbre attentivement, je ne comprends pas comment on obtient les valeurs.

Ruxor (2011-11-14T12:07:02Z)

râleur → « Il faut », non : je veille encore à ce qu'on ne perde pas grand-chose si on n'a pas ça (et même avec un navigateur en mode texte, l'entrée est globalement assez lisible). Ce qui est plus vrai, c'est qu'il faut une police Unicode assez complète.

Thierry → Comme opération algébrique, a priori non. Enfin, peut-être qu'on peut en bricoler une, mais ce ne sera pas très sympa, et on ne sait pas vraiment ce qu'on en attendrait. Par contre, il y a un truc évident qu'on peut faire, c'est concaténer les suites de signes (ça, ça généralise effectivement l'addition ordinale) : mais algébriquement c'est tout pourri comme je l'ai montré par le cas de l'ajout de 1 à la fin ou au début.

Thierry (2011-11-14T10:50:01Z)

Merci pour tous ces efforts de vulgarisation ! Pour le côté pub mensongère, est-ce que l'addition ordinale admet une généralisation naturelle dans les surréels ?

râleur (mais pas trop) (2011-11-13T23:49:55Z)

Putain ça devient select ton blog. Maintenant, il faut un navigateur qui gère le SVG et MathML…

Plus sérieusement, merci pour ce billet. Il m'a permis de mieux comprendre certaines choses qui me perturbaient depuis longtemps. (Et il m'en reste d'autres à comprendre)…


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