Comments on Edward Nelson prétend montrer que les mathématiques sont inconsistantes

Ruxor (2017-05-30T11:38:54Z)

Pour information, le Edward Nelson en question est décédé en 2014. Je ne sais effectivement pas si on peut retrouver son texte (archive.org ne semble pas l'avoir préservé, ce qui est bien dommage).

Fred le marin (2017-05-29T17:06:33Z)

Le mystère des liens entre les nombres s'épaissit, à mes yeux…

M. E.Nelson ne saurait en tout cas expliquer toute l'histoire de ceci :
(le lien vers cette vidéo - très récente - sera sans doute cassé plus tard, ce n'est pas bien grave)
<URL: https://www.youtube.com/watch?v=ZdLJTe2awGE >
Imaginons un instant que le grand sabordage de l'édifice mathématique ait bien lieu (par la mise en évidence d'une infâme preuve de "0=1" dans le système actuel).
Ce fait n'enlèverait rien aux efforts visionnaires des génies précurseurs, dans leur confiance initiale.
Préfère-t-on donc ZFC aux êtres humains qui l'explorent (avec brio) ?
Au-delà de la rigueur, ce serait alors un investissement intellectuel assez morbide. ("… une secrète volonté de mort ?" comme disait le philosophe)
Mais Nelson, j'en conviens, nous rappelle qu'il faudra peut-être faire ce choix, un jour : plaire aux dieux formels ou aux hommes et femmes de bonne volonté ?

jonas (2017-05-21T21:11:57Z)

The first two links are broken, so it's now not easy to find what Nelson actually published.

SM (2017-05-21T09:00:59Z)

Ah, OK, je vois. Merci !

Ruxor (2017-05-21T00:25:27Z)

@SM: C'est une conséquence des théorèmes d'incomplétude et de complétude de Gödel : si je pars de PA, comme (théorème d'incomplétude) PA ne démontre pas Consis(PA), c'est que PA+¬Consis(PA) est consistant, donc (théorème de complétude) il a un modèle, appelons-le M, et dans ce modèle M, il existe donc une « démonstration » de 0=1 à partir de PA (c'est exactement ce que dit ¬Consis(PA)) ; seulement, cette démonstration est non-standard, c'est juste un élément de M qui, du point de vue de M, passe pour une démonstration d'inconsistance de PA.

SM (2017-05-20T21:53:00Z)

Pourrais-tu préciser ce que tu entendais par "si on permet des longueurs non-standard, il est connu et certain qu'il existe des démonstrations de contradiction dans les mathématiques" ? Ca a l'air super intéressant !

ooten (2011-10-02T09:20:18Z)

La proposition d'Edward n'aura pas duré longtemps:
<URL: http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/the_inconsistency_of_arithmeti.html#c039590 >

Visiteur du matin (2011-10-02T05:00:25Z)

D'après un post de John Baez sur google+ (https://plus.google.com/117663015413546257905/posts):

Edward Nelson has withdrawn his claim to have proved the inconsistency of arithmetic. Terence Tao spotted his mistake. One great thing about math is that good mathematicians quickly admit it when someone shows they're wrong.

Jack Sélère (2011-09-29T20:02:26Z)

Pour compléter le post d'Ooten: un de mes meilleurs souvenirs de lecture de jeunesse (hum…j'avais quand même passé l'âge auquel Rimbaud cessa d'écrire de la poésie, et d'écrire tout court d'ailleurs) est un petit texte de J.-Y. Girard trouvé dans un livre de vulgarisation sur le Th. de Gödel, édité par Le Seuil. Mon ambition un peu folle était de comprendre le théorème. Pas le théorème lui-même, mais plutôt la technique sous-jacente. Je félicite d'ailleurs l'éditeur, qui, sur la quatrième de couverture, annonçait joyeusement "en fait, la difficulté du théorème de Gödel est avant tout d'ordre méthodologique et philosophique; quant aux difficultés techniques, elles sont très surestimées". Ce fut la phrase qui mit fin à mon hésitation entre une pile de 10 vieux "échos des savanes" et le bouquin. Notez au passage le choix cornélien: 10 (DIX!!!) échos des savanes…

Le bouquin contient une excellente vulgarisation par Ernest Nagel et James R. Newman, puis une traduction en français de l'article original de Gödel, et finalement le texte de Girard, "Le champ du signe ou la faillite du réductionnisme". J'ai dû le lire plus de 50 fois. Le plan me semble aujourd'hui bien classique: railler les PM, se moquer gentiment du programme de Hilbert, et en déduire que Gödel a fait du bon boulot. Mais c'est si bien écrit, avec juste la dose d'humour nécessaire, qu'on pardonne ce plan un peu trop facile. Ce qui fait aussi la différence avec d'autres textes sur le même sujet est la volonté assumée de l'auteur de ne pas tenter d'enfoncer le lecteur, sans pour autant simplifier à outrance. Plus facile à dire qu'à faire.

Si vous avez aimé le post de Marc ci-dessous, vous aimerez le texte de Girard…

Et tant que j'y suis: "Visiteur du soir", c'est pas très gentil de douter de la santé mentale d'un prof. de Princeton. Imagine, s'il passe sur ce blog (je ne sais pas s'il lit en français, mais même comme ça, quelqu'un peut bien lui répéter). Non, je ne pense pas qu'il soit fou, en tous cas il ne s'agit pas d'une folie "à la Grothendieck", qui lui, a vraiment pété les plombs (je l'écrit tranquillement, il n'a pas internet).

Nat (2011-09-29T08:16:08Z)

> Et si j'avais écrit « incohérentes », on m'aurait demandé pourquoi j'écris « incohérentes » et pas « inconsistantes » ?

Pas moi car je préfère toujours « cohérent ».

Cela me semble intéressant car révèle des connotations et surtout une façon de percevoir les choses.

Marc (2011-09-29T02:55:28Z)

À mes yeux, les discussions fondamentales sur les mathématiques devraient s'avouer à elles-mêmes qu'elles sont des discussions sur les signes, exclusivement. Et en prendre vraiment acte. Les signes ne sont jamais que des pointeurs sur des « choses » mentales. Je parle de « choses » parce que la langue nous oblige à chosifier, mais je ne pense pas qu'il y ait réellement des choses (je veux dire : ailleurs que dans la syntaxe). Les nombres « existent » en ce qu'ils sont institués par une syntaxe et que cette syntaxe commande une représentation. D'autres concluent à l'existence de Dieu sous le même rapport. Il suffit d'être un signifiant pour exister. Honnêtement, c'est de l'encéphalocentrisme. Pourquoi existerait-il des choses en soi, des entités, des objets ? Parce que nous avons des prédicats, des verbes transitifs, des compléments d'objet ? On est un peu courts sur cette démo, non ? L'objet — le nombre, Dieu, ou même l'écran qui est devant moi — est une fiction sémiotique. Certes, on ne peut pas échapper à ces fictions, elles s'instituent avant le langage lui-même (c'est l'histoire du neurone qui s'active singulièrement à 440 Hz).

Mais le problème sérieux, puisque nous parlons de problèmes sérieux, c'est le verbe « exister ». La logique mathématique toute entière est murée dans le paradoxe déclaratif du « il existe X tel que… ». On se demande si X existe à un niveau autre que celui, formalisé, fictif, régit par le scope du quantificateur. On veut toujours « se demander plus », sémantiquement, que ce que le symbolisme permet réellement de décrire. C'est une manie depuis Gödel. Et c'est un peu faux-cul parce que dans le même temps on soutient mordicus que le symbolisme est a-sémantique, qu'il n'a pas besoin (de signifier). « Les mathématiques, vous savez, c'est un pur jeu symbolique, etc. »

Je ne suis pas mathématicien, mais je suppose que les nombres existent (dans tel système) parce qu'il y a un axiome fondateur (dans ledit système) qui introduit symboliquement une entité dans le sillage d'un « il existe … tel que » et qu'il est convenu (méta-mathématiquement) de désigner par « nombre » ce genre d'objets formels.

C'est un peu idiot de le dire comme ça, bien sûr. Mais comment le dire autrement ? Ensuite, que le concept de nombre tombe ou non sous la représentation vulgaire, rejoigne ce qui est expérimenté par tout un chacun comme du cardinal, ou de l'ordinal, c'est une fausse question, non pas parce que le concept est déjà ancré dans le cortex et que les mathématiciens n'ont fait que le formaliser, mais simplement parce que l'arithmétique n'introduit aucun Étant, sinon l'arithmétique serait de la métaphysique. Je dirais que l'arithmétique introduit, documente et expérimente un formalisme. Non ?

Je conviens que mon propos flirte dangereusement avec le nihilisme. Enfin, le méta-nihilisme. Je pense que dès l'instant qu'on se pose la question de « l'existence de… », on se prend les pieds dans le tapis. C'est une question qui court-circuite automatiquement la conscience, pourtant aiguë en d'autres heures, que nous ne manipulons que des signes. Je ne suis pas en train de dire que l'écran qui se trouve devant moi n'existe pas POUR DE VRAI, mais pire : ce « référent » est déjà en lui-même complètement aliéné à un système percept-concept qui rend l'objet impératif. Je doute que le réel soit constitué de choses en soi, à quelque niveau que ce soit. C'est une histoire de texture. Notre cerveau intègre des événements, c'est-à-dire des différences, pas des différences entre des choses déjà instituées, mais si vous voulez, comment dire, du différentiel. Derrida disait de la « différance », avec un a, c'est-à-dire même pas LE FAIT DE différer, mais du différer hors fait. (On gagnerait beaucoup à promouvoir le partitif sous nos latitudes.) Les sémanticiens ont vaguement illustré, sans aller trop loin non plus dans le délire, que les concepts sont seulement des écarts entre des concepts. Une définition récursive qui me va bien.

Enfin bref, les nombres ont du sens. Remarquez, Dieu aussi. Les athées (dont je suis) savent très bien de qui ils parlent quand ils affirment que Dieu n'existe pas. Il y a d'ailleurs une petite subtilité ici. L'inexistence au sens athéologique n'est pas l'inexistence au sens de la logique des prédicats. La logique des prédicats s'exprime sur une variable : il n'existe pas de X tel que P(X), parce que s'il existait un tel X, etc. Une variable est une espèce de signe assez remarquable en ce qu'elle peut parfaitement fonctionner sans référent, et ne devient un désignateur rigide que sous réserve d'unicité de l'objet (encore lui!) dont on croit avoir démontré l'ex-sistence. La logique peut directement transformer des articulations syntaxiques en articulations ontologiques sans recourir à des articulations sémantiques. Le prix à payer, ce sont bien sûr les postulats d'existence (le moins possible) dans le placenta axiomatique. L'athéologique, de son côté, soutient seulement que le nom propre est une fiction, c'est-à-dire que son support, son référent, est strictement sémantique. Il n'abdique pas pour autant son emploi comme nom propre. Il admet qu'on puisse désigner une fiction proprement (le Père Noël). Dans tous les cas, ce que l'on peut souligner, c'est que l'existence n'est pas une propriété des « choses » ou des « êtres », c'est une propriété des signes. Mais on perd cette évidence en cours de route, toujours. Et on se prend les pieds dans le tapis. Quand on dit que X existe, on fait comme si le signe était en prise directe avec une certaine réalité, genre : j'ai composé X et ça sonnait occupé. Mais si on regarde tout ça avec un peu de sincérité et d'introspection, on est bien obligé de reconnaître que X est signe, qu'en tant que tel il a au moins trois facettes -- un signifiant, un signifié, un référent, selon certaines terminologies -- et que chacune de ces facettes renvoie à des représentations ou des perceptions qui reposent elles-mêmes sur des signes ou au moins des signaux, y compris le référent. La question de l'existence se formule alors en termes de rapports, établis ou non, entre ce que signifie le signe (de notre point de vue) et ce qu'il dénote (de notre point de vue). Mais ce qu'il dénote (le référent) n'est que l'héritage de signes antérieurement écumés, et non pas un Étant absolu et extra-sémiotique, le chosifié ne résidant lui-même que dans une production de notre système cortical. Enfin, c'est ma conviction intime. J'admets qu'il y a du péremptoire dans tout ça. (J'espère que je ne vais pas me faire laminer. En même temps ça m'apprendra.)

ooten (2011-09-28T21:27:18Z)

Tout ça me dégoute, on est toujours dans la déconstruction, je ne vois pas ce qu'on pourrait en tirer de positif, même si au début (Turing, Gödel) la démarche est utile et intéressante mais à la fin on sent bien qu'on a épuisé le filon. Et puis de quelles mathématiques parle-t-on ? Pas de toute que de celles qui concernent l'arithmétique. Et encore quand bien même on montrerais que l'axiomatique de Péano est inconsistante, je ne vois pas en quoi cela ébranlerais de grands résultats de l'arithmétique comme : le petit théorème de fermat, le théorème d'Euler en arithmétique modulaire, d'ailleurs pour les démontrer on n'utilise pas telle ou telle axiomatique car on n'a pas besoin.

Après effectivement ce que nous explique bien Ruxor (au travers de ses post sur le même sujet (et d'ailleurs j'aime beaucoup le dernier paragraphe du post qui synthétise très bien la situation)), c'est jusqu'à quel point peut-on donner une légitimité à des objets qui enfin de compte peuvent nous échapper et ne plus avoir de sens, je pense en l'occurence aux ordinaux ou aux entiers très grands.

Dans le même domaine je me demande ce que J-Y Girard nous montre et vers quelles voies il s'engage. Ca à l'air très intéressant et ça va bien plus loin. Je conseille à essayer de comprendre ses articles de vulgarisation accessibles sur son site, mais bon c'est vraimment pas pas évident.

Typhon (2011-09-28T20:16:09Z)

Je n'ai pas porté de jugement de valeur que je sache, je n'ai rien « dénoncé » du tout, je me suis borné à faire une observation quant à l'origine de l'emploi du mot en question dans ce contexte.
Et ce n'est pas parce que Sainte-Beuve l'emploie que ça n'en est pas un, les anglicismes n'ont pas commencé d'apparaître au milieu du vingtième siècle.

Il me parait relativement clair que si je dis, par exemple, que le projet politique de tel parti est inconsistant, cela signifie qu'il ne contient pas de mesure concrète, tandis que si je dis qu'il est incohérent, cela signifie que les mesures annoncées sont contradictoires entre elles, quel que soit leur degré de tangibilité.

Vu cette distinction, ça ne me parait pas abusif de dire que c'est un anglicisme, au même titre que dire "caractère" pour personnage est un anglicisme.

Typhon

Ruxor (2011-09-28T19:34:54Z)

Les mathématiques ont leur terminologie spécifique et librement inventée par les mathématiciens, donc on ne peut pas parler d'anglicisme en la matière, pas plus qu'« ordinal » serait un germanisme sous prétexte qu'on aurait repris le mot de Cantor. Mais de toute façon je trouve agaçante la manière dont les gens s'amusent à dénoncer les anglicismes comme s'il y avait la moindre raison d'éviter d'importer en français des distinctions de sens plus riches en adoptant des mots étrangers. Surtout que dans 999 cas sur 1000, les prétendus anglicismes n'en sont pas : en l'occurrence, la consultation du TLF donne non seulement explicitement la définition « raisonnement consistant, axiomatique consistante : non contradictoire », mais aussi un exemple de Sainte-Beuve (« Les caractères, dans cette Histoire de Sibylle, ne sont pas vrais, consistants, humainement possibles ») pour illustrer la définition proche « qui présente des caractères de cohérence considérés comme propres au vraisemblable ».

(Note to self: écrire une entrée pour ranter contre cette manie de dénoncer des anglicismes et détailler ce que je viens d'écrire ci-dessus.)

Typhon (2011-09-28T19:14:29Z)

Inconsistant, dans ce contexte, est un anglicisme, qui vient du mot inconsistent.
La consistance, en français, c'est la qualité d'un gâteau ferme, et par extension le fait d'être solide, concret, de s'appuyer sur des faits.

Les deux mots ont des sens parfois voisins, mais néanmoins différents.

Typhon

Ruxor (2011-09-28T15:10:18Z)

Et si j'avais écrit « incohérentes », on m'aurait demandé pourquoi j'écris « incohérentes » et pas « inconsistantes » ?

Je préfère réserver l'usage du mot « incohérent » à quelque chose de plus informel : un roman peut être incohérent, une politique aussi, quand il y a un manque de cohérence, justement, c'est-à-dire d'unité ou d'harmonie d'ensemble. L'inconsistance est quelque chose de plus formel (et moralement plus fort/grave) à mes yeux. Mais je ne prétends pas être très… cohérent, dans l'usage de ces mots (et surtout, ça ne me semble pas très important).

Nat (2011-09-28T12:02:39Z)

"Pourquoi "inconsistantes" plutôt qu'"incohérentes"?

Visiteur du matin (2011-09-28T06:11:21Z)

Personnellement cela fait longtemps que j'ai des doutes sur la santé mentale de de Nelson.


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