Comments on Nombres ordinaux : une (longue) introduction

jonas (2016-06-30T12:51:21Z)

Now John Baez has started to post another introduction about ordinals: <URL: https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/06/29/large-countable-ordinals-part-1/ >

Ruxor (2016-05-15T19:48:54Z)

En fait, le problème commence dès qu'on parle d'axiomes : je n'ai pas proposé d'axiomes pour les ordinaux. Normalement, les ordinaux sont étudiés dans le cadre de la théorie axiomatique des ensembles, donc il y a des axiomes sur les ensembles, pas sur les ordinaux (qui sont un type d'ensemble particulier) ; il est possible d'axiomatiser directement les ordinaux (Gaisi Takeuti a écrit des articles dans ce sens vers 1965, mais je ne les ai pas lus), mais ce n'est pas la démarche habituelle, et en tout cas, même si on le fait, il n'y a aucune raison particulière de penser que les axiomes servant à théoriser les ordinaux seront une extension de ceux de Peano servant à théoriser les entiers naturels. (Après, il y a aussi d'éventuelles subtilités sur ce qu'on veut autoriser comme axiomes, c'est-à-dire dans quel cadre logique on travaille.) Toujours est-il que cette introduction aux ordinaux ne se prétendait pas axiomatique, et ce n'est probablement une façon productive de penser aux ordinaux que de les approcher par là.

Frank Wolff (2016-05-15T15:32:14Z)

Oui ce sont les règles que vous donnez dans l'entrée ; en fait ce que je ne comprends pas c'est ce qui nous autorise à considérer ω comme limite, ça ne me semble pas découler des axiomes, dont la dérivation devrait formellement donner pour ω ce qu'ils ont donné pour 0. La multiplication pour les ordinaux assume l'existence d'ordinaux inférieurs, il est vrai qu'on a placé le « nouvel objet à la fin », mais cela n'est-il pas un axiome de plus ?

Ruxor (2016-05-15T13:09:35Z)

@Frank Wolff: Non, parce que l'addition et la multiplication des ordinaux ne sont pas définis uniquement avec le successeur, contrairement aux entiers naturels : par exemple, pour l'addition, à côté de x+0=x et x+S(y)=S(x+y), on a aussi un troisième cas, celui des ordinaux limites, à utiliser justement pour des choses comme ω, et il dit que si z est limite alors x+z est la limite (=le sup) des x+y pour y<z.

Frank Wolff (2016-05-15T11:46:55Z)

>on place un nouvel objet à la fin, l'ordinal ω, et que ce nom est arbitraire

Quitte à être arbitraire dans la terminologie, puisque personne n'a ω pour successeur, si on remplace « zéro » par « oméga » et « entier naturel » par « ordinal » dans les axiomes de Péano, on pourrait s'attendre à retrouver dans [ω, ω2[ les opérations et théorèmes usuels sur les entiers. Comme par exemple ω*ω=ω. Pourquoi n'est-ce pas le cas ?

dionysos (2013-08-02T22:07:42Z)

Encore une réaction sur le mode du très tardif: merci pour cette entrée bien dynamique et claire ! Le gros problème que j'ai éprouvé à sa lecture est que, s'il me semble suivre la logique de ta vulgarisation (à ce titre, je suis le public idoine vu mon absence de toute formation sérieuse en mathématiques), cela me fait l'effet d'un arbitraire dans l'admission des ordinaux. On peut dans la présentation que tu exposes commencer à saisir le rôle, la place des ordinaux et donc en quelque sorte leur sens, mais on n'a guère d'idée sur ce qui motive leur admission et leur réalité. Ce serait bien s'il y avait ce type d'ajout. Par exemple, je ne sais pas s'il y a un véritable rapport avec la diagonale de Cantor qui aboutit à montrer que le cardinal de R excède celui de N faute de bijection possible. A mon sens, un article vraiment satisfaisant de vulgarisation devrait présenter aussi l'aspect historique exhibant les raisons de l'admission de ce type de nombre ainsi que leur articulation avec les cardinaux. Pas seulement le jeu et les règles du jeu mais aussi le fait que les mathématiciens ne prennent pas les ordinaux pour un simple jeu de l'esprit, c'est ça qui manque pour moi.

Alcide (2013-01-08T00:34:36Z)

Merci beaucoup pour ces précisions.

Quel que soit le domaine, on n'a pas encore trouvé de grande utilité à la notion d'hyperopération, il faut croire (?). Peut-être parce qu'elle est soit trop "générale", soit pas assez…

Ruxor (2013-01-07T15:36:11Z)

@Alcide:

La tétration n'est pas très intéressante sur les ordinaux : si on veut la définir de façon que ε_0 soit la tétration ω[4]ω, alors il faut que cette tétration associe à droite (c'est-à-dire que ω[4]5 soit ω↑(ω↑(ω↑(ω↑ω))) et non pas (((ω↑ω)↑ω)↑ω)↑ω qui vaudrait juste ω↑(ω↑4)) ; mais si la tétration associe à droite, alors ω[4](ω+1) vaut ω↑(ω[4]ω) c'est-à-dire ω↑(ε_0), ce qui fait juste ε_0. Bref. l'approche évidente ne donne rien d'intéressant.

Ceci étant, les fonctions de Veblen sont quelque chose d'assez proche de l'idée de tétration et de sa généralisation aux hyperopérations, et elles permettent de définir des ordinaux plus grands. Ces ordinaux restent néanmoins limités par l'ordinal de Feferman-Schütte (si on généralise encore les fonctions de Veblen on peut arriver jusqu'au "petit", voire jusqu'au "grand", ordinal de Veblen, mais ça devient essentiellement impossible d'aller plus loin). Les techniques pour définir des ordinaux plus grands (comme l'ordinal de Bachmann-Howard) sont plus sophistiquées. En tout état de cause, on n'atteindra jamais l'ordinal de Church-Kleene par une méthode "effective", quelle qu'elle soit.

Pour l'autre question, concernant le rapport entre ∞ et ω, j'ai tendance à expliquer que ce n'est pas du tout le même genre de choses : le ∞ de l'analyse représente en gros « un nombre réel extrêmement grand non précisé » avec des règles sur la manière dont on quantifie les choses, dans un exposé que j'avais fait il y a longtemps (<URL: http://www.madore.org/~david/math/infinity.pdf >) j'appelais ça « l'infini inachevé », alors que ω représente en gros « quelque chose qui vienne juste après tous les entiers naturels ». On ne peut pas vraiment dire que l'un soit plus gros que l'autre.

Concernant les notations, elles sont d'ailleurs assez incohérentes : en géométrie différentielle, on utilise la notation C^∞ pour les fonctions indéfiniment dérivables et C^ω pour les fonctions analytiques réelles (notation épouvantablement mauvaise), ce qui laisserait penser que ω est « plus grand » que ∞, mais a contrario, il est assez fréquent qu'on utilise la notation ∞ pour dire « ce qui reste constant pour un ordinal suffisamment grand » (par exemple quand on définit les invariants d'Ulm d'un groupe abélien) et alors c'est le contraire, la notation ∞ désigne quelque chose de « plus grand » que ω.

Alcide (2013-01-06T08:53:52Z)

Il est sans doute un peu tard pour intervenir sur ce billet mais c'est un des plus récents de votre blog qui synthétise vos explications sur les nombres transfinis, sauf erreur de ma part.

A moment donné, vous évoquez l'ordinal ω^ω^ω^… etc. (mes accents circonflexes se veulent des exponentiations). Cette "tour" infinie de puissances donne un ordinal nommé ε_0 (ε indice 0).

Mais cette "tour infinie" correspond "seulement" à une tétration par ω, la tétration étant à l'exponentiation ce que cette dernière est à la multiplication. En suivant cette idée, on conçoit une opération - la pentation - qui serait à la tétration ce que celle-ci est à la multiplication, et ainsi de suite. En généralisant les opérations habituelles (successeur, addition, multiplication, exponentiation…), on obtient donc une notion d'"hyperopérations". Dans le cadre de ce raisonnement, le "rang" d'une hyperopération (3 pour la multiplication, 4 pour la tétration, etc.) est logiquement un entier naturel (le rang de l'opération successeur serait 0).

Il est toutefois *tentant* de se demander à quoi correspondraient des hyperopérations de rang non entier (l'halfation a été imaginée pour l'hyperopération de rang 1/2, la sesquation pour celle de rang 3/2… Et pourquoi ne pas envisager également des hyperopérations de rang irrationnel ou même complexe ?).

Bien sûr, je ne vous apprends rien mais j'avais besoin de ce détour pour formuler les questions qui suivent, davantage en lien avec le sujet.

Ne pourrait-on imaginer une "hyperopération de rang ω" ?

Nous avions déjà : ω[4]ω = ε_0, qui est encore un ordinal *constructif* (pour une meilleure notation, il faudrait une sorte de carré autour du 4).

Mais à quoi serait égal ω[ω]ω ?

Pour préciser ma question : ω[ω]ω est-il plus grand que les ordinaux *constructifs* (inférieurs à ω_1^CK) ? A-t-il quelque chose à voir avec l'ordinal d'Ackermann (puisque ce mathématicien a imaginé une variante de la fonction construisant les hyperopérations) ?

--------

Autres questions sans rapport avec les précédentes, au sujet du + ∞ des limites (le "8 couché", la lemniscate).

On nous explique que "ce n'est pas un nombre". Plus précisément, on nous dit que la "droite réelle étendue" (ou "achevée") est un ensemble résultant de l'union de "R" avec {+ ∞, - ∞}, lesquels seraient bien ici des "éléments" mais pas des "nombres". ça m'étonne un peu car je croyais que les mathématiciens aimaient considérer un maximum de choses comme des "nombres" ("nombres" qui sont eux-mêmes des "ensembles").

Je ne trouve toutefois aucun lien entre ces + ∞, - ∞ et les nombres transfinis de Cantor.

N'y a-t-il vraiment aucun moyen d'articuler tout ça ? Par exemple, même si + ∞ "n'est pas un nombre", on admet que + ∞ > 4 (Certes, c'est une relation d'ordre dans R "barre"). On admet par ailleurs que ω > 4. N'y a-t-il aucun sens - au moins "moralement", comme vous diriez - à se demander lequel de + ∞ et de ω est "le plus grand" ?

Bien à vous (en espérant que le niveau de mes questions n'est pas trop consternant).

Gabriel (2011-11-20T12:48:38Z)

Quelqu'un qui utilise les ordinaux (sans le savoir) pour noter les jeux vidéos :
<URL: http://www.youtube.com/watch?v=CmWqONXMSTk >

Je me demande si son « trou noir » final est en fait « epsilon zéro » ;-)

DM (2011-09-26T15:47:16Z)

@Typhon: Je vais tenter d'expliciter les choses. Prenez N union { omega }, avec l'ordre usuel sur N, et omega >= x pour tout x. C'est bien un ordre total. Cet ensemble n'est pas de hauteur finie: il est possible d'extraire des suites strictement croissante de taille arbitraire. Cependant, il est bien fondé: si je pars de omega et que je fais un pas strictement descendant, j'aboutis sur un entier naturel n, et alors je ne peux plus faire que n pas de plus.

cargo du mystère (2011-09-23T18:46:39Z)

Joli! Merci.

Ruxor (2011-09-23T12:13:51Z)

cargo du mystère → Je suppose implicitement que la question est posée pour l'ordre habituel sur ℝ. La réponse est non : si W est une partie de ℝ bien-ordonnée, entre chaque élément de W et son successeur dans W (ce qui a un sens puisque W est bien-ordonné) il y a un rationnel et ce rationnel est à chaque fois distinct, donc W est (au plus) dénombrable.

cargo du mystère (2011-09-23T11:30:24Z)

Existe-t-il un sous-ensemble bien ordonné non dénombrable des réels R ?

Ruxor (2011-09-20T17:13:14Z)

Hum, dans mon esprit, « déceptivement médiocre » traduirait « deceptively mediocre » alors que je veux dire « disappointingly mediocre », ce qui est totalement différent.

Vicnent (2011-09-20T16:51:35Z)

décevant → décevoir → déceptif → déceptivement

<URL: http://dictionnaire.sensagent.com/deceptivement/fr-fr/ >

Ruxor (2011-09-20T12:16:41Z)

JML → Il y a plein de problèmes de latéralité, comme ça, en mathématiques. Notamment, il y a des groupistes (=théoriciens des groupes) qui écrivent xf pour l'image d'un élément x par une fonction f, et qui ont tout un système plus cohérent comme ça. Mais sinon, à moins de tout refaire, il faut se résigner au fait que même si ce n'est pas terrible (et je suis d'accord avec tes objections), l'habitude est quand même d'écrire ω2 pour ω+ω. Si on craint la confusion avec ω², on peut écrire ω·2.

JML (2011-09-20T10:27:29Z)

Je pensais au débutant qui risque de s'emmêler entre ordinal et cardinal par la suite / argh… / ah oui, merci.

Mais je voulais surtout ajouter qu'il me vient l'idée que la multiplication a été définie à l'envers. On peut argumenter que, dans un contexte de jeu de construction par exemple, on dira «ajoute deux fois un cube» (et non «ajoute un cube fois deux») lorsqu'il s'agit de substituer un cube à chaque élément de ‘..’ (ou de ‘:’) ; mais c'est surtout que ça donnerait les écritures habituelles 2ω, 4ω³, etc.
Hum, mais ça va coincer pour la propriété d'exponentiation α^(βγ) = (α^β)^γ.
Doit-on conclure qu'on s'est trompé de côté lorsqu'on a mis l'exposant en l'air, et qu'il aurait fallu dire «carré de x» (²x) et non «x au carré» (x²) ?

Ruxor (2011-09-20T00:05:04Z)

Zérosceptique → Il y a notamment une généralisation aux arbres (due à Kruskal) due à Higman qui est, de fait, équivalente à une induction sur le petit ordinal de Veblen. Comme je le signale en note #9, le petit ordinal de Veblen devrait aussi avoir un intérêt algébrique. Au-delà, je ne pense pas (au moins pour les ordinaux constructifs ; on peut dire que ω_1 a un intérêt mathématique, par exemple, et c'est certainement le cas en topologie, mais je pense que ce n'était pas vraiment ça la question).

JML → Oui, quand je parle de mettre bout à bout ω copies de ω², il faut bien sûr le faire avec le bon ordre. Comme je définis plus clairement la multiplication plus loin, et que de toute façon il y a un dessin, il ne m'a pas semblé nécessaire d'insister à ce moment-là.

« α⁢β ou αβ » : oui, il y a une différence, même si elle ne saute pas aux yeux : c'est le caractère U+2062 INVISIBLE TIMES qui sert justement à ça (j'avoue que c'est surtout une blague ici).

Sur ω_1, oui, bien sûr, c'est parce qu'une « suite » est indicée par ω qu'on ne peut pas l'atteindre. Mais ce qui est surprenant, c'est qu'il soit *possible* de fabriquer un ensemble tel qu'on ne puisse pas l'épuiser par une suite, donc qu'il existe un ordinal de cardinal strictement plus grand que l'infini des entiers naturels. (Soit dit en passant, il me semble que si on omet l'axiome du choix, c'est une question ouverte de savoir s'il est possible que tous les ensembles totalement ordonnés admettent une suite non majorée.) Et ça ne change rien que la suite soit indicée par ω ou par un autre ordinal dénombrable, parce que tout ordinal dénombrable a lui-même une suite croissante non majorée, alors en composant les deux on peut toujours se ramener à ω.

JML (2011-09-19T23:13:30Z)

«pour un résultat décevamment[#2] médiocre»
D'accord pour #2 en général, mais ici, il faut bien voir la différence de sens avec le banal «pour un résultat décevant, médiocre» : ce n'est pas qu'on est déçu de n'obtenir que de médiocres résultats, c'est que les résultats médiocres obtenus sont décevants, par opposition à d'autres types de résultats médiocres qui ne le seraient pas (et qu'on n'arrive pas à obtenir).
Que peuvent donc être ces résultats non décevamment médiocres : Réjouissamment médiocres ? Inattendument médiocres ? Intéressamment médiocres ? Médiocrissimes à en mériter la première place dans le Guiness Book of Records ?
Il est, en tout cas, certain que le lecteur, te voyant introduire implicitement des catégories de résultats médiocres pour lesquelles tu n'es pas déçu, ne peut que te soupçonner de nourrir des penchants scatologiques qui cherchent un exutoire dans ton espoir de trouver quelque chose dans un résultat médiocre.

«en mettant bout à bout ω copies de ω²»
Est-ce que ça ne sème pas insidieusement une graine de trouble, ça ? Puisqu'un nombre de copies, c'est un cardinal, il y a une erreur de type. Je crois que tu devrais expliquer que, par cette expression, il faut entendre une substitution de ω² pour chaque bâtonnet de ω (il n'y a pas que respect du nombre, mais surtout de la structure).

«ou α·β, ou simplement α⁢β ou αβ si aucune confusion n'en résulte»
Ben ce qui me confusionne, c'est que je ne vois aucune différence entre les deux dernières notations… Typo ou subtile différence d'espacement mal rendue par mon navigateur ? Et je n'aime pas la notation ω2 (au lieu de ω·2), parce que je n'y suis pas habitué (ça me fait comme si je regardais l'équation x²3 - x2 = 1729 : beurk et bug), et dès que c'est trop en exposant on confond facilement avec ω², je me suis fait avoir sur un exo.
Soit dit en passant, quand tu utilises une notation indicée suivie d'une virgule, j'ai toujours la première impression qu'il s'agit d'un indice primé (exemple avec «ε_ω, …»), je ne sais pas si c'est propre à iceweasel. Je réalise que TeX doit faire attention à faire des ' bien différents des , , et peut-être ajoute-t-il un peu d'espace.

Merci pour cette entrée, surtout que tu as la bonne idée de donner des exemples d'application, j'ai passé de chouettes moment sur wikipédia à regarder le théorème de Goodstein et d'autres trucs. Même si je suis globalement largué en approchant d'epsilon_0 et après ;)

Oh, une remarque sur ω_1 : quand on dit «suite», on indice par les entiers naturels en principe, donc on comprend bien qu'on n'a aucune chance d'approcher ω_1, c'est comme si on voulait approcher ω par une suite finie, on a beau essayer d'aller très loin on fait du sur-place en fait. Je suppose que l'argument marche encore si on indice la suite par un ordinal dénombrable mais ça devient moins intuitif…

Zérosceptique (2011-09-19T22:56:55Z)

Et pour un matheux « normal » qui ne se préoccupe pas trop des forces des théories logiques, quel est le plus grand ordinal utile ? Au moins epsilon_0, à cause de Goodstein, mais doit-on aller beaucoup plus haut ?

(Je suis conscient que ma question est assez floue. Je te fais confiance pour l'interpréter avec intelligence…)

Ruxor (2011-09-19T16:51:53Z)

Decabal → Ta question sur les nombres réels est une excellente question, d'ailleurs c'est une des questions qui ont obsédé les mathématiciens entre 1877 et 1963, l'« hypothèse du continu ».

Si on parle des nombres réels avec leur ordre, alors la réponse est tout bêtement qu'ils ne définissent pas un ordinal : il existe des suites infinies strictement décroissantes de nombres réels (−1, −2, −3…), donc ils ne sont pas bien-ordonnés, donc ne définissent pas un ordinal.

En revanche, si on se demande « et y a-t-il moyen de réordonner les nombres réels pour former un ordinal », la réponse est oui (déjà c'est subtil, cela dépend fortement de l'« axiome du choix »), en revanche il est impossible de dire quel est exactement cet ordinal (c'est au moins ω_1, mais il pourrait être beaucoup beaucoup plus grand, et les axiomes de la théorie des ensembles ne permettent pas de trancher ; l'hypothèse selon laquelle c'est ω_1 s'appelle l'hypothèse du continu).

Comme je n'ai pas parlé de cardinaux, uniquement d'ordinaux, je n'ai pas voulu m'étendre sur ces questions-là, mais c'est vrai que j'aurais sans doute dû au moins l'évoquer.

Sinon, pour ε_0, je n'ai pas vraiment de réponse, mais une approche possible consiste à considérer le « jeu de l'hydre » de Kirby et Paris : voir <URL: http://math.andrej.com/2008/02/02/the-hydra-game/ > (et <URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem >), ou bien <URL: http://www.madore.org/~david/math/hydra0.xhtml > avec un navigateur récent et supportant le SVG (mais cette page manque cruellement d'explications, j'en conviens). Pour l'ordinal de Bachmann-Howard, j'ai aussi fait <URL: http://www.madore.org/~david/math/hydra.xhtml >.

Decabal (2011-09-19T16:18:41Z)

Merci , c'est fascinant et vertigineux à la fois. Je trouve que c'est un bel exemple de mathématiques tutoyant le divin.

Il y a un véritable suspense dans ton message : on devine quelle va être la construction suivante et on se demande si on va pouvoir l'appréhender ( ou au moins en avoir l'illusion ) intellectuellement.

Je ne suis pas très familiarisé avec ces concepts et j'ai 2 questions qui paraîtront surement naïves et vraisemblablement mal formulées : la "taille" de l'ensemble des entiers naturels semble être oméga, quand est-il de la "taille" de l'ensemble des nombres réels ( oméga puissance oméga, ou bien " moins" ou bien "plus" ? )

Peut-on trouver dans l'univers un exemple concret pratique qui permette d'essayer de se représenter epsilon0 ? L'univers semble si étroit pour cela.

Merci par avance pour tes réponses.

raph (2011-09-19T15:47:29Z)

Merci !

Ruxor (2011-09-19T10:22:00Z)

Typhon → Dire qu'il n'y a pas de ω−1, ça veut dire qu'il n'y a pas d'ordinal qui vienne *immédiatement* avant ω, il n'y a pas de dernier entier naturel. Mais il y a quand même plein d'ordinaux qui viennent avant. (Et sur les dessins en bâtonnets, on voit bien, j'espère, qu'il y a des bâtonnets à gauche du bâtonnet étiqueté ω, mais il n'y en a aucun qui mériterait de s'appeler ω−1.) Donc on peut décroître ω au sens où on peut le remplacer par un ordinal qui vient avant (=un entier naturel). Évidemment, ça le fait décroître de « beaucoup », et c'est pour ça que le processus de décroissance doit terminer.

Pour comparer, si j'inversais le sens dans l'échelle ω (je mets la droite à gauche et vice versa), j'obtiendrais une échelle dans laquelle on peut décroître indéfiniment : ce n'est donc pas un ordinal.

DH → On pourrait dire que c'est le principe, avec les ordinaux, qu'on peut les comprendre jusqu'à un certain point et plus au-delà. Ceci dit, normalement tu devrais arriver à dépasser ω^ω, quand même (et même si mon dessin est tout moisi) : si ça peut aider, ω^ω n'est pas seulement la limite de 1, ω, ω², ω³, etc., c'est aussi leur somme (enfin, je ne sais pas si ça aide à visualiser les choses, mais ça aide probablement à se faire un dessin pour soi : il suffit d'aligner de gauche à droite un dessin de ω, ω², ω³, etc.).

raph → Quel est l'inconvénient de simplement utiliser le bouton « back » du navigateur ? Ça a l'avantage de remettre l'emplacement exactement où il était. Personnellement, c'est ce que je fais, quand je vais lire les notes sur Wikipédia (je n'utilise le lien arrière que si je suis tombé sur la note par hasard et je cherche d'où elle vient ; mais sur mon blog, comme les notes sont référencées par des trucs comme #42, il suffit de chercher #42 sur la page, ou en fait de chercher le caractère '#' dont je ne me sers quasiment jamais autrement).

raph (2011-09-19T09:48:19Z)

(note méta) : Tu pourrais mettre des liens de "remontée" sur les notes de bas de page, pour qu'une fois qu'on a cliqué sur une note, on puisse remonter là où on en était dans la lecture du texte ? Je crois que Wikipédia le fait, et ça me paraît être un des gros avantages des liens hypertextes (d'autant que tes entrées sont longues et touffues) (en plus d'être intéressantes). Merci !

(je finirai l'entrée ce soir. Ayant fait math sup + spé + école d'ingé, je trouve vraiment dommage de n'avoir jamais eu de cours sur le sujet ou l'approchant de près …)

DH (2011-09-19T08:18:06Z)

Râh, c'est toujours pareil avec les ordinaux. Au début c'est facile, et puis, au bout d'un moment, je lâche et n'arrive plus à me représenter ce que c'est . Cette fois-ci, c'est quelque part du côté de omega^omega….

Typhon (2011-09-19T01:36:42Z)

Je me suis accroché jusqu'au bout, mais je ne pourrais pas honnêtement dire que j'ai tout compris. J'ai buté sur ce membre de phrase :

« On comprend un peu ce qui se passe si on part de l'ordinal ω : dès qu'on va le décroître, on va forcément tomber sur un entier naturel (rappelez-vous qu'il n'existe pas de ω−1 : les ordinaux plus petits que ω sont juste les entiers naturels) »

Je ne comprend pas comment on peut simultanément parler d'une décroissance à partir d'ω et dire qu'ω−1 n'a pas de sens.
Je ne vois pas comment les deux sont compatibles. Ça me trouble.

Enfin, je relirai quand il ne sera pas trois heures et demi du matin.

Typhon


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