Comments on Les mathématiques pourraient-elles être différentes ?

frankie (2015-11-09T19:33:36Z)

Il est intéressant de savoir sur quelle base on spécule. Cette activité plus qu'ancienne s'est toujours appuyée au mieux sur les connaissances, ou supposées telles, de chaque époque.
De telle sorte qu'elle demande aussi de spéculer sur l'état d'avancement de notre état de l'art.
Je pense que ce qui est su est su, à peu de choses près.
Que reste-il qui nous échappe ?
Presque tout comme le suggère à son époque Newton, ou des à-côtés de nos montagnes de savoir actuelles ?
Sur quoi se baser pour notre évaluation ?
Un sentiment flou fondé sur sa propre expérience ? Une mesure prospective de notre production scientifique ? Une critique de notre façon sociale de réaliser cette science dans un cadre bien circonscrit ?… Bien difficile de répondre !
Personnellement, je pense que nous comprenons bien un certain nombre de questions, mais que d'autres n'affleurent qu'à peine notre conscience, ou pas du tout. Et que notre point de vue changera assez radicalement lorsque nous aborderons en profondeur certains domaines que nous considérons à tort comme secondaires. Nos connaissances actuelles ne seront pas invalidées, mais seront perçues selon de nouvelles perspectives. Comme un objet vu de biais ou intégré dans une structure de dimension plus élevée.
In fine, je spécule que la métaphysique deviendra sans objet lorsque nous aurons découvert les bonnes structures mathématiques (et les bonnes théories physiques qu'elles portent en germe confirmées par l'expérience), car elle en découlera "presque" naturellement -quel sera alors le sens de ce mot, je n'en pas l'idée, mais c'est un peu notre critère implicite de véracité, allez savoir pourquoi…-.
Comme on est loin du cap -concernant la métaphysique-, j'en déduis que nous sommes encore loin du compte en maths et en physique.
Inutile de rajouter que je n'adhère à guère de théories actuelles sur les multivers, les univers parallèles et tutti quanti.

bidibulle (2010-06-23T19:21:19Z)

Tu peux lire Diaspora de Greg Egan: tu y rencontreras une espèce extraterrestre qui devrait te plaire.

Ruxor (2010-06-09T21:18:18Z)

Ploub → C'est le point de vue relativiste extrême à l'opposé du platonisme, et comme tout point de vue relativiste extrême, il est irréfutable (<URL: http://www.madore.org/~david/weblog/fragments.html#d.2008-12-26.1595 >). Peut-être que les extra-terrestres n'auraient rien de semblable au concept des entiers naturels (et du coup rien qui ressemble à nos mathématiques), parce que les entiers naturels n'existent que dans notre cerveau ; peut-être aussi que les mathématiques ne sont ce qu'elles sont que parce qu'elles ont été développées par des hommes blancs occidentaux hétérosexuels ; il est aussi impossible de réfuter ce genre d'affirmations qu'il l'est de réfuter l'idée que quand j'écris les mots que j'écris peut-être qu'ils ont un sens complètement différents dans une autre langue et que mon interlocuteur les comprend complètement autrement que moi. Néanmoins, les rares indices que nous avons tendent tout de même à laisser penser que quelques bouts des mathématiques sont partagés : les entiers naturels jusqu'à 4 ou quelque chose comme ça ont l'air d'être partagés entre espèces animales, les figures géométriques comme le cercle et le triangle (et le nombre pi, plus ou moins), et le concept de nombre premier ou d'écriture en base N ont été partagés par des civilisations de façon apparemment indépendante, et divers concepts mathématiques assez élaborés ont été partagés par des individus qui les ont développés de façon indépendante.

On peut avoir un point de vue médian : il existe des concepts mathématiques plus ou moins naturels, donc plus ou moins susceptibles d'être retrouvés par des civilisations indépendantes. Je suis complètement convaincu que le concept de catégorie dérivée, par exemple, n'est pas naturel ; celui de groupe, par contre, a beaucoup plus de chances de l'être, y compris de groupe simple fini. Parmi les indices qui permettent de soupçonner qu'un concept est naturel, il y a la simplicité et l'élégance de sa définition, il y a le fait que plusieurs mathématiciens soient arrivés indépendamment à la même, il y a le fait que la définition amène presque magiquement tout un tas de sorites, il y a le fait que quand on la perturbe un peu ça donne des concepts peu intéressants (ou au contraire que ça redonne la même notion), et il y a l'impression générale qu'on est forcé d'introduire cette notion pour arriver à dire quelque chose d'intéressant (sur autre chose par exemple). Aucun de ces indices n'est concluant en lui-même, mais quand ils sont combinés, je trouve que c'est un très fort faisceau de présomption. Je suis moyennement convaincu sur la naturalité des structures différentiables exotiques sur R^4 (j'ai plus facilement tendance à croire en la naturalité des concepts combinatoires ou proches, comme le concept de groupe, qu'en des concepts continus), mais ça me semble quand même relativement plausible.

Ploub (2010-06-09T20:45:27Z)

Je vais agir en matheux : je n'ai pas grand chose à dire sur la question, je vais en poser une autre. Nos mathématiques sont faites par des humains. On peut se demander s'ils intéresseraient d'autres formes de vie mathématiciennes.

Quand j'étais petit, je pensais tellement que les maths étaient naturelles que j'étais persuadé que toute forme de vie suffisamment intelligente avait forcément fait le constat, par exemple, qu'en dimension 4, les catégories lisses et topologiques différaient violemment. Aujourd'hui, je ne suis même pas sûr qu'une telle forme de vie saurait ce qu'est un nombre premier.

Le seul argument que j'arrive un tant soit peu à écrire est le suivant : les maths sont faites par des humains, évoluent selon des règles assez complexes (et très intéressantes) parmi lesquelles il existe par exemple un mécanisme de promotion au rang « d'objet intéressant » du genre : « MM. Galois, Jordan, Poincaré, etc. ont fait plein de choses bien en utilisant une notion fun dite de groupe, si on étudiait un peu les groupes pour eux-mêmes ? Burnside, Tits, Gromov, etc., vous vous y collez ? »

On peut pour résumer dire que les maths suivent un processus d'évolution apparemment calqué sur le goût humain. À partir de là, il me semble que l'attrait assez bien répandu qu'elles exercent sur les humains ne paraît pas plus fantastique que, disons, celui qu'exerce le football (qui a suivi également un processus d'évolution basé sur le goût humain) et il me semble étrange de chercher pour le goût des hommes pour celles-là une raison profonde qu'on ne chercherait pas pour celui-ci.

En un mot, je pense que les maths disent plus de choses sur le cerveau humain qu'elles n'en disent sur un putatif monde d'idées platonicien et je suis confiant qu'en retour, on les comprendra bien mieux quand on comprendra quelque chose à notre cerveau. Et je pense que cela se généralise à toutes les activités humaines, de la pétanque à la métaphysique.

Ruxor (2010-06-09T10:34:37Z)

Gabriel → Les trois choses que Monsieur Pierre propose comme défis (sur les conseils des poissons de Bachir) à la sorcière du placard aux balais, ce sont des bijoux en caoutchouc qui brillent comme des vrais, une branche de l'arbre à macaroni, et finalement la grenouille à cheveux.

Lozaire Noir (2010-06-08T20:06:57Z)

Oui, ou bien tout simplement Dieu auras fait en sorte que tu choisisses précisément un nombre et une série d'opérations telles que la phrase y soit effectivement. Quand on dispose de l'intemporalité, on est dur à piéger. Chaque "volonté" créant un monde particulier, il rétro-crée le monde dans lequel les mathématiques et les langages qui les expriment sont adéquates à ta question. Mais que fait-il des mondes usés ?

Gabriel (2010-06-08T18:48:57Z)

Quelqu'un peut m'expliquer (éventuellement en privé) la référence à la sorcière du placard aux balais ? Je le connaissais par coeur étant petit, alors je me sens vexé de ne pas la trouver…

Ruxor (2010-06-07T20:19:59Z)

zEgg → Il est vraiment nul, ce Dieu. Non seulement Il n'est même pas foutu d'exister, mais en plus Sa démonstration est fausse (page 275 du fichier LaTeX, la majoration sur la somme n'est pas uniforme en M). Probablement Il l'avait écrite pour une version antérieure des mathématiques et Il a oublié de la mettre à jour, ça arrive tout le temps aux développeurs fatigués qui doivent boucler des projets en 7 jours.

zEgg (2010-06-07T17:57:42Z)

Voyons voir… tiens, à partir de 2^29 je trouve ce texte :

"Mon très cher David, je me vois forcé de m'incliner: Tu avais raison, je n'existe pas. Pour me faire pardonner de t'avoir fait perdre ton temps avec ces inepties, permets moi de t'offrir ci-joint une démonstration complète de la conjecture de Riemann (à partir de la décimale 2^32, 2^64 pour LaTeX).

Bien à toi,

Signé : Dieu."

groug (2010-06-07T09:22:35Z)

Pour un dieu omniscient et omnipotent, le défi que tu lui lances n'est vraiment pas difficile : il lui suffit d'avoir, rétrospectivement, influencé l'évolution des langages (la tour de Babel, ça ne te dit rien ?), des alphabets, et des standards informatiques de codage pour que la phrase que tu as choisi, en français et précisément encodée en UTF-8, se retrouve dans les n premières décimales de racine de 7. Cela dit si ça arrive je serais vraiment convaincu de l'existence de dieu - ou du moins d'un démiurge farceur.

Dans le même ordre d'idée, je peux très bien créer un système alambiqué d'encodage d'images, de telle sorte que telles décimales de pi choisies à l'avance correspondent à une photo porno…

Koko90 (2010-06-07T09:12:21Z)

Voilà, j'ai calculé les 1000000 premières décimales de la racine carrée de 7 et la phrase que tu recherches n'apparait pas en UTF-8 (vive grep).

Quelqu'un a le courage de lancer le calcul un peu plus loin ?

jonas (2010-06-07T09:03:18Z)

About that literary fragment: yes, you could write it, but only if it has enough twist that it's not boring after this writeup; <URL: http://xkcd.com/10/ >; and after the original version of <URL: http://qntm.org/admin >, which, as Sam notes in <URL: http://qntm.org/ed >, had "All your base are belong to us" written in the values of the fundamental constants.

Ayman (2010-06-07T07:02:44Z)

C'est vraiment une question fascinante. Même si j'ai également le sentiment de "découverte" quand je fais des mathématiques, je rejoins l'avis de Space Boy sur la dépendance des mathématiques vis à vis de notre perception. J'imagine que si on faisait tourner une machine qui se contenterait de créer des énoncés de théorèmes vrais en allant dans tous les sens (peut-être une telle machine existe-t-elle déjà d'ailleurs), si on ne la guide pas un tant soit peu, elle produira certainement tout un paquet d'énoncés qui ne nous parlent absolument pas, ou plutôt qui ne parlent absolument pas à notre perception. Pour autant cela restera des mathématiques.

Une question que je m'étais posé il y a quelques temps, un peu dans le même esprit : "Comment un aveugle de naissance peut-il faire de la géométrie ? Est-ce possible ? (d'ailleurs, est-ce qu'il peut faire des rếves ? :) )". La réponse est simple : avec 4 sens sur 5 il lui reste encore tout ce qu'il faut pour s'imaginer des formes (et bien sûr qu'ils rêvent !). En l'occurence j'ai cru comprendre en parcourant un guide de formation d'enseignants qu'on leur donne l'intuition d'une ligne/d'un cercle ou de n'importe quel objet géométrique de base par le toucher. Rien qu'à ce niveau là, je serai curieux de voir les mathématiques qu'auraient produites un bataillon d'aveugles de naissances prodiges. Certainement d'autres questions posées, d'autres réponses.. Malheureusement l'échantillon est faible. Je connais des mathématiciens aveugles de talents (Euler, Pontryagin), mais je n'ai pas encore entendu parler de génie combiné à une cécité de naissance, donc de là à avoir un échantillon…

Pour revenir aux extra-terrestres, si leurs sens sont effectivement différents des nôtres, si ils utilisent tels ou tels sens pour faire des mathématiques, je pense qu'effectivement leurs énoncés ne nous /intéresserons/ pas. De même, pour eux notre conjecture de Riemann ne présentera peut-être aucun intérêt. Ou bien pire ! Leur intuition en fera peut-être un résultat trivial :)

Quand j'y repense, le lien entre notre intuition et notre production mathématique est paradoxal. Hilbert expliquait qu'on pouvait remplacer le point, la droite et le plan, par un verre de bière, une chaise et une table et faire toute la géométrie connue en se basant sur les relations entre ces trois objets. De cette manière disait-il, on éviterait certainement un certaines erreurs liées à notre intuition (comme ce fut le cas dans les Éléments). Étrange donc, que l'on ait besoin de notre intuition pour nous guider dans notre démarche mathématique (pour avoir des énoncés intéressants), et que cette même intuition soit la seule responsable d'erreurs que l'on aurait évité si on avait utilisé depuis le début les outils de logique pure.

Bon, je m'arrête.

Hugues (2010-06-06T22:35:35Z)

Vu, la sorcière du placard à balais.
Le plus amusant c'est que je ne connaissais pas jusqu'à il y a un mois ou deux, avant que ma copine m'en parle un jour qu'on s'était baladés rue Broca.

W (2010-06-06T21:55:55Z)

Des univers ordinaux, d'autres formes d'intelligence, un univers dans lequel les mathématiques seraient différentes… On t'a déjà demandé si tu connaissais Greg Egan ? :-)

f3et (2010-06-06T19:06:02Z)

Je suis un peu déprimé : si j'ai reconnu toutes les références mathématiques (c'est un peu mon métier) *et* la sorcière du placard au balai, en revanche, je ne vois pas ce qu'est la citation grecque… Pour en revenir aux possibilités de Dieu de tricher, on peut aussi penser que les décimales de Pi sont immuables, mais pas les complexes circonstances qui amènent à créer les langages, le code UTF-8, et le défi exact proposé par David…

Space Boy (2010-06-06T18:23:13Z)

C'est aussi une question qui me fascine, même si ma façon de poser le problème est différente (sans doute moins pertinente, mais plus dans le délire ou le jeu):

A l'image d'un objet en 4, 5 ou 10 dimensions dont on ne perçoit qu'une section (par exemple en 3 dimensions correspondant à notre univers), nos mathématiques ne sont elles pas une section de quelques choses de bien plus "important" (j'avoue ne pas savoir comme définir le " plus important").

Comme un être bi-dimensionnel qui ne comprend (et surtout ne peut comprendre) la notion de "hauteur" (hors des deux dimensions connues), nous ne comprendrions pas ces notions, même si on voulais nous les expliquer.

D'autre pas, je suis d'abord persuadé que les mathématiques sont le fruit des limites humaines et qu'elles sont donc profondément à notre image.

En effet, les mathématiques furent à l'origine pour résoudre des problèmes concrets de la physique (même si les objets mathématiques peuvent exister indépendamment des hommes).

Que seraient les mathématiques dans un monde où nous aurions un "sens physique" absolu? Cela signifierait par exemple que l'on connaîtrait tous parfaitement la "longueur", le "poids" des objets rien qu'en les regardant, les touchant ou en étant à proximité etc …

J'ai mis ces notions entre "." puisque l'on n'aurait pas besoin de les définir!

Mais nous serions par exemple exactement où couper une corde pour avoir la même "longueur" que l'immeuble d'à côté ou la même "longueur" que le terrain de foot.

Ensuite, la définition de certaines notions est profondément liée à notre perception du monde.

On n'a pu aboutir à la notion de nombre entier que parce qu'il y a séparation que nous somme capables de la percevoir (vue, ouïe, toucher).

Dans un monde où tout formerait une seule et même entité, que signifierait une notion équivalente de notre "un", notre "deux", notre "trois", etc ?

Ruxor (2010-06-06T10:50:55Z)

Mo → Je suis complètement d'accord que les mêmes lois de la physique s'appliquent partout dans l'Univers, et j'espère ne pas avoir donné l'impression de dire le contraire ! Mais le fait est qu'on peut en imaginer, et en étudier, d'autres, et cela présente même un intérêt scientifique, en tout cas, les physiciens le font souvent. Alors que je ne vois pas comment on pourrait jouer à modifier les lois des mathématiques, comment on pourrait envisager la possibilité qu'il y ait seulement quatre algèbres de Lie exceptionnelles au lieu de cinq, ce genre de choses.

Fork (2010-06-06T09:48:13Z)

Heureusement que je connais (superficiellement) la plupart des concepts hyper-liés. Sinon, c'était la mort assurée par explosion de pile (wikipédia dit «dépassement», mais je trouve l'explosion plus visuelle). Enfin, c'est pas un hasard non plus, tu as déjà parlé de la plupart de ces trucs dans le blog.

Sinon, j'aime l'idée de la révolution des poulpes. Mais ce serait pas à ton tour de piquer les idées de Randall Munroe :) ? <URL: http://xkcd.com/520/ >

J'ai du mal à saisir la seconde expérience de pensée. Mais j'attend avec impatience le fragment sur le vandalisme de pi (même plus qu'un fragment en fait, une petite nouvelle serait chouette) !

Mo (2010-06-06T04:26:47Z)

Je suis pas vraiment d'accord quand tu dis qu'il puisse y avoir plusieurs physiques possibles. En fait, si on suppose que sur une autre planète, il y est une forme de vie intelligente différente de la notre (cf. ton entrée précédente), je suis convaincus qu'ils arriveront à la même physique que nous (en supposant qu'on vit dans le même univers, l'histoire des univers parallèles et toutes ces conneries me font chier, tellement on les cite à n'importe quelle occasion pour démontrer n'importe quelle connerie). La loi d'attraction gravitationnelle sera la même, l'électromagnétisme sera le même, et tout le reste…Peut être qu'il sera formulé autrement, mais au fond, ça devrait être le même, donc, à mon avis Einstein n'a pas inventé la théorie de la relativité, pareil pour Heisenberg et ses copains. La physique est pour moi une découverte. Les Maths, c'est vraiment compliqué, et je crois que la réponse à cette question est équivalente à celle de savoir si Dieu existe ou pas…

Arnaud Spiwack (2010-06-06T00:29:09Z)

Si on laisse tomber π, où ce n'est pas sûr, il y a des nombres qui contiennent toutes les chaînes binaires finies. Donc tout machin qui existe sous forme de fichier peut être représenté par un couple (début,longueur) représentant la sous-chaîne qui nous intéresse. Si je te donne un couple correspondant à une nouvelle jamais encore écrite, ai-je découvert ce couple, ou l'ai-je inventé ? Même question si il je te donne le couple correspondant au sonnet de Shakespeare que tu aurais spécifié à l'avance ?

(ce ne sont pas des questions pièges)


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