Comments on Comment un mathématicien ouvre une infinité de boîtes

Ruxor (2015-04-19T10:34:48Z)

@Penguin: Contrairement à une rumeur tenace, on peut construire un ensemble non borélien sans utiliser AC (il s'agit essentiellement de diagonaliser sur la façon dont les boréliens sont fabriqués : il y a autant de boréliens que de nombres réels). Après, on doit pouvoir utiliser un raisonnement du même genre pour dire que la stratégie est forcément non mesurable (mais dire qu'il est consistant sans AC que tous les ensembles soient mesurables nécessite la consistance d'un cardinal inaccessible) ou non Baire (ce qui évite le cardinal inaccessible), mais en tout état de cause, une démonstration directe serait préférable.

Penguin (2015-04-19T00:47:49Z)

On peut montrer qu'il n'existe pas de stratégie borélienne pour gagner face à Docteur No. La raison à cela est que si on tire les chapeaux de façon i.i.d. (disons que les chapeaux sont tirés à pile ou face entre rouge et bleu, en traitant sans perte de généralité le cas de deux couleurs), on peut montrer que les réponses données par les mathématiciens sont des Bernoulli indépendantes de paramètre 1/2. (On vérifie facilement cela pour les n premiers mathématiciens, en procédant à rebours à partir du dernier, et on propage ce résultat à tous les mathématiciens par la magie des classes monotones.) Un coup de loi des grands nombres ou de Borel-Cantelli indépendant ou de simple calcul implique que presque sûrement, en particulier parfois, une infinité de mathématiciens se trompe.

Il me semble que cela implique qu'avec les maths usuelles sans AC, on peut pas trouver de stratégie gagnante. Non ?

a3nm (2015-04-06T17:05:48Z)

Une autre énigme du même genre qui m'a fait repenser à ces histoires de Docteur No (mais je crois pas qu'il y ait des trucs continus dedans) : <URL: http://blog.tanyakhovanova.com/2015/04/2015-moscow-math-olympiad/>.

ln (2009-10-21T21:40:20Z)

Coincidence, il semblerait qu'il existe un article sur ce sujet meme dans la revue "Pour la science" d'octobre.

W (2009-05-24T19:30:14Z)

@jonas: Il me semble que la règle de Subbak permet de résoudre l'énigme de l'entrée précédente, à partir du moment où à chaque étape on peut ouvrir une infinité de boîtes. En effet, on ouvre d'abord toutes les boîtes appartenant à 99 des 100 sous-suites (1 étape), puis toutes les boîtes de la 100e sous-suite à partir d'un certain rang (1 étape).
La difficulté (quand on connaît la solution théorique) est ce qu'on fait entre les 2 étapes d'ouvertures : calculer pour chaque suite son représentant dans C.

jonas (2009-05-23T16:05:39Z)

Subbak: that's enough for solving this simpler puzzle, but I believe it is not enough for solving the original puzzle in the previous entry.

Subbak (2009-05-23T14:49:21Z)

Pour la façon d'ouvrir les boîtes, le plus simple est à mon avis d'autoriser un nombre fini d'étapes (où il désigne les boîtes qu'il souhaite ouvrir simultanément) par mathématicien. C'est suffisant pour l'énigme et ça évite de la rendre plus complexe qu'elle ne l'est déjà pour quelqu'un qui ne la connaît pas…

f3et (2009-05-23T13:39:22Z)

Dans la formule des super-pouvoirs "j'ouvre les boîtes en partant de la fin (comme je viens de le dire : la boîte i serait ouverte après un temps 1/i), et à un moment où je constate avoir ouvert une infinité de boîtes contenant chacune des nombres entre −1 et 1, je m'arrête" , il me semble qu'on peut s'arrêter quand on veut (par définition, pour tout temps i où on peut s'arrêter, il existe un temps j<i où l'on pouvait s'arrêter aussi), ce qui fait que la règle ne semble pas formalisable en fait, et que l'objection de changement de suite est illusoire, ou plutôt, bien plus gravement, que la notion de règle d'ouverture dépendante n'a pas vraiment de sens dans ce cas: c'est un peu un bootstrap, proche à vrai dire d'un paradoxe temporel…

Touriste (2009-05-23T13:32:55Z)

Oh zut je m'aperçois que je me trompais et que je ne la vois pas l'astuce pour gagner à 100 %, enfin je te fais confiance pour qu'elle existe vraiment, ça me fait une nouvelle énigme intéressante.

(Et je me désole à la pensée du rire sardonique du docteur No lisant ce commentaire).

Touriste (2009-05-23T13:16:16Z)

"Avec de tels super-pouvoirs, les mathématiciens de l'énigme de mon entrée précédente arrivent à avoir tous raison, pas seulement 99 sur 100". Oh oui tiens trop fort ! Mais enfin bien sûr qu'ils l'ont ce "super-pouvoir".

Ce problème est décidément absolument rigolo, je ne me doutais pas qu'en postant un "commentaire inutile" j'allais ouvrir à David Madore un chemin pour définitivement ridiculiser le docteur No… Il doit être vert de rage en lisant cette entrée du blog, le malheureux docteur No, oh qu'il est laid et ridicule.

Fork (2009-05-23T10:56:44Z)

@iPidiblue: pun intended?

Fork (2009-05-23T10:23:29Z)

Pfiouu, j'ai à peu près compris les machines de Turing[#], je pense, mais la théorie des ensembles est largement au dessus de ma portée ! Je me replongerai dans les schémas d'ouverture plus tard…

[#]Même si les informaticiens meurent tous dans d'atroces souffrances, c'est quand même ça que je veux faire, moi ;)

iPidiblue dans l'île du docteur No (2009-05-23T09:08:39Z)

Et moi qui croyais que le docteur No voulait détruire le monde ! En fait il veut juste faire des maths avec une bande de copains et si on ne l'arrête pas il va recréer l'Ecole normale supérieure …


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