Comments on A counterexample to the Hodge conjecture?

Tiens, dans la même veine aujourd'hui, je suis tombé sur ça : <URL: http://science.slashdot.org/story/10/08/08/226227/Claimed-Proof-That-P--NP >

Ci-dessous un lien sur une éventuelle confirmation de l'hyprothèse de Riemann :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Louis_de_Branges_de_Bourcia

Joël : peut-on expliquer à un inculte en géométrie algébrique (qui comprend l'énoncé de la conjecture de Hodge un peu par hasard, parce qu'il n'y a là que des mots accessibles au géomètre différentiel) ce qu'est la conjecture de Tate, et ce qu'en pensent les spécialistes ?

L'énoncé est plus difficile à comprendre par hasard puisque cela fait intervenir la cohomologie étale au lieu de la cohomologie singulière et de la cohomologie de De Rham.
La conjecture de Tate a un énoncé formellement assez proche de la conjecture de Hodge : cela dit que dans un groupe de cohomologie d'une variété projective lisse, si un élément vérifie une condition particulière, alors il est égal à la classe d'un cycle algébrique (et trivialement, inversement, la classe d'un cycle algébrique vérifie la condition envisagée). Plus précisément, le corps de base est un corps k de type fini sur son sous-corps premier (hypothèse en apparence bizarre, mais bien nécessaire) ; le groupe de cohomologie est
H^{2d}(X',Q_l(d)) où X est une variété projective lisse, X' son extension à une clôture séparable, d un entier, Q_l(d) le d-ième twist de Tate, et H^{2d} la cohomologie étale. La condition demandée sur la classe de cohomologie est d'avoir une orbite finie sous l'action (continue) du groupe de Galois absolu de k sur la cohomologie étale.

Today, the authors put a new version of their paper on the arXiv, with a comment: "We no longer claim to have disproved the Hodge conjecture. […]" The paper's abstract now talks about "candidates for counterexamples to the Hodge conjecture" (though they didn't change the title!).

I wonder what it must feel like to see a potential $500k vanish into thin air…

voici un lien pour les médaillés fields 2006
http://permanent.nouvelobs.com/culture/20060822.OBS9023.html

Grigory Perelman adore les énigmes mathématiques, pas les honneurs
<URL:http://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-804726@51-804794,0.html>

Diantre, il n'y a vraiment quen math qu'on peut être récompensé pour le seul fond et que la justesse des idées est nécessaire et suffisante. Je connais des domaines où la forme importe avant tout, où la justesse des idées est superflue et suffisante pour éliminer son auteur.

@Gilles : Sincèrement, c'est un peu du pipeau. Serre, Milnor ou Gromov sont de grands mathématiciens : ça fait pas un pli. Après l'ordre n'est pas total, on est d'accord, et ça a probablement aucun sens de comparer Serre ou Gromov. Mais Serre ou (insérer ici le nom de n'importe quel matheux générique contemporain), si.

Il faut s'y faire : il y a des gens qui ont une hauteur de vue inégalée, une intuition extraordinaire, bref, du génie. Après, je pense pas que ça empêche les autres de faire des maths. Il faut être raisonnable dans ses choix, voilà tout.

Là où Serre révolutionne la topologie et l'algèbre, le bon matheux débroussaille certaines voies et résout certains problèmes, et je me conterai sans mal de quelques petits résultats qui intéresseront une demi-douzaine de personnes.

Après, que la valeur de mathématicien soit à peu près indépendante d'autres qualités, de quelque nature que ce soit (pédagogique, humaine, etc…), on est bien d'accord.

Outsiders de la géométrie algébrique…bien sûr…

Mon ancien prof (houlaàà ça date de 10 ans au moins) me disait , il n'a y pas de grands ou petits mathématiciens , seulement il y en a qui ont plus de rèussites que d'autres …mais la valeur de l'homme en tant que mathématicien ne peut-être comparé.Il me disait ça car il me trouvait surement nul de chez nul et voulait pas me décourager …
En s'attanquant à P=NP je suis sur que je ne serais jamais reconnu (ou en travaillant sur autre chose d'ailleurs).
Enfin bref , j'admire le travail que Kim et Roush ont fait et c'est l'essentiel je pense.
A vous la nouvelle génération de matheux de redorer le blasson des maths et de l'inter-disciplinarité.

J'adorerais être un outsider ayant publié dans Ann. Math.

En effet Jean, tu as tout compris de la recherche moderne. La majeure offense: Qu'un "outsider" s'y mette dedans!
En fait si le contre-exemple de Kim et Roush tient la route, les géomètres algébristes vont avoir du mal à s'expliquer.

"I don’t think that the authors don’t know much Hodge theory, but maybe these computer scientists just found something numerical implied by the Hodge conjecture and wrote a program to find a counterexample."

Propos teintés d'un mérpis tel qu'on va bien dire si les auteurs ont vu juste. Ca me fait penser ce qu'on endentais quand le papier "primes is in P" (avant même que certains ne le lise). Le "just" de cette phrase relfète le fonctionnement de bien des institutions de recherche : "Si tu n'es pas du domaine, tu la fermes". Ces mêmes institutions qui mentionnent "l'interdisciplinarité" en première page de leurs sites web…grr…

Joël : peut-on expliquer à un inculte en géométrie algébrique (qui comprend l'énoncé de la conjecture de Hodge un peu par hasard, parce qu'il n'y a là que des mots accessibles au géomètre différentiel) ce qu'est la conjecture de Tate, et ce qu'en pensent les spécialistes ?

At the last URL I've mentionned there are now several comments of people who think the paper is "garbage" and that the authors "don't know what they are talking about"…

Ce qui est amusant, c'est qu'il semble qu'ils démontreraient aussi que la conjecture de Tate est fausse.

These authors are too old for the Fields, but definitely not crakpots, see this < URL: http://www.koreanquarterly.org/Fall1998/kihang3.asp > and < URL: http://arxiv.org/abs/math.DS/9907095 >

And they may not be able to claim the Clay prize either according to some comentators < URL: http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=443 >

C'est fou ça ! La conjecture de poincaré prouvée, celle de Hodge réfutée, le dernier théorème de Fermat démontré, il ne restera bientôt plus rien à démontrer ! Ou alors chercher d'autres problèmes mais alors les énoncés ne seront peut-être plus compréhensibles pour les non-spécialistes (Déjà que les 'Millennium Prize Problems' ne me sont pas toutes accessibles, loin de là).

C'est quand même génial !

Je n'y comprends rien mais je vois qu'ils utilisent des programmes. Vu la taille des matrices, ce n'est pas vérifiable à la main…

T'as qu'à faire du lobbying pour que le parlement français introduise une loi qui "reconnaît la véracité de la conjecture de Hodge". Nos députés aiment bien faire ce genre de lois.

On ne va pas se laisser emmerder par des scientifiques fouineurs, non plus.

Salut,
Dans quelques jours , il y a le congré à Madrid ,
je crois que K. H. Kim et F. W. Roush vont être sur toutes les bouches .Et s'ils ont moins de 40 ans …avec Perelman , ils pourraient être médaillés…

I'm pretty sure she's on vacation, although she'd be the first informed. She is used only to check e-mail during her holiday time, and not to browse web. As she hasn't any phone yet.

The fact is that I'd rather keep my distance with her…
Anyway, I could post her any letters. With a funny signature : "a simple friend of you" just like a blackmail :-D
Let's say 1 day more and I keep in touch with one or two of her PhD students.

How far did you get into the article ?

Completely flabbergasted !

I haven't found any failures by the first reading.
Tomorrow I'll probably spend the rest of the day looking for any approximations or things I dunno.

Did you notice Claire of this paper ? I do believe she'll like to…

Thanks for the news !