Comments on L'arbre de Stern-Brocot

Notfancy (2005-04-18T16:08:36Z)

A couple of related things: Gibbons et al. discuss enumerating the rationals using a SB-like construction in <http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/jeremy.gibbons/publications/rationals.pdf>. They cite a paper by Wilf et al., <http://www.math.upenn.edu/~wilf/website/recounting.pdf>, for the relevant theory.

For the motivation behind SB trees, see the article by Brian Hayes, <http://www.americanscientist.org/template/AssetDetail/assetid/20826>.

bidibulle (2005-04-17T10:37:39Z)

mmm il me semble que le premier lien y fait allusion, du moins si j'en crois la fonction find acroread.

Ruxor (2005-04-17T00:15:22Z)

Il y a très peu de liens entre les suites de Farey et l'arbre de Stern-Brocot (à mon avis ce dernier est un objet beaucoup plus naturel et plus important que les suites de Farey), à part vaguement qu'il peut servir à les calculer, et évidemment que tous les deux parlent de rationnels. J'ai l'impression que tes liens parlent de suites de Farey, pas de l'arbre de Stern-Brocot.

bidibulle (2005-04-17T00:11:03Z)

Dis moi, il me semble avoir vu une application bizarroide de cet objet en physique mathematique:

<URL: http://arxiv.org/pdf/math-ph/0503030 >

Je me trompe??

Sur le sujet des gaz de nombres premiers et des chaines de Farey on peut aller voir:

<URL: http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/spinchains.htm >

et aussi:
<URL: http://www.mis.mpg.de/preprints/ln/lecturenote-0398-abstr.html >

Ruxor (2005-04-16T12:49:09Z)

Les fonctions continues croissantes de [0;1] vers [0;1], évidemment, il y en a plein. L'escalier du diable a des points anguleux (= la dérivée gauche et la dérivée droite ne coïncident pas), et d'ailleurs partout où la dérivée existe (ce qui est presque partout, comme pour toute fonction à variations bornées) elle est nulle ; la fonction de Stern-Brocot dont je parle, en revanche, est dérivable partout (de dérivée finie si je ne me trompe pas), et la dérivée ne s'annule *que* sur les rationnels (enfin bon, ça aussi c'est facile à construire de plein d'autres manières). Besicovitch a étudié des classes de telles fonctions, je serais incapable de dire s'il a étudié celle-la en particulier (comme je viens de dire, ce qui est intéressant, ce ne sont pas ses propriétés d'analyse, qui sont partagées avec plein d'autres fonctions faciles à construire, mais ses propriétés vraiment arithmétiques).

lutin maniaque (2005-04-16T10:02:53Z)

À chaque niveau, la règle de construction est de placer entre deux fractions déjà formées la fraction dont le numérateur et le dénominateur sont chacun somme de ceux des deux fractions gauche et droite* entre lesquelles on intercale la nouvelle
*l'une de ces fractions (à gauche ou à droite) étant du niveau immédiatement précédent, dont la nouvelle fraction est la fille (droite ou gauche).

f3etoiles (2005-04-16T05:24:15Z)

Ce graphe lui-même, j'ai d'abord pensé que c'était l'escalier du diable (<URL: http://www.mathcurve.com/fractals/escalierdudiable/escalierdudiable.shtml >). Mais je suis sûr de l'avoir déjà vue quelque part chez Mandelbrot, et sous cette forme, il est dû à Besicovitch, si ma mémoire est bonne


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