Comments on On a theorem by Max Noether

Ruxor (2004-04-23T17:09:18Z)

Karl P: You are wrong in assuming that the dimension of groups is additive in the sense you seem to think it is. As explained in my initial entry, merely adding *two* particular Cremona transformations (just two, not a dimension two group of them) to the projective transformations group (which has dimension 8) gives *all* birational transformations, whose group (the Cremona group) is infinite dimensional. I suspect that adding more or less any given plane conformal mapping (say, the complex map taking z to 1/z) will extend the group of plane similitudes to the whole group of conformal mappings.

Mouton (2004-04-23T12:52:12Z)

Ben tu vois que ça intéresse du monde ! Toi qui me disait le contraire ! Tu manques de confiance en toi, Ruxor…

Karl P (2004-04-23T12:30:54Z)

Thank you Ruxor for your reply

I expect the intersection between the conformal transformations and the projections is the group of transformations made from translations, rotations and uniform scalings. It has dimension 4 (image of two points specifies it). This I think is what Ruxor means by plane similitudes.

Now what group of conformal transformations needs to be added to this to generate the whole group of conformal transformations (by composition)?
This group would have dimension 2.

Ruxor (2004-04-22T13:51:30Z)

Karl P: Conformal transformations are, indeed, birational. If you can read French enough to read my first reply on this entry, this is what it's about (except that maybe there's a slight different between conformal transformations and Moebius transformations, like one of them preserving orientation and the other not necessarily, I'm not sure about these subtleties, but basically they're irrelevant).

The group of conformal transformations of the plane is PGL(2,C), which is of dimension 6 (real 6, complex 3). This is clear because specifying the image of three (sufficiently general) points of the plane determines the conformal transformation. The group of (real) projective transformations is PGL(3,R), which is of dimension 8 (this time one must specify the image of four points to determine the transformation). Both are subgroups (but there is no inclusion between them! their intersection is, if I am not mistaken, the group of plane similitudes, which has dimension 4) of the full Cremona group, which is infinite-dimensional.

Karl P (2004-04-22T12:21:35Z)

I am Grateful to Ruxor for his answer.

Another interesting class of mappings of the plane (or any higher dimensional space) into itself are the conformal tranformations. These transformations preserve angle, but change scale variably.

I believe that the smallest class of curves that includes straight lines that is invariant under conformal transformations is circles and straight lines.

Have you any thing interesting to say about conformal transformations?
Are all conformal tranformations birational?

Ruxor (2004-04-19T18:26:46Z)

Karl P: The smallest class of curves containing lines and preserved by rational transformations are the rational curves (i.e. rationally parametrizable). They include all lines and conics, but also all singular cubics and some curves of arbitrarily high degree (though, loosely speaking, the higher the degree the more singular the curve has to be in order to be rational).

Karl P (2004-04-19T13:29:33Z)

The projective transformations preserve lines.
What is the smallest class of curves that is preserved by any bi-rational transformation?

Ruxor (2004-04-18T17:41:06Z)

Non, il n'y a pas de raison de préserver les coniques. Les transformations projectives du plan (telles que je les ai définies) préservent les droites, les coniques, les cubiques, etc., bref, le degré de chaque courbe ; en revanche, les transformations de Cremona, en général, non. (Par exemple, si on prend la parabole y=1+x² et qu'on la transforme par l'une ou l'autre des transformations de Cremona basiques que j'ai définies, clairement on n'obtient pas une conique.) Le degré peut même monter arbitrairement. Le groupe de Cremona, c'est juste les applications rationnelles du plan dans lui-même qui ont une réciproque qui est aussi rationnelle, on ne peut pas faire mieux. Ce qui est vrai, en revanche, c'est que si une courbe a un paramétrage rationnel (et notamment si c'est une conique), sa transformée par un élément du groupe de Cremona en aura encore un (mais ça peut être une cubique avec un point singulier, par exemple).

denis f (2004-04-18T17:08:05Z)

J'ai dû faire une fausse manoeuvre dans mon précédent post : je ne suis pas un lâche anonyme. Bon, à part ça, évidemment, j'ai raté les affinités ; j'avais finalement bien fait de poster anonymement… Du coup, je suppose que le groupe de Cremona, c'est les transformations (quasi-bijectives) qui conservent les coniques. J'ai bon, là?

Ruxor (2004-04-18T16:36:27Z)

Si ma mémoire défaillante est bonne, les transformations de Moebius doivent être les homographies (transformations projectives) de la sphère de Riemann, c'est-à-dire si on considère le plan comme la droite projective complexe (de dimension 1 complexe, donc 2 réelle). Si on les voit dans le plan réel, ça donne bien des transformations birationnelles, mais assez particulières ; évidemment, le théorème de Max Noether s'applique à elles en particulier.

Il flotte dans l'air cette confusion permanente entre le plan vu comme droite projective complexe (ou dans la sphère de Riemann via la projection *stéréographique*) et le plan vu comme plan projectif réel (vu dans la sphère quotientée par l'antipodie via la projection *gnomonique*). Dans un cas les cercles sont des objets intéressants, dans le second, les droites en sont et les coniques en sont mais les cercles pas particulièrement.

Anonymous Coward #821 (2004-04-18T15:51:33Z)

Le groupe des transformations de Moebius (celles qui conservent les cercles) est-il juste un autre nom pour ça, ou est-ce que je rate quelque chose?


You can post a comment using the following fields:
Name or nick (mandatory):
Web site URL (optional):
Email address (optional, will not appear):
Identifier phrase (optional, see below):
Attempt to remember the values above?
The comment itself (mandatory):

Optional message for moderator (hidden to others):

Spam protection: please enter below the following signs in reverse order: 1b7ee4


Recent comments