Définition 1. Un ensemble E est dit transitif ssi pour tout x ∈ E et tout y ∈ x on a y ∈ E.

Définition 2. Un ensemble α est un ordinal ssi α est transitif et α est bien-ordonné (strictement) par la relation ∈ (d’appartenance).

Théorème 3 (AR). Un ensemble α est un ordinal ssi α est transitif et α est totalement ordonné (strictement) par la relation ∈ (d’appartenance).

Démonstration : soit α′ ⊆ α. Si α′ n’est pas vide, on applique Régularité. Il existe un x ∈ α′ tel que x ∩ α′ = ∅. Soit y ∈ α′ quelconque. On ne peut pas avoir y ∈ x et y ∈ α′ donc y ∉ x. Il s’ensuit que x ∈ y ou x = y car α est totalement ordonné. Par suite, x est le plus petit élément de α′, donc tout sous-ensemble non-vide de α a un plus petit élément. Donc α est bien-ordonné, donc c’est un ordinal. (C.Q.F.D.)

Théorème 4. ∅ est un ordinal. Si α est un ordinal alors α ∪ {α} est un ordinal.

Démonstration : ∅ est un ordinal (trivial). Soit α un ordinal, et soit α′ = α ∪ {α}. Si x ∈ α′ et y ∈ x alors soit x ∈ α (alors y ∈ α car α est transitif et donc y ∈ α′), soit x = α (alors y ∈ α donc y ∈ α′), donc y ∈ α′ donc α′ est transitif.

On vérifie aisément que ∈ est une relation d’ordre strict sur α′ qui prolonge ∈ sur α. Si α′′ ⊆ α′ n’est pas vide alors soit α ∉ α′′ (alors α′′ ⊆ α donc α′′ a un plus petit élément car α est bien-ordonné) soit α ∈ α′′ alors on pose α^{∗} = α′′ \ {α} ; si α^{∗} est vide alors α′′ = {α} donc a un plus petit élément, α ; sinon, α^{∗} a un plus petit élément car α^{∗} ⊆ α et que α est bien-ordonné ; comme pour tout x ∈ α^{∗}, x ∈ α, en particulier c’est vrai pour le plus petit élément de α^{∗} qui reste donc plus petit élément de α′′, donc dans tous les cas α′′ a un plus petit élément. Donc α′ est bien-ordonné, donc c’est un ordinal. (C.Q.F.D.)

Définition 5. Si α est un ordinal, on note α^{+} = α ∪ {α}. On pose 0 = ∅, 1 = 0^{+}, 2 = 1^{+}, etc. Si α et α′ sont des ordinaux, on note α < α′ pour α ∈ α′, α ≤ α′ pour α < α′ ou α = α′, α > α′ (resp. α ≥ α′) pour α′ < α (resp. α′ ≤ α).

Théorème et définition 6. Il existe un unique ensemble noté ω tel que 0 ∈ ω, que si α ∈ ω alors α^{+} ∈ ω, et que si pour un ensemble ω′ on a 0 ∈ ω′ et α ∈ ω′ entraîne α^{+} ∈ ω′, alors ω ⊆ ω′.

Démonstration : On appellera I(ω_{i}) la propriété : 0 ∈ ω_{i} et si α ∈ ω_{i} alors α^{+} ∈ ω_{i}. Et on appellera N(ω_{i}) la propriété : I(ω_{i}) et si I(ω′_{i}) alors ω_{i} ⊆ ω′_{i}. On veut donc montrer l’existence d’un unique ω tel que N(ω).

L’unicité de ω est évidente car si N(ω_{1}) et N(ω_{2}) alors ω_{1} ⊆ ω_{2} et ω_{2} ⊆ ω_{1}, donc (par l’axiome d’extension) ω_{1} = ω_{2}.

L’axiome de l’infini se traduit par l’existence d’un ω_{i} tel que I(ω_{i}).

Si I(ω_{i}), on note ω_{i}^{∗} l’intersection de toutes les parties ω_{p} de ω_{i} telles que I(ω_{p}). Comme I(ω_{i}), cette intersection existe. Si I(ω_{p}) avec ω_{p} ⊆ ω_{i} alors ω_{i}^{∗} ⊆ ω_{p}. Soient ω_{1} et ω_{2} tels que I(ω_{1}) et I(ω_{2}), et que ω_{1} ⊆ ω_{2}. Alors ω_{2}^{∗} ⊆ ω_{1} (car I(ω_{1})) et donc ω_{1}^{∗} ⊆ ω_{2}^{∗} (car I(ω_{2}^{∗})). Par ailleurs, si x ∈ ω_{2}^{∗} et que ω_{p} ⊆ ω_{1} et I(ω_{p}) alors ω_{p} ⊆ ω_{2} donc ω_{2}^{∗} ⊆ ω_{p}, donc x ∈ ω_{p} ; donc x ∈ ω_{1}^{∗} (par définition de ω_{1}^{∗}). Donc ω_{2}^{∗} ⊆ ω_{1}^{∗}. Donc ω_{1}^{∗} = ω_{2}^{∗} (par l’axiome d’extension). Soient maintenant ω_{1} et ω_{2} quelconques tels que I(ω_{1}) et I(ω_{2}), et soit ω_{i} = ω_{1} ∩ ω_{2}. Alors ω_{1}^{∗} = ω_{i}^{∗} = ω_{2}^{∗}.

Soit ω_{i} un ensemble quelconque tel que I(ω_{i}) (il existe par l’axiome de l’infini). Nous avons vu que ω_{i}^{∗} est indépendant du choix de ω_{i}. On le notera ω. Soit ω_{j} tel que I(ω_{j}). Alors ω = ω_{j}^{∗} donc ω ⊆ ω_{j}. Donc N(ω). (C.Q.F.D.)

Théorème 7 (règle de récurrence). Si ω′ ⊆ ω, que 0 ∈ ω′ et que α ∈ ω′ entraîne α^{+} ∈ ω′, alors ω′ = ω.

Démonstration : on a ω′ ⊆ ω. Par ailleurs, par la définition de ω, ω ⊆ ω′. Donc (par l’axiome d’extension), ω′ = ω. (C.Q.F.D.)

Théorème 8. ω est ordinal, et tous ses éléments sont des ordinaux.

Démonstration : soit ω′ l’ensemble des éléments de ω qui sont des ordinaux. ω′ ⊆ ω, 0 ∈ ω′ et si α ∈ ω′ alors α^{+} ∈ ω′ (théorème 4). Donc ω′ = ω donc tous les éléments de ω sont des ordinaux.

Soit ω′ l’ensemble des α ∈ ω tels que si α′ ∈ α alors α′ ∈ ω. On a ω′ ⊆ ω, 0 ∈ ω′. Si α ∈ ω′ et que α′ ∈ α^{+} alors soit α′ ∈ α (alors α′ ∈ ω car α ∈ ω′), soit α′ = α (alors α′ ∈ ω car α ∈ ω) ; donc α^{+} ∈ ω′. Donc, par le théorème 7, ω′ = ω. Donc ω est transitif.

On vérifie aisément que ω est ordonné par ≥ : la réflexivité et la transitivité sont évidentes. L’antisymétrie se vérifie ainsi : si α ∈ α′ et α′ ∈ α alors α ∈ α (car α est un ordinal donc transitif), donc α n’est pas ordonné (strictement) par ∈, donc il n’est pas un ordinal, ce qui est une contradiction.

Enfin, montrons que ω est bien-ordonné : soit α ⊆ ω non-vide et soit α′ ∈ α quelconque. Soit α^{∗} = α ∪ α′. Si α^{∗} est vide, α′ est le plus petit élément de α, sinon, α^{∗} a un plus petit élément (car α′ est un ordinal), et on vérifie qu’il est aussi le plus petit élément de α. Donc ω est bien-ordonné.

Donc ω est un ordinal, et tous ses éléments sont des ordinaux. (C.Q.F.D.)