Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Neuvième semaine (calculs dans un anneau, dérivées)

David A. Madore ( )

Inverses à gauche et à droite. Soit A un anneau, et x ∈ A. On appelle inverse à gauche de x un élément y ∈ A tel que yx = 1. Montrer que

1) Si x admet un unique inverse à gauche, alors x est inversible.

2) Si x admet au moins deux inverses à gauche, alors il en admet une infinité.

Encore des inverses. Soit A un anneau, et a, b ∈ A. Montrer que 1 − ab est inversible dans A si et seulement si 1 − ba l’est.

Un exemple classique. On considère la fonction ℝ → ℝ donnée par f(x) = e^{−1/x^{2}} si x ≠ 0, et f(0) = 0. Montrer que f est de classe C^{∞} et que toutes ses dérivées s’annulent en 0.

Un autre exemple classique. On considère la fonction ℝ → ℝ donnée par f(x) = x^{2} cos \frac{1}{x} si x ≠ 0, et f(0) = 0. Montrer que f est dérivable sur ℝ mais que sa dérivée n’est pas continue. Montrer par un exemple semblable que pour n’importe quel k une fonction peut admettre en tout point un développement limité en O(x^{k}) sans pour autant être de classe C^{1}. Plus difficile : (en s’inspirant de l’exercice précédent) montrer qu’une fonction peut admettre en tout point des développements limités à tous les ordres sans pour autant être de classe C^{1}.

La démonstration la plus facile du théorème de Darboux. Il s’agit de montrer que la dérivée d’une fonction dérivable vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, autrement dit que si f: I → ℝ est dérivable (où I est un intervalle) et que x < y sont deux points de I et λ compris entre f′(x) et f′(y) alors il existe t ∈ [x; y] tel que f′(t) = λ. Pour cela, on définit φ: ]x; y[→ ℝ par φ(u) = (f(u) − f(x))/(u − x) et ψ: ]x; y[→ ℝ par ψ(u) = (f(u) − f(y))/(u − y). Montrer que φ et ψ se prolongent par continuité à [x; y], et que λ appartient à φ([x; y]) ou à ψ([x; y]). Conclure.

Exercice plus subtil qu’il n’y paraît. Soit f une fonction réelle (définie sur ℝ) dérivable s’annulant en une infinité de points. Montrer qu’il en va de même de sa dérivée.