Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Septième semaine (fonctions numériques)

David A. Madore ( )

Exercice trop facile. Comparer les fonctions

t^{α} et e^{(ln t)^{β}}

quand t → +∞, avec α, β > 0.

Exercice amusant. Soit (f_{n}) une suite quelconque de fonctions réelles (définies sur ℝ tout entier, disons). Montrer qu’il existe f: ℝ → ℝ telle que f_{n}(t) = o(f(t)) quand t → +∞ pour tout n.

Exercice médiocrement intéressant. Soit A une partie de ℝ. Montrer l’équivalence entre les assertions suivantes :

(i) Toute fonction continue sur A est bornée. (ii) Toute fonction continue sur A et bornée atteint ses bornes.

Montrer que de plus dans ces conditions A est borné (i.e. contenu dans un intervalle de longueur finie) et que son complémentaire est un voisinage de chacun de ses points (une façon ridicule de dire que A est fermé, mais on fera avec).

Contre-exemple habituel. Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (i.e. si f(a) < y < f(b) alors il existe x strictement compris entre a et b tel que y = f(x)) est-elle nécessairement continue ?