Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Sixième semaine (suites réelles, fonctions numériques)

David A. Madore ( )

Filtres. On se propose de formuler une définition qui permettra d’unifier toutes les limites vues en cours. On appelle \underline{filtre} sur ℝ un ensemble 𝔉 de parties de ℝ tel que

(i) 𝔉 ≠ ∅ et ∅ ∉ 𝔉 (“𝔉 est non vide mais ne contient pas le vide”). (ii) Si U ∈ 𝔉 et U ⊆ V ⊆ ℝ alors V ∈ 𝔉 (“𝔉 est stable par agrandissement”). (iii) Si U, V ∈ 𝔉 alors U ∩ V ∈ 𝔉 (“𝔉 est stable par intersections finies”).

Donner des exemples variés de filtres sur ℝ. Si 𝔉 et 𝔊 sont deux filtres sur ℝ, on dit que 𝔉 est \underline{plus fin} que 𝔊 ssi 𝔉 ⊇ 𝔊. Si 𝔉 est un filtre sur ℝ et a ∈ ℝ, on dit que 𝔉 \underline{converge} vers a ssi 𝔉 est plus fin que le filtre 𝔙_{a} des voisinages de a (i.e. le filtre dont les les éléments sont exactement les voisinages de a). Si 𝔉 est un filtre sur ℝ et f: ℝ → ℝ est une application quelconque, on définit l’\underline{image directe} de 𝔉 par f, notée f_{∗}𝔉, de la façon suivante :

f_{∗}𝔉 = {U ⊆ ℝ : f^{−1}(U) ∈ 𝔉}

Montrer que f_{∗}𝔉 est encore un filtre. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f_{∗}𝔙_{a} converge vers b (a et b étant des points de ℝ). Formuler des conditions semblables à l’infini. Généralisations diverses. Utiliser les filtres pour prouver le théorème de composition des limites.

Fonction de Weierstraß. On considère la fonction f définie par

f(t) = \{ \begin{matrix}0 & si t est irrationnel \\ \frac{1}{q} & si t = p/q sous forme irréductible \end{matrix}

Trouver les points où f est continue et les points où f est discontinue.

Exercice intéressant. Si x est un nombre réel, on note ⌊x⌋ sa partie entière et ♭x = x − ⌊x⌋ sa partie fractionnaire. Montrer que la suite (♭\sqrt{n}) n’a pas de limite. Un peu plus difficile : montrer que l’ensemble des valeurs prises par cette suite est dense dans [0; 1], ou, ce qui revient au même, que l’ensemble des réels de la forme m + \sqrt{n} est dense dans ℝ.

Critère de Cauchy sur les fonctions. Soit f une fonction numérique, et a ∈ ℝ. Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

(i) f admet une limite en a. (ii) Pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que si |x−a| < η et |y−a| < η alors |f(y)−f(x)| < ε.