Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Troisième semaine (suites réelles)

David A. Madore ( )

Exercice trop facile. Soit (u_{n}) une suite prenant toutes les valeurs rationnelles. Montrer que (u_{n}) n’admet pas de limite.

Exercice toujours un peu trop facile. Soit (u_{n}) une suite réelle. On suppose que u_{n}^{2} → λ. Que peut-on dire de (u_{n}) ?

Exercice un peu moins trop facile. Soit (u_{n}) une suite réelle, telle que (u_{2n}) et (u_{2n+1}) convergent respectivement vers des limites notées λ et λ′. Montrer que si λ = λ′ alors (u_{n}) converge et trouver sa limite, et que si λ ≠ λ′ alors (u_{n}) ne converge pas.

Exercice beaucoup moins trop facile. Soit (u_{n}) une suite réelle, et φ: ℕ → ℕ une bijection quelconque. On suppose que (u_{n}) converge vers λ ∈ ℝ. Montrer qu’il en va de même de (u_{φ(n)}).

Exercice pas vraiment trop facile. Montrer qu’il n’existe pas de suite (u_{n}) prenant toutes les valeurs réelles.

Exercice pas du tout du tout trop facile. Soit (u_{n}) une suite réelle bornée ; on pose v_{n} = u_{n+1} − u_{n} et w_{n} = v_{n+1} − v_{n}. On suppose de plus que (w_{n}) converge. Montrer que (w_{n}) tend vers 0 et (plus dur) que (v_{n}) aussi.