Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Trentième et dernière semaine (révisions générales)

David A. Madore ( )

Un exercice très intéressant. On considère une application f: ℝ^{2} → ℝ continue. Montrer qu’il existe deux points distincts symétriques par rapport à l’origine ayant la même image par f. Montrer le même résultat pour deux points tels qu’on passe de l’un à l’autre par une rotation d’angle π/4 autour de l’origine. Enfin, montrer le même résultat avec un angle α quelconque.

Exercice épatant. Déterminer la nature de la série de terme général sin[(2 + \sqrt{3})^{n}π].

Indépendance. On considère ℝ comme un ℚ-espace vectoriel. Montrer que les réels log p (où p parcourt les nombres premiers) sont linéairement indépendants. Beaucoup plus difficile : montrer le même résultat pour les \sqrt{n} où n parcourt les naturels qui ne sont divisibles par aucun carré parfait (1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, etc.)

Matrices. Soient A et B deux matrices réelles n × n. On suppose que A^{2} + B^{2} = AB et que AB − BA est inversible. Montrer que 3|n.