Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Vingt-huitième semaine (géométrie affine)

David A. Madore ( )

Théorème de Carathéodory. Soit E un espace affine réel de dimension n, et x_{1}, …, x_{m} des points de E. On considère une combinaison convexe x = t_{1}x_{1} + ⋯ + t_{m}x_{m} avec t_{i} ≥ 0 pour tout i et ∑_{i} t_{i} = 1. Montrer qu’on peut réécrire cette combinaison convexe de sorte qu’au plus n + 1 des t_{i} soient non nuls.

Solution : On procède par récurrence sur m. Pour m ≤ n + 1, il n’y a rien à montrer. Supposons donc m ≥ n + 2. L’hypothèse de récurrence permet d’ores et déjà de supposer les t_{i} tous non nuls (sans quoi en le supprimant on est ramené à un m plus petit). Par ailleurs, puisque 𝔈 est de dimension n, et que les x_{i} sont en nombre au moins n + 2, ils sont affinement liés, c’est-à-dire qu’il existe λ_{1}, …, λ_{m} tels que ∑_{i} λ_{i} = 0, et ∑_{i} λ_{i}x_{i}, les λ_{i} n’étant pas tous nuls (cela se voit en écrivant le fait que les x_{i} − x_{0} sont linéairement liés et en développant). Pour tout réel α, on a alors ∑_{i}(t_{i} + αλ_{i})x_{i} = x, avec ∑_{i}(t_{i} + αλ_{i}) = 1. Considérons le plus petit α en valeur absolue tel qu’un des t′_{i} = t_{i} + αλ_{i} soit nul (un tel α existe, et c’est précisément celui des réels −t_{i}/λ_{i} (pour les i tels que λ_{i} ≠ 0) qui est le plus petit en valeur absolue). On a alors t′_{i} ≥ 0 pour tout i (par le théorème des valeurs intermédiaires) et t′_{i} = 0 pour un i. Par ailleurs, on a toujours ∑_{i} t′_{i} = 1 et ∑_{i} t′_{i}x_{i} = x, et on conclut par hypothèse de récurrence puisqu’on peut maintenant éliminer un des t_{i}.

Théorème de Markoff-Kakutani. Soit K une partie convexe fermée bornée non vide d’un espace affine normé 𝔈 réel (c’est-à-dire un espace affine dont le vectoriel tangent est normé — pour simplifier, on pourra prendre 𝔈 euclidien) de dimension finie. Soit Γ un ensemble d’applications affines de E envoyant K dans lui-même et qui commutent (deux à deux). Montrer que Γ a un point fixe dans K, c’est-à-dire qu’il existe a ∈ K tel que u(a) = a pour tout u ∈ Γ.

Solution : Commençons par montrer le résultat lorsque Γ est réduit à un seul élément u. Soit x_{0} un point quelconque de K, et notons x_{n} = \frac{1}{n}(x_{0} + u(x_{0}) + ⋯ + u^{n−1}(x_{0})): on a bien x_{n} ∈ K parce que u^{i}(x_{0}) ∈ K pour tout i (puisque que K est stable par u) et que x_{n} est une combinaison convexe de tels points (et que K est convexe). Par ailleurs, u(x_{n}) − x_{n} = \frac{1}{n}(u^{n}(x_{0}) − x_{0}) tend vers 0 puisque sa norme est majorée par \frac{M}{n} où M majore la distance entre deux points quelconques de K (l’existence de M est précisément le fait que K est borné). D’après le théorème de Bolzano-Weierstraß, il existe une suite extraite (x_{φ(n)}) de (x_{n}) qui converge vers un point a, et a ∈ K puisque K est fermé; comme u(x_{φ(n)}) − x_{φ(n)} tend vers 0, on a u(a) = a, donc a est un point fixe, ce qu’il fallait démontrer.

Traitons maintenant le cas où Γ = {u_{1}, …, u_{r}} est fini, par récurrence sur r. Pour r = 0, c’est trivial. Si r > 0, considérons le sous-ensemble K′ de K constitué des points laissés fixes par u_{1}, …, u_{r−1}. Par hypothèse de récurrence on sait que K′ est non vide. Or K′ est clairement fermé (c’est l’image réciproque du fermé {0} par l’application continue x ↦ ∑ ∥u_{i}(x) − x∥) et borné (puisqu’il est inclus dans K), et K′ est convexe (vérification immédiate). De plus, K′ est stable par u_{r} car si x ∈ K′, on a u_{i}(u_{r}(x)) = u_{r}(u_{i}(x)) = u_{r}(x) donc u_{r}(x) ∈ K′ (on rappelle que les u_{i} ont été supposées deux à deux permutables). D’après ce qu’on a déjà montré, on sait donc que u_{r} a un point fixe dans K′, et alors ce point est fixe par tous les u_{i}, ce qu’il fallait démontrer.

Traitons enfin le cas général où Γ est (éventuellement) infini. Pour tout u ∈ Γ, notons K_{u} l’ensemble des points de K fixes par u. On a vu que pour tous u_{1}, …, u_{r} ∈ Γ on a K_{u_{1}} ∩ ⋯ ∩ K_{u_{r}} ≠ ∅, et on veut montrer que ⋂_{u∈Γ} K_{u} ≠ ∅. Comme les K_{u} sont des fermés dans K qui est un fermé borné en dimension finie, ceci découle du théorème de Borel-Lebesgue.

Systèmes de Steiner. Soient 1 < t < k < v des entiers. On appelle \underline{système de Steiner} de type (t, k, v) un ensemble X de cardinal v muni d’un ensemble B constitués de parties à k éléments de X, appelés “blocs”, de telle sorte que t éléments (distincts) quelconques de X appartiennent toujours à un unique bloc.

(1) Calculer le nombre de blocs d’un système de Steiner de type (t, k, v).

(2) Soit q un nombre premier (ou plus généralement une puissance d’un nombre premier); montrer qu’il existe un système de Steiner de type (2, q, q^{2}).

(3) Soit q un nombre premier (ou plus généralement une puissance d’un nombre premier); montrer qu’il existe un système de Steiner de type (2, q + 1, q^{2} + q + 1).

(4) Soit m ≥ 3. Montrer qu’il existe un système de Steiner de type (3, 4, 2^{m}).

(5) Montrer qu’il n’existe pas de système de Steiner de type (3, 9, 27).

Solution :

(1) Un bloc est déterminé par le choix de t éléments parmi v, ce qui fait C_{v}^{t} choix possibles. Mais il y a C_{k}^{t} façons de nommer le même bloc de cette façon. Le nombre de blocs est donc

\frac{C_{v}^{t}}{C_{k}^{t}} = \frac{v(v − 1) ⋯ (v − t + 1)}{k(k − 1) ⋯ (k − t + 1)}

En particulier, s’il existe un système de Steiner de type (t, k, v), cette quantité doit être un entier.

(2) Soit 𝔽_{q} l’unique corps à q éléments (pour q premier, c’est ℤ/qℤ). On considère un espace affine X de dimension 2 sur 𝔽_{q}, et on appelle bloc de X une droite de l’espace affine. Il est clair que X a q^{2} éléments, et toute bloc de X, étant un espace affine de dimension 1 sur 𝔽_{q}, a q éléments. Enfin, deux points distincts de X appartiennent a une et une seule droite. On a donc construit un système de Steiner de type (2, q, q^{2}).

(3) On considère cette fois pour X l’ensemble des droites vectorielles dans un espace vectoriel V de dimension 3 sur 𝔽_{q}. Une droite vectorielle est déterminée par la donnée d’un vecteur non nul, et il y a q^{3} − 1 tels vecteurs; comme chaque droite est déterminée par q − 1 vecteurs (un vecteur ou un de ses multiples donne la même droite), le cardinal de X est \frac{q^{3}−1}{q−1} = q^{2}+q+1. On appellera un bloc de X l’ensemble de toutes les droites vectorielles contenues dans un certain plan vectoriel de V. Par un raisonnement semblable, tout plan vectoriel contient exactement q + 1 droites vectorielles, c’est-à-dire que tout bloc de X est de cardinal q+1. Enfin, deux droites vectorielles distinctes de V sont contenues dans un unique plan vectoriel, à savoir l’espace vectoriel qu’elles engendrent. On a donc construit un système de Steiner de type (2, q + 1, q^{2} + q + 1) (le plan projectif sur 𝔽_{q}).

(4) On considère pour X un espace affine de dimension m sur 𝔽_{2}, et on appelle bloc de X un plan (affine) de cet espace affine. Clairement, X est de cardinal 2^{m}, et chaque bloc est de cardinal 4. Enfin, comme trois points ne peuvent jamais être alignés, trois points distincts déterminent toujours un unique plan: on a donc construit un système de Steiner d’indices (3, 4, 2^{m}).

(5) Si un tel système existait, \frac{27×26×25}{9×8×7} devrait être entier. Mais 7 est premier et ne divise aucun terme du numérateur, ce qui est une contradiction. Remarque : On sait qu’il existe un système de Steiner de type (5, 8, 24).

De plus, il est unique à isomorphisme près. Mis à part qu’il s’agit d’un objet réellement miraculeux, il joue un rôle très important en théorie des groupes finis (son groupe d’automorphismes est le groupe M_{24} de Mathieu, un des plus petits groupes sporadiques), et il permet de construire un code correcteur d’erreur remarquable, le code de Golay.