Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Vingt-septième semaine (espaces euclidiens de dimension 2 et 3)

David A. Madore ( )

Exercice folklorique. On considère une partition du plan euclidien en n parties telles que deux points à distance 1 ne soient jamais dans la même partie. Montrer que la partition a au moins 4 parties. Montrer qu’il existe une telle partition avec au plus 7 parties.

Exercice agricole. On considère n points dans le plan euclidien F_{1}, …, F_{n} (les “fermes”) et n points P_{1}, …, P_{n} (les “puits”). On supposera que les 2n points F_{1}, ldots, F_{n}, P_{1}, …, P_{n} sont en position générique, c’est-à-dire que trois quelconques d’entre eux ne sont jamais alignés. Montrer qu’il existe un σ ∈ 𝔖_{n} tel que les n segments [F_{i}; P_{σ(i)}] soient deux à deux disjoints (il existe une façon de relier chaque ferme à un puits et un seul par un chemin rectiligne de façon que les chemins ne se coupent jamais).

Archiclassiquissime. Soit 𝔈 un espace euclidien (pipeau obligatoire : “de dimension 2 ou 3”), et p un projecteur de 𝔈. On appelle norme de p le plus petit réel K tel que ∥p(x)∥ ≤ K∥x∥ pour tout x, et on le note ∥p∥. Montrer que ∥p∥ ≥ 1, avec égalité si et seulement si p est un projecteur orthogonal.

Exercice ridicule. Soit (P_{i})_{i∈I} une famille de points du plan tels que trois quelconques d’entre eux ne soient jamais alignés et que la distance entre deux quelconques d’entre eux soit un entier. Montrer que I est fini.