Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Vingt-sixième semaine (équations différentielles d’ordre 1, fonctions convexes)

David A. Madore ( )

Évidences(?). Soit A un ouvert. Montrer que l’eveloppe convexe de A est un ouvert. Ceci reste-t-il vrai pour un fermé ? Soit A un convexe. Montrer que l’intérieur de A est un convexe (l’intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A, c’est-à-dire l’ensemble des points dont A est un voisinage. Montrer que l’adhérence de A est un convexe (l’adhérence de A est le plus petit fermé contenant A, c’est-à-dire l’ensemble des points adhérents à A).

Exercice curieux. Soit A un convexe, a un point intérieur à A (c’est-à-dire un point dont A est un voisinage), b un point adhérent à A. Montrer que [a; b[⊆ A (où [a; b[ désigne l’ensemble des (1 − t)a + tb où t parcourt [0; 1[).

Théorème du tonneau. On appelle “tonneau” de ℝ^{n} une partie T de ℝ^{n} vérifiant les propriétés suivantes :

(i) T est convexe. (ii) T est fermé. (iii) T est équilibré, c’est-à-dire que si x ∈ T et que −1 ≤ t ≤ 1 alors tx ∈ T. (iv) T est absorbant, c’est-à-dire que pour tout x ∈ ℝ^{n}, on a \frac{x}{t} ∈ T pour t suffisamment

grand.

Montrer que tout tonneau est un voisinage de 0. Pour cela, on pourra d’abord supposer que le tonneau T est borné, puis introduire sa “jauge” j_{T} définie comme ceci :

j_{T} (x) = inf\{t ∈ ℝ_{+}^{∗}: \frac{x}{t} ∈ T \}

et montrer qu’il s’agit d’une norme sur ℝ^{n}.

Complétude des champs de vecteurs bornés. Soit X: ℝ^{n} → ℝ^{n} de classe C^{1} et borné. On considère l’équation différentielle \frac{dM}{dt} = X (M). Montrer que toute solution maximale de cette équation (dite encore orbite de X) est définie sur ℝ tout entier.

Théorèm archi-ultra-classiquissime. Soit P ∈ ℂ[X]. Montrer que les racines de P′ sont situées dans l’eveloppe convexe de celles de P.