Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Vingt-cinquième semaine (différentielles sans différentielles)

David A. Madore ( )

Lemme de Rolle généralisé. Soit A une partie de ℝ^{2}: on appelle intérieur de A et on note A^{∘} le plus grand ouvert contenu dans A, autrement dit l’ensemble des points dont A est un voisinage. Supposons maintenant que A soit un fermé borné de ℝ^{2} dont l’intérieur est non vide, et que f: A → ℝ soit une fonction continue dont la restriction à A^{∘} soit différentiable. On suppose encore que f est constante sur A \ A^{∘}. Montrer alors qu’il existe un point de A^{∘} où ∇f (le gradient de f) s’annule.

Une démonstration du théorème de H. A. Schwarz. Soit f une fonction de classe C^{2} au voisinage d’un point (x, y) de ℝ^{2}. On définit F (u, v) = f(x+u, y +v)−f(x+u, y)− f(x, y + v) + f(x, y). Donner une majoration de

v \frac{∂f}{∂y} (x + u, y) − v \frac{∂f}{∂y} (x, y) − uv \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x, y)  †

D’autre part, en posant B(h) = f(x+u, y+h)−f(x, y+h)−v \frac{∂f}{∂y} (x+u, y+h)+v \frac{∂f}{∂y} (x, y+h), calculer B′(h) et le majorer. En déduire une majoration de

B(v) − B(0) = F (u, v) − v \frac{∂f}{∂y} (x + u, y) + v \frac{∂f}{∂y} (x, u)  ‡

Puis en sommant (†) et (‡), en déduire le théorème de Schwarz.

Un résultat intéressant (quoiqu’un peu hors-sujet). Soit f: [0; 1] → [0; 1]^{2} une fonction C^{1}. Montrer que f n’est pas surjective.

Théorème célèbre. On rappelle qu’une partie D de ℝ^{n} est dite dense ssi pour toute boule ouverte non vide B de ℝ^{n} l’intersection D ∩ B est non vide. On suppose que pour tout i ∈ ℕ, G_{i} est un ouvert dense (de ℝ^{n}). Montrer que l’intersection des G_{i} est dense (mais ce n’est pas nécessairement un ouvert).