Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Vingt-troisième semaine (espaces vectoriels normés, courbes paramétrées)

David A. Madore ( )

Lemme d’“évitement”. Soit γ: [0; 1] → ℝ^{2} une courbe continue, et x ∈ ℝ^{2} un point quelconque. Montrer que pour tout ε > 0 il existe une courbe continue γ′: [0; 1] → ℝ^{2} qui ne passe pas par x et telle que ∥γ′(t) − γ(t)∥ ≤ ε pour tout t. [Indication: Délimiter autour de x une zone “de sécurité” (la boule ouverte de centre x et de rayon ε/2) et une zone “interdite” (la boule fermée de centre x et de rayon ε/4). On construit γ′ de façon à coïncider avec γ en-dehors de la zone de sécurité, à être dans celle-ci exactement quand γ y est, et à ne jamais pénétrer dans la zone interdite.]

Inexistence de la mécanique quantique. Soit E un espace vectoriel normé. Montrer qu’il ne peut pas exister deux applications linéaires continues p et q telles que pq − qp = 1 (où 1 désigne l’identité de E).

Bases binormées. Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Montrer qu’il existe une base e_{1}, …, e_{n} de E telle que ∥e_{i}∥ = 1 pour tout i et que ∥e_{i}^{∗}∥_{∗} = 1 pour tout i où e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗} est la base duale et ∥ · ∥_{∗} la norme subordonnée dans le dual (i.e.∥φ∥_{∗} = sup_{∥x∥=1} |φ(x)|). Pour cela, on considérera le sup de la valeur absolue du déterminant (par rapport à une base quelconque) comme fonction sur l’ensemble des familles x_{1}, …, x_{n} de vecteurs unitaires de E.

Mon exercice à l’ENS de Lyon. On considère un homéomorphisme f: ℝ^{2} → ℝ^{2} (c’està-dire que f est bijective, continue et de réciproque f^{−1} continue). Pour a ∈ ℝ^{2} et r > 0, on pose

M_{f}(a, r) = sup{∥f(x) − f(a)∥: ∥x − a∥ ≤ r}

Montrer que le sup en question est atteint, et n’est atteint que pour des points x tels que ∥x − a∥ = r. Montrer que la fonction r ↦ M_{f}(a, r) est strictement croissante. On pose de même, pour a ∈ ℝ^{2} et r > 0,

m_{f}(a, r) = inf{∥f(x) − f(a)∥: ∥x − a∥ ≥ r}

Montrer que l’inf en question est atteint, et n’est atteint que pour des points x tels que ∥x − a∥ = r. Montrer que la fonction r ↦ m_{f}(a, r) est strictement croissante. On a clairement m_{f}(a, r) ≤ M_{f}(a, r). On supposera désormais qu’il existe une constante K_{f} ≥ 1 telle que pour tous a et r on ait m_{f}(a, r) ≤ M_{f}(a, r) ≤ K_{f}m_{f}(a, r) (dans ces circonstances, on dit que l’homéomorphisme f est quasi-conforme). Montrer qu’alors M_{f}(a, 2r) ≤ (1 + K_{f})M_{f}(a, r). Montrer que m_{f}(a, 2r) ≥ (1 + K_{f}^{−1})m_{f}(a, r). Montrer que les homéomorphismes quasi-conformes forment un groupe pour la composition. [Je ne sais pas quelle serait la question suivante. C’est tout ce que j’ai fait à l’oral.]