Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Vingt-deuxième semaine (réduction, intégrales généralisées)

David A. Madore ( )

Une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton. Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie E, et soit x ∈ E. Montrer qu’il existe un plus grand n tel que x, u(x), …, u^{n−1}(x) soit une famille libre. On complète cette famille libre en une base de E: écrire la forme de la matrice représentative de u dans cette base, en déduire la forme de χ_{u} et montrer que χ_{u}(u)(x) = 0. Conclure.

Une autre démonstration du théorème de Cayley-Hamilton. Montrer que le théorème de Cayley-Hamilton est vrai pour les matrices diagonalisables. En déduire, par densité, qu’il est vrai pour toutes les matrices. Note: tout ceci ne marche que sur ℂ.

Un tout petit théorème de Wedderburn. On dit qu’un endomorphisme u d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie est semisimple si et seulement si tout sous-espace vectoriel de E stable par u a un supplémentaire stable par u. Montrer que u est semisimple ss’il est diagonalisable. Ce résultat reste-t-il vrai sur ℝ au lieu de ℂ?

Une inégalité grotesque. Soit u une fonction de classe C^{2} sur un intervalle fermé borné [a; b] ⊆ ℝ (avec a < b). On suppose que u est nulle en a et b et strictement positive sur ]a; b[. Montrer que

∫_{a}^{b} |\frac{u′′(t)}{u(t)}| dt ≥ \frac{4}{b − a}

[Indication: Notant ∥u∥ la borne supérieure de u sur [a; b], et c un point où cette borne est atteinte, montrer que \frac{1}{∥u∥} ∫_{a}^{b} |u′′(t)| dt ≥ \frac{1}{∥u∥}(sup_{t∈[a;c]} u′(t) − inf_{t∈[c;b]} u′(t)).]

Exercice peut-être un peu difficile. On rappelle que si u est un endomorphisme d’un espace vectoriel normé complexe E de dimension finie, on définit sa norme ∥u∥ par

∥u∥ = sup_{∥x∥=1} ∥u(x)∥

On rappelle par ailleurs qu’il s’agit bien là d’une norme sur L(E), et que de plus on a ∥uv∥ ≤ ∥u∥ ∥v∥ pour tous u, v ∈ L(E). Par ailleurs, on définit le rayon spectral de u, noté ∥u∥_{s}, comme le plus grand module d’une valeur propre de u. Montrer que

∥u∥_{s} = lim_{n→+∞} ∥u^{n}∥^{1/n}

(formule du rayon spectral).