Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Vingt-et-unième semaine (déterminants)

David A. Madore ( )

Exercice astucieux et sans intérêt. Soient A, B ∈ 𝕄_{n}(ℝ) telles que A^{2} + B^{2} = AB et que AB − BA soit inversible. Montrer que 3 divisen.

Exercice nettement plus intéressant. Soient A, B ∈ 𝕄_{n}(ℝ). On suppose que A et B sont semblables sur ℂ (i.e.qu’il existe M ∈ GL_{n}(ℂ) telle que B = MAM^{−1}). Montrer qu’elles le sont encore sur ℝ (i.e.qu’il existe M ∈ GL_{n}(ℝ) telle que B = MAM^{−1}).

Un déterminant remarquable. Soient a, b, x_{1}, …, x_{n} des complexes. Calculer le déterminant

| \begin{matrix}x_{1} & a & ⋯ & a \\ b & x_{2} & ⋯ & a \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ b & b & ⋯ & x_{n} \end{matrix} |

[Indication: Ajouterx à tous les termes, et montrer que le déterminant ainsi obtenu est une fonction linéaire dex.]

Une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton. Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie E, et soit x ∈ E. Montrer qu’il existe un plus grand n tel que x, u(x), …, u^{n−1}(x) soit une famille libre. On complète cette famille libre en une base de E: écrire la forme de la matrice représentative de u dans cette base, en déduire la forme de χ_{u} et montrer que χ_{u}(u)(x) = 0. Conclure.