Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Vingtième semaine (systèmes linéaires(???))

David A. Madore ( )

Tables d’opérations. Déterminer les rangs des matrices suivantes: (i + j)_{0≤i,j≤n−1}, (ij)_{0≤i,j≤n−1} et (i^{j})_{0≤i,j≤n−1}.

Exercice épatant. Soit M une matrice inversible. Montrer qu’il existe un polynôme P (X) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} tel que M^{−1} = P (M) (où P (M) désigne ∑_{i=0}^{n} a_{i}M^{i}).

Exercice encore plus épatant. Déterminer l’inverse de la matrice

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & ⋯ & n − 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & ⋯ & C_{n−1}^{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ⋯ & C_{n−1}^{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} )

(i.e.le triangle de Pascal).