Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Dix-neuvième semaine (espaces euclidiens)

David A. Madore ( )

Cauchy-Schwarzisation. Soit E un ensemble de cardinal fini n, et R une relation d’équivalence sur E, dont le cardinal (en tant qu’ensemble de couples) est m, et telle qu’il y ait r classes d’équivalences. Montrer que n^{2} ≤ mr.

Autre Cauchy-Schwarzisation. Soit (u_{n}) une suite de réels telle que la série (Σu_{n}^{2}) converge (ce qui signifie, si on ne le sait pas déjà, que la suite (∑_{ℓ=1}^{n} u_{ℓ}^{2}) est majorée). Montrer que

∑_{ℓ=1}^{n} u_{ℓ} = O(\sqrt{n})

Puis montrer qu’en fait on peut remplacer O par o dans cette formule.

Normes et projecteurs. Soit E un espace vectoriel euclidien. Pour u: E → E linéaire, on note ∥u∥ = sup_{∥x∥=1} ∥u(x)∥ (ou encore sup_{x≠0} \frac{∥u(x)∥}{∥x∥}, c’est évidemment la même chose). On suppose maintenant que u est un projecteur: montrer que ∥u∥ ≥ 1 et que ∥u∥ = 1 si et seulement si u est une projection orthogonale.

Distance à des points. Soit E un espace euclidien de dimension n et soient P_{0}, …, P_{n} des points de E. Donner une condition nécessaire et suffisante sur P_{0}, …, P_{n} pour que les distances d’un point M à P_{0}, …, P_{n} déterminent M de façon unique.

Familles obtusangles. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n: on appelle famille obtusangle de E une famille de vecteurs de E tels que le produit scalaire de deux quelconques d’entre eux soit négatif (strictement). Déterminer le cardinal maximal d’une famille obtusangle de E.