Exercices de khôlle pour la MPSI

Année scolaire 1997-1998

Dix-huitième semaine (fonctions usuelles, fonctions rationnelles)

David A. Madore ( )

Valuations de ℂ(X). Une \underline{valuation} (discrète normalisée non triviale) de ℂ(X) (audessus de ℂ) est une application v: ℂ(X) → ℤ ∪ {∞} vérifiant les propriétés suivantes : (N) v prend la valeur 1. (C) Si λ ∈ ℂ^{∗} alors v(λ) = 0 ; v(0) = ∞.

(1) Pour f, g ∈ ℂ(X), on a v(fg) = v(f) + v(g).

(2) Pour f, g ∈ ℂ(X), on a v(f + g) ≥ min(v(f), v(g)). (L’addition et l’ordre sur ℤ ∪ {∞} étant définis par k + ∞ = ∞ et k ≥ ∞ pour

tout k ∈ ℤ ∪ {∞}.) Déterminer toutes les valuations (discrètes normalisées non triviales) de ℂ(X) (au-dessus de ℂ). Montrer la formule dite “du produit” (puisqu’il s’agit d’une somme)

∑_{v} v(f) = 0

pour tout f ∈ ℂ(X) \ {0}, la somme étant prise sur toutes les valuations (discrètes normalisées non triviales) de ℂ(X) (au-dessus de ℂ).

Le logarithme. Donner une condition nécessaire et suffisante sur un élément f ∈ ℂ(X) pour qu’il existe un g ∈ ℂ(X) tel que f = g′ (i.e. à quelle condition peut-on prendre la primitive d’une fonction rationnelle complexe).

Théorème de Fermat. Le grand théorème de Fermat, démontré en 1994 par Andrew Wiles, affirme que pour tout n ≥ 3 il n’existe pas de x, y, z dans ℤ tous non nuls tels que x^{n} + y^{n} = z^{n}. Montrer ce résultat en remplaçant “dans ℤ” par “dans ℂ[X]”.